1、第二课时等差数列的性质及简单应用【选题明细表】 知识点、方法题号等差数列性质的简单应用1、2、3、6、10、13巧用“对称”解等差数列问题8等差数列性质的综合应用4、5、7、9、11实际应用题12基础巩固1.(2015葫芦岛六校协作体第二次考试)如果等差数列an中,a2+a8=10,那么a3+a4+a5+a6+a7等于(C)(A)15(B)20(C)25(D)30解析:因为a2+a8=2a5=10,所以a5=5,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25.2.已知等差数列an的公差为d(d0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m为(B)(A)12(B)8(C)6(D)4解
2、析:因为a3+a6+a10+a13=32,所以4a8=32,所以a8=8,又d0,am=8,所以m=8.3.若an是等差数列,且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则a3+a6+a9等于(D)(A)39(B)20(C)19.5(D)33解析:因为a1+a4+a7=3a4=45,所以a4=15.因为a2+a5+a8=39,所以3a5=39,所以a5=13,所以d=a5-a4=-2,所以a6=a5+d=11,a3+a6+a9=3a6=311=33.4.等差数列an中,a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x2+(a4+a6)x+10=0(A)(A)无实根 (B)有两个相等实根(C)有两
3、个不等实根(D)不能确定有无实根解析:由a2+a5+a8=9得3a5=9,a5=3,所以a4+a6=2a5=6,于是方程的判别式=(a4+a6)2-410=62-4100的等差数列an的四个说法.p1:数列an是递增数列;p2:数列nan是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列an+3nd是递增数列.其中正确的为(D)(A)p1,p2(B)p3,p4(C)p2,p3(D)p1,p4解析:因为an=a1+(n-1)d,d0,所以an-an-1=d0,命题p1正确.nan=na1+n(n-1)d,所以nan-(n-1)an-1=a1+2(n-1)d与0的大小和a1的取值情况有关.故数列nan不
4、一定递增,命题p2不正确.对于p3:=+d,所以-=,当d-a10,即da1时,数列递增,但da1不一定成立,则p3不正确.对于p4:设bn=an+3nd,则bn+1-bn=an+1-an+3d=4d0.所以数列an+3nd是递增数列,p4正确.综上,正确的命题为p1,p4.6.在等差数列an中,a10=10,a20=20,则a30=.解析:法一d=1,a30=a20+10d=20+10=30.法二由题意可知,a10、a20、a30成等差数列,所以a30=2a20-a10=220-10=30.答案:307.已知数列an为等差数列且a1+a7+a13=4,则tan(a2+a12)的值为.解析:因
5、为a1+a7+a13=3a7=4,所以a7=,a2+a12=,所以tan(a2+a12)=tan=tan=-tan=-.答案:-8.四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两数的积为-8,求这四个数.解:法一设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),依题意得,2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,所以d2=1,所以d=1或d=-1.又四个数成递增等差数列,所以d0.所以d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.法二设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d(公差为d),依题意得,2a+3d=2,且a(a+3d)=-8,把a=1-d代入
6、a(a+3d)=-8,得(1-d)(1+d)=-8,即1-d2=-8.化简得d2=4,所以d=2或-2.又四个数成递增等差数列,所以d0,所以d=2,a=-2.故所求的四个数为-2,0,2,4.能力提升9.若a,b,c成等差数列,则二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点的个数为(D)(A)0(B)1(C)2(D)1或2解析:因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,所以=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)20.所以二次函数y=ax2-2bx+c的图象与x轴的交点个数为1或2.故选D.10.等差数列an中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值是(C)(A)
7、20(B)22(C)24(D)-8解析:因为a1+3a8+a15=5a8=120,所以a8=24,而2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.11.已知数列-1,x1,x2,9和-1,y1,y2,y3,9都是等差数列,则=.解析:设两个等差数列的公差分别为d1和d2,则3d1=9-(-1)=10,d1=,4d2=9-(-1)=10,d2=,于是=.答案:12.某单位用分期付款方式为职工购买40套住房,共需1150万元,购买当天先付150万元,以后每月这一天都交付50万元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150万元后的第一个月算分期付款的第一个月,求分期付款的第10个月应付多少钱?最
8、后一次应付多少钱?解:购买时先付150万元,还欠款1000万元.依题意知20次可付清.设每次交付的欠款依次为a1,a2,a3,a20,构成数列an,则a1=50+10000.01=60;a2=50+(1000-50)0.01=59.5;a3=50+(1000-502)0.01=59;an=50+1000-50(n-1)0.01=60-(n-1)(1n20).所以an是以60为首项,-为公差的等差数列.则a10=60-9=55.5,a20=60-19=50.5,故第10个月应付55.5万元,最后一次应付50.5万元.探究创新13.已知an是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16.(1)求数列an的通项公式;(2)若从数列an中,依次取出第2项,第4项,第6项,第2n项,按原来顺序组成一个新数列bn,试求出bn的通项公式.解:(1)由a1+a2+a3=12,所以3a2=12,所以a2=4.又因为a8=16,所以d=2.所以an=a2+(n-2)d=4+2(n-2)=2n.(2)a2=4,a4=8,a6=12,a8=16,a2n=22n=4n.当n1时,a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4.所以bn是以4为首项,4为公差的等差数列,所以bn=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n.
