1、第1页高考调研 高三总复习 数学（文）专题研究二 圆锥曲线中的最值 与 范围 第2页高考调研 高三总复习 数学（文）专题讲解 第3页高考调研 高三总复习 数学（文）题型一 最值问题例1 已知 F1，F2 为双曲线x25 y24 1 的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点 A 在双曲线上，则|AP|AF2|的最小值为_第4页高考调研 高三总复习 数学（文）【解析】由定义可知，|AP|AF2|AP|AF1|2a，要求|AP|AF2|的最小值，只需求|AP|AF1|的最小值，当 A，P，F1三点共线时，取得最小值，则|AP|AF1|PF1|37，|AP|AF2|AP|AF1|2a 372 5.
2、【答案】372 5第5页高考调研 高三总复习 数学（文）探究 1 圆锥曲线中最值的求法有两种：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等第6页高考调研 高三总复习 数学（文）思考题 1 已知 P 为抛物线 y14x2 上的动点，点 P 在 x 轴上的射影为 M，点 A 的坐标是(2，0)，则|PA|PM|的最小值是_第7页高考调研 高三总复习 数学（文）【解析】如图，抛物线
3、y14x2，即 x24y 的焦点为 F(0，1)，记点 P 在抛物线的准线 l：y1 上的投影为 P，根据抛物线的定义知，|PP|PF|，则|PP|PA|PF|PA|AF|22（1）2 5.所以(|PA|PM|)min(|PA|PP|1)min51.【答案】51第8页高考调研 高三总复习 数学（文）【讲评】一看到本题，不少同学可能会依常理“出牌”构造函数，将问题转化为求函数的最值，然而其最值很难求得，这也恰恰落入了命题者有意设置的“圈套”之中事实上，与抛物线的焦点(或准线)相关的最值问题，更多的是考虑数形结合，利用抛物线的定义进行转化，然后再利用三点共线或三角形的三边关系加以处理第9页高考调研
4、 高三总复习 数学（文）例 2(2015山东文)平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，且点(3，12)在椭圆 C 上(1)求椭圆 C 的方程；(2)设椭圆 E：x24a2 y24b21，P 为椭圆 C 上任意一点，过点 P的直线 ykxm 交椭圆 E 于 A，B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q.求|OQ|OP|的值；求ABQ 面积的最大值第10页高考调研 高三总复习 数学（文）【解析】(1)由题意知3a2 14b21，又 a2b2a 32，解得 a24，b21，所以椭圆 C 的方程为x24 y21.第11页高考调研 高三总复习 数学（文
5、）(2)由(1)知椭圆 E 的方程为x216y24 1.设 P(x0，y0)，|OQ|OP|，由题意知 Q(x0，y0)因为x024 y021，又（x0）216（y0）241，即24(x024 y02)1，所以 2，即|OQ|OP|2.第12页高考调研 高三总复习 数学（文）设 A(x1，y1)，B(x2，y2)将 ykxm 代入椭圆 E 的方程，可得(14k2)x28kmx4m2160，由 0，可得 m2416k2.(*)则有 x1x2 8km14k2，x1x24m21614k2.所以|x1x2|4 16k24m214k2.第13页高考调研 高三总复习 数学（文）因为直线 ykxm 与 y
6、轴交点的坐标为(0，m)，所以OAB 的面积 S12|m|x1x2|2 16k24m2|m|14k22（16k24m2）m214k2 2（4m214k2）m214k2.第14页高考调研 高三总复习 数学（文）设m214k2t，将 ykxm 代入椭圆 C 的方程，可得(14k2)x28kmx4m240，由 0，可得 m214k2.(*)由(*)(*)可知 00)，则p21，所以抛物线 C 的方程为 x24y.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的方程为 ykx1.由ykx1，x24y，消去 y，整理，得 x24kx40.所以 x1x24k，x1x24.从而|x1x2|4 k
7、21.第18页高考调研 高三总复习 数学（文）由yy1x1x，yx2，解得点 M 的横坐标为 xM 2x1x1y12x1x1x12484x1.同理，点 N 的横坐标 xN84x2.所以|MN|2|xMxN|2|84x184x2|8 2|x1x2x1x24（x1x2）16|8 2 k21|4k3|.第19页高考调研 高三总复习 数学（文）令 4k3t，t0，则 kt34.当 t0 时，|MN|2 225t2 6t12 2；当 tb0)的左顶点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一个点 B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F，若13k12，则椭圆离心率的取值范围为_第24页高考调研
8、 高三总复习 数学（文）【解析】由题意知：B(c，b2a)，kb2acaaca 1e.又13k12，131e12，解得12e0，第27页高考调研 高三总复习 数学（文）设 M 为 AB 的中点，则 M(2mbm22，m2bm22)，代入直线方程ymx12解得 bm222m2.由得 m 63.第28页高考调研 高三总复习 数学（文）(2)令 t1m(62，0)(0，62)，则|AB|t212t42t232t212，且 O 到直线 AB 的距离 dt212t21.第29页高考调研 高三总复习 数学（文）设AOB 的面积为 S(t)，所以 S(t)12|AB|d122（t212）22 22，当且仅当
9、 t212时，等号成立 故AOB 面积的最大值为 22.【答案】(1)m 63 (2)22第30页高考调研 高三总复习 数学（文）思考题 4 已知曲线 C：y24x(x3)，直线 l 过点M(1，0)交曲线 C 于 A，B 两点，点 P 是 AB 的中点，EP 是 AB的中垂线，E 点的坐标为(x0，0)，试求 x0 的取值范围第31页高考调研 高三总复习 数学（文）【解析】由题意可知，直线 l 与 x 轴不垂直，可设 l：yk(x1)，代入曲线 C 的方程，得 k2x22(2k2)xk20(30，|k|32，第32页高考调研 高三总复习 数学（文）解之得 k1，32 32，1.由方程，得 x
10、AxB2（k22）k2，xP12(xAxB)k22k2，yPk(xP1)2k.所以直线 EP 的方程为 y2k1kxk22k2.令 y0，得 x01 2k2.34k21，113 x00，b0)的虚轴端点到直线 ya2x 的距离为 1，则双曲线的离心率的最小值为()A3 B2C.3D.2第43页高考调研 高三总复习 数学（文）答案 C解析 因为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的虚轴端点(0，b)或(0，b)到直线 ya2x 的距离为 1，所以b1（a2）21，即 b21a4，所以离心率 ecac2a2a2b2a2a21a4a21a21a212a21a2 3，当且仅当 a21a2，即 a1，
11、b 2时取等号，选 C.第44页高考调研 高三总复习 数学（文）5(2014四川)已知 F 为抛物线 y2x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，OA OB 2(其中 O 为坐标原点)，则ABO 与AFO 面积之和的最小值是()A2 B3C.17 28D.10第45页高考调研 高三总复习 数学（文）答案 B解析 设出直线AB的方程，用分割法表示出ABO的面积，将 SABOSAFO 表示为某一变量的函数，选择适当方法求其最值 第46页高考调研 高三总复习 数学（文）设直线 AB 的方程为 xnym(如图)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，OA OB 2，x1x2y1y22.
12、又 y12x1，y22x2，y1y22.联立y2x，xnym，得 y2nym0.y1y2m2，m2，即点 M(2，0)第47页高考调研 高三总复习 数学（文）又 SABOSAMOSBMO12|OM|y1|12|OM|y2|y1y2，SAFO12|OF|y1|18y1，SABOSAFOy1y218y1 98y1 2y1298y1 2y13，当且仅当 y143时，等号成立第48页高考调研 高三总复习 数学（文）6已知两定点 A(2，0)和 B(2，0)，动点 P(x，y)在直线 l：yx3 上移动，椭圆 C 以 A，B 为焦点且经过点 P，则椭圆 C的离心率的最大值为()A.2613B.2 261
13、3C.2 1313D.4 1313第49页高考调研 高三总复习 数学（文）答案 B解析 由题意可知，c2，由 eca2a.可知 e 最大时需 a 最小由椭圆的定义|PA|PB|2a，即使得|PA|PB|最小，设 A(2，0)关 于 直 线 y x 3 的 对 称 点 D(x，y)，由y0 x211，0y2 2x23，可知 D(3，1)第50页高考调研 高三总复习 数学（文）所 以|PA|PB|PD|PB|DB|1252 26，即2a 26.所以 a 262，则 eca 22622 2613.故选 B.第51页高考调研 高三总复习 数学（文）7(2016河南安阳第一次调研)抛物线 y22px(p
14、0)的焦点为F，已知点 A，B 为抛物线上的两个动点，且满足AFB90.过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则|MN|AB|的最大值为()A.22B.32C1 D.3第52页高考调研 高三总复习 数学（文）答案 A解析 设准线为 l，过 A 作 AQl，BPl，设|AF|a，|BF|b，由抛物线定义，得|AF|AQ|，|BF|BP|.在梯形 ABPQ 中，2|MN|AQ|BP|ab，由勾股定理，得|AB|2a2b2(ab)22ab.又 ab(ab2)2，所以(ab)22ab(ab)2（ab）22，得到|AB|22(ab)，所以|MN|AB|12（ab）22（ab）22
15、，即|MN|AB|的最大值为 22，故选 A.第53页高考调研 高三总复习 数学（文）8设 M(x0，y0)为抛物线 C：x28y 上一点，F 为抛物线 C的焦点，以 F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交，则 y0 的取值范围是_第54页高考调研 高三总复习 数学（文）答案(2，)解析 以 F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交，则|FM|p，即 y0p2p，y0p2，即 y02.第55页高考调研 高三总复习 数学（文）9(2016河南郑州质检)已知椭圆 C1：x2m2y2n 1 与双曲线 C2：x2my2n 1 有相同的焦点，则椭圆 C1 的离心率 e1 的
16、取值范围为_第56页高考调研 高三总复习 数学（文）答案 22 e10，得 m22.第57页高考调研 高三总复习 数学（文）01m212，11m212，即 e1212.而 0e11，22 e10，即 0m278，x1x21，x1x2（8m21）264m24（18m2）.第66页高考调研 高三总复习 数学（文）于是F2A F2B(x11)(x21)y1y2 x1x2y1y2(x1x2)1 x1x2y1y22 x1x2(14mx18m218m)(14mx28m218m)2 3（8m21）288（18m2）.令 t18m2，则 1t0)上一点，F 为抛物线的焦点，准线 l 与 x 轴交于点 K，已知
17、|AK|2|AF|，AFK 的面积等于 8.(1)求 p 的值；(2)过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线 l1，l2，与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为 G，H，求|GH|的最小值第68页高考调研 高三总复习 数学（文）答案(1)4(2)8解析(1)A(x0，y0)，因为抛物线的焦点 F(P2，0)，准线 l 的方程为 xp2，作 AMl 于 M，则|AM|x0p2=|AF|.又|AK|2|AF|，得|AK|2|AM|，即AKM 为等腰直角三角形，第69页高考调研 高三总复习 数学（文）|KM|AM|x0p2，y0 x0p2，即 A(x0，x0p2)，而点A 在抛物线上，(x0p2)2
18、2px0，x0p2，于是 A(p2，p)又SAFK12|KF|y0|12ppp22 8，p4.第70页高考调研 高三总复习 数学（文）(2)由 y28x，得 F(2，0)，显然直线 l1，l2 的斜率都存在且都不为 0.设 l1 的方程为 yk(x2)，则 l2 的方程为 y1k(x2)由y28x，yk（x2），得 G(2 4k2，4k)，同理可得 H(24k2，4k)，则|GH|2(4k24k2)2(4k4k)216(k4 1k4k2 1k2)64(当且仅当 k21k2时取等号)，所以|GH|的最小值是 8.第71页高考调研 高三总复习 数学（文）13.已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的
19、离心率为12，且经过点 P(1，32)过它的两个焦点 F1，F2 分别作直线 l1 与 l2，l1 交椭圆于 A，B两点，l2 交椭圆于 C，D 两点，且 l1l2.(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形 ACBD 的面积 S 的取值范围第72页高考调研 高三总复习 数学（文）答案(1)x24 y23 1(2)28849，6解析(1)由ca12a2c，所以 a24c2，b23c2，将点 P 的坐标代入椭圆方程得 c21，故所求椭圆方程为x24 y23 1.第73页高考调研 高三总复习 数学（文）(2)若 l1 与 l2 中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为 0，此时四边形的面积 S6
20、.若 l1 与 l2 的斜率都存在，设 l1 的斜率为 k，则 k2 的斜率为1k，则直线 l1 的方程为 yk(x1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得方程组yk（x1），x24 y23 1，第74页高考调研 高三总复习 数学（文）消去 y 并整理，得(4k23)x28k2x4k2120.x1x2 8k24k23，x1x24k2124k23，|x1x2|12 k214k23，|AB|1k2|x1x2|12（k21）4k23.注意到方程的结构特征和图形的对称性，可以用1k代替中的 k，得|CD|12（k21）3k24，第75页高考调研 高三总复习 数学（文）S12|AB|CD|72
21、（1k2）2（4k23）（3k24），令 k2t(0，)，S72（1t）2（4t3）（3t4）6（12t225t12）6t12t225t12 6612t12t 256 64928849，S28849，6)综上可知，四边形 ABCD 的面积 S28849，6第76页高考调研 高三总复习 数学（文）1已知椭圆 C1：x2a12 y2b121(a1b10)与双曲线 C2：x2a22 y2b221(a20，b20)有相同的焦点 F1，F2，点 P 是两曲线的一个公共点，e1，e2 分别是两曲线的离心率，若 PF1PF2，则 4e12e22 的最小值为()A.52B4C.92D9第77页高考调研 高三总
22、复习 数学（文）答案 C解析 由题意设焦距为 2c，椭圆长轴长为 2a1，双曲线实轴长为 2a2，令 P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|PF2|2a2，由椭圆的定义|PF1|PF2|2a1.又PF1PF2，|PF1|2|PF2|24c2.22，得|PF1|2|PF2|22a122a22，第78页高考调研 高三总复习 数学（文）将代入，得 a12a222c2，4e12e224c2a12 c2a224（a12a22）2a12a12a222a22522a22a12 a122a225222a22a12 a122a2292.第79页高考调研 高三总复习 数学（文）2已知椭圆 x2y22 a2
23、(a0)与以 A(2，1)，B(4，3)为端点的线段没有公共点，则 a 的取值范围是()A0a3 22B0a 822Ca 822D.3 22 a 822第80页高考调研 高三总复习 数学（文）答案 B解析 椭圆恰好经过 A 与椭圆恰好经过 B 是临界，将 A，B两点代入解，a3 22，a 822，由数形结合知，B 正确第81页高考调研 高三总复习 数学（文）3已知圆 O1：(x1)2y216 和圆 O2：x2y2r2(0re2)，则 e12e2 的最小值为()A.32 24B.32C.2D.38第82页高考调研 高三总复习 数学（文）答案 A解析 当动圆 M 与圆 O1，圆 O2 都相内切时，
24、|MO2|MO1|4r2a，e1 24r.当动圆M与圆O1相内切而与圆O2相外切时，|MO1|MO2|4r2a，e2 24r，e12e2 24r 44r242r16r2，第83页高考调研 高三总复习 数学（文）令 12 r t(10t12)，e1 2e2 2124t128t 2 12416 21128 232 24.故选 A.第84页高考调研 高三总复习 数学（文）4已知 M 是抛物线 x24y 上一点，F 为其焦点，点 A 在圆C：(x1)2(y5)21 上，则|MA|MF|的最小值是_答案 5解析 抛物线 x24y 的焦点为 F(0，1)，准线为 y1，由抛物线的定义得|MF|等于 M 到准线的距离 d，所以|MA|MF|的最小值等于圆心 C 到准线的距离减去圆的半径，即 5115.
