1、第1页高考调研 高三总复习 数学（理）第11课时 直线与圆锥曲线的位置 关系 第2页高考调研 高三总复习 数学（理）2016 考纲下载 第3页高考调研 高三总复习 数学（理）理解数形结合思想，能通过直线与圆锥曲线(重点是与椭圆抛物线)的位置关系解答相应问题第4页高考调研 高三总复习 数学（理）请注意此部分是高考中的重点和难点，多与数形结合，设而不求等方面结合，应引起足够重视第5页高考调研 高三总复习 数学（理）课前自助餐 第6页高考调研 高三总复习 数学（理）直线与圆锥曲线的位置关系要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，可把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去 y(或消去 x)得到关于 x(或关于
2、y)的一元二次方程如联立后得到以下方程：Ax2BxC0(A0)，B24AC.若 0，则直线与圆锥曲线有两个不同的公共点第7页高考调研 高三总复习 数学（理）弦长公式直线与圆锥曲线相交时，常常借助根与系数的关系解决弦长问题直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程当0时，直线与圆锥曲线相交，设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，则直线被圆锥曲线截得的弦长|AB|（x1x2）2（y1y2）21k2|x1x2|1k2（x1x2）24x1x2.第8页高考调研 高三总复习 数学（理）再利用根与系数的关系得出 x1x2，x1x2 的值，代入上式计算即可第9页高考
3、调研 高三总复习 数学（理）用点差法求直线方程在给出的圆锥曲线 f(x，y)0 中，求中点为(m，n)的弦 AB所在直线方程时，一般可设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用 A，B 在曲线上，得 f(x1，y1)0，f(x2，y2)0.两式相减，结合 x1x22m，y1y22n，可求出 kABy2y1x2x1，从而由点斜式写出直线AB 的方程这种方法我们称为点差法第10页高考调研 高三总复习 数学（理）重点辨析(1)如果在设直线方程时涉及斜率，要注意斜率不存在的情况，为了避免讨论，过焦点 F(c，0)的直线可设为 xmyc.(2)解方程组AxByC0，f（x，y）0时，若消去 y，得到关
4、于 x 的方程 ax2bxc0，这时，要考虑 a0 和 a0 两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况要考虑全面，除 a0，0 外，当直线与双曲线的渐近线平行时，只有一个交点(0不是直线和抛物线(或双曲线)只有一个公共点的充要条件)第11页高考调研 高三总复习 数学（理）1若过原点的直线 l 与双曲线x24 y23 1 有两个不同交点，则直线 l 的斜率的取值范围是()A.32，32 B(32，32)C.32，32D.，32 32，第12页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 B解析 x24 y23 1，其两条渐近线的斜率分别为 k1 32，k2 32，要使过原点的直线 l 与双曲线有
5、两个不同的交点，画图可知，直线 l 的斜率的取值范围应是0，32 32，0.第13页高考调研 高三总复习 数学（理）2已知两定点 A(2，0)和 B(2，0)，动点 P(x，y)在直线 l：yx3 上移动，椭圆 C 以 A，B 为焦点且经过点 P，则椭圆 C的离心率的最大值为()A.226 B.426C.213D.413第14页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 B解析 作 A(2，0)关于直线 l：yx3 的对称点 A(3，1)，连接 AB，交直线 l 于 P，则 2a|PA|PB|的最小值为|AB|26，椭圆 C 的离心率的最大值为2c2a 426.第15页高考调研 高三总复习 数学（理
6、）3已知倾斜角为 60的直线 l 通过抛物线 x24y 的焦点，且与抛物线相交于 A，B 两点，则弦 AB 的长为_答案 16解析 直线 l 的方程为 y 3x1，由y 3x1，x24y，得 y214y10.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y214.|AB|y1y2p14216.第16页高考调研 高三总复习 数学（理）4抛物线 x22py(p0)的焦点为 F，其准线与双曲线x23 y23 1 相交于 A，B 两点，若ABF 为等边三角形，则 p_第17页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 6解析 本题考查抛物线的几何性质，方程的思想 不妨设 A(x0，p2)，AB 与 y 轴
7、交于点 D.F(0，p2)，FDp，可解得 A(3p24，p2)在 RtDFA 中，tan30ADDF，33 3p24p.p236，p6.本题利用AFB 为正三角形，转化为解决 RtFDA 中问题求出 p.第18页高考调研 高三总复习 数学（理）5若抛物线 yax21 上恒有关于直线 xy0 对称的相异两点 A，B，则实数 a 的取值范围是_第19页高考调研 高三总复习 数学（理）答案(34，)解析 设抛物线上的两点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB的方程为 yxb，代入抛物线方程 yax21，得 ax2x(b1)0.设直线 AB 的中点为 M(x0，y0)，则 x0 12a，
8、y0 x0b 12ab.由于 M(x0，y0)在直线 xy0 上，故 x0y00，由此解得b1a，此时 ax2x(b1)0 可变形为 ax2x(1a1)0，由 14a(1a1)0，解得 a34.第20页高考调研 高三总复习 数学（理）授人以渔 第21页高考调研 高三总复习 数学（理）题型一 直线与圆锥曲线的位置关系例 1(2015湖南文)已知抛物线 C1：x24y 的焦点 F 也是椭圆 C2：y2a2x2b21(ab0)的一个焦点，C1 与 C2 的公共弦的长为2 6.过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A，B 两点，与 C2 相交于 C，D两点，且AC 与BD 同向(1)求 C2 的方程
9、；(2)若|AC|BD|，求直线 l 的斜率第22页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)由 C1：x24y 知其焦点 F 的坐标为(0，1)，因为 F 也是椭圆 C2 的一个焦点，所以 a2b21，又 C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6，C1 与 C2 都关于 y 轴对称，且 C1 的方程为 x24y，由此易知 C1 与 C2 的公共点的坐标为(6，32)，所以 94a2 6b21，联立得 a29，b28，故 C2 的方程为y29 x28 1.第23页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)如图，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)因为AC 与
10、BD 同向，且|AC|BD|，所以AC BD，从而x3x1x4x2，即 x1x2x3x4，于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.第24页高考调研 高三总复习 数学（理）设直线 l 的斜率为 k，则 l 的方程为 ykx1.由ykx1，x24y，得 x24kx40，而 x1，x2 是这个方程的两根，所以 x1x24k，x1x24，由ykx1，x28 y29 1，得(98k2)x216kx640，而 x3，x4 是这个方程的两根，所以 x3x4 16k98k2，x3x46498k2，第25页高考调研 高三总复习 数学（理）将代入，得 16(k21)162k2（98k2）2 4649
11、8k2，即 16(k21)1629（k21）（98k2）2，所以(98k2)2169，解得 k 64，即直线 l 的斜率为 64.【答案】(1)y29 x28 1(2)64第26页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 1 椭圆是近年圆锥曲线中命题频率比较高的曲线，其命题形式一般都涉及到直线与椭圆的位置关系，求解时一般都会利用到一元二次方程的根与系数之间的关系，因此处理二次方程的能力与技巧是解此类题的关键所在本例题就是直线与椭圆与向量结合的题目，解法灵活多变，但实质是相同的第27页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 1 设 P，Q 是抛物线 y22px(p0)上相异两点，P，Q 到 y 轴的
12、距离的积为 4，且OPOQ 0.(1)求该抛物线的标准方程；(2)过点 Q 的直线与抛物线的另一交点为 R，与 x 轴的交点为T，且 Q 为线段 RT 的中点，试求弦 PR 长度的最小值第28页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，OPOQ 0，则 x1x2y1y20.又点 P，Q 在抛物线上，y122px1，y222px2，代入得y122py222py1y20，y1y24p2，|x1x2|（y1y2）24p24p2.又|x1x2|4，4p24，p1，抛物线的标准方程为 y22x.第29页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)设直线 PQ 过点
13、E(a，0)且方程为 xmya，联立方程组xmya，y22x，消去 x 得 y22my2a0，y1y22m，y1y22a，设直线 PR 与 x 轴交于点 M(b，0)，则可设直线 PR 的方程为xnyb，并设 R(x3，y3)，同理可知，y1y32n，y1y32b，由可得y3y2ba.第30页高考调研 高三总复习 数学（理）由题意得，Q 为线段 RT 的中点，y32y2，b2a.又由(1)知，y1y24，代入，可得2a4，a2，b4，y1y38，|PR|1n2|y1y3|1n2（y1y3）24y1y32 1n2 n284 2.当 n0，即直线 PR 垂直于 x 轴时，|PR|取最小值 4 2.
14、【答案】(1)y22x(2)4 2第31页高考调研 高三总复习 数学（理）题型二 对称问题例 2 试确定 m 的取值范围，使得椭圆x24 y23 1 上有不同两点关于直线 y4xm 对称第32页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】方法一：设椭圆上两点 A(x0u，y0v)，B(x0u，y0v)，AB 的中点为 C(x0，y0)A，B 关于 y4xm 对称，kABvu14.又（x0u）24（y0v）231，（x0u）24（y0v）231，两式相减，得vu3x04y0，y03x0.而点 C 在直线 y4xm 上，第33页高考调研 高三总复习 数学（理）x0m，y03m.点 C 在椭圆x24 y
15、23 1 内，（m）24（3m）230 建立不等关系，再由对称两点的中点在所给直线上，建立相等关系，由相等关系消参，由不等关系确定范围 第37页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 2 已知圆 M：(x 3a)2y216a2(a0)及定点N(3a，0)，点 P 是圆 M 上的动点，点 G 在 MP 上，且满足|GP|GN|，G 点的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的方程；(2)若点 A(1，0)关于直线 xyt0(t0)的对称点在曲线 C上，求 a 的取值范围第38页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)设 G(x，y)，因为|PG|GM|4a，且|PG|GN|，所以|GM|GN|
16、4a2 3a，由椭圆定义得，曲线 C 的方程为 x24a2y2a21.第39页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)设 A(1，0)关于直线 xyt0(t0)的对称点为 A(m，n)，则nm1（1）1，m12n2t0，所以mt，nt1，所以 A(t，t1)因为 A(t，t1)在曲线 C：x24a2y2a21 上，所以 t24(t1)24a2，化简得 5t28t44a20(t0)第40页高考调研 高三总复习 数学（理）因为此方程有正根，令 f(t)5t28t44a2，其图像的对称轴为 t450，所以(8)245(44a2)0，所以 a 55 或 a 55.因为 a0，所以 a 55.【答案】(1
17、)x24a2y2a21(2)a 55第41页高考调研 高三总复习 数学（理）题型三 面积问题例 3 已知点 F 是抛物线 y22px 的焦点，其中 p 是正常数，AB，CD 都是抛物线经过点 F 的弦，且 ABCD，AB 的斜率为k，且 k0，C，A 两点在 x 轴上方第42页高考调研 高三总复习 数学（理）(1)求 1|AB|1|CD|；(2)当|AF|BF|43p2 时，求 k；设AFC 与BFD 的面积之和为 S，求当 k 变化时 S 的最小值第43页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB：yk(xp2)联立y22px，yk（xp
18、2），得 k2x2p(k22)x14k2p20，x1x2k22k2 p，x1x2p24.由抛物线定义得|AB|AF|BF|x1x2pk21k2 2p，同理用1k换 k，得|CD|(k21)2p，所以 1|AB|1|CD|12p.第44页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)|AF|BF|(x1p2)(x2p2)x1x2p2(x1x2)p24 p22 k22k2 p22 k21k2 p2.当|AF|BF|43p2 时，k21k2 p243p2.又 k0，解得 k 3.由同理知|CF|DF|(k21)p2，|AF|BF|k21k2 p2，变形得|BF|k21k2p2|AF|，|CF|（k21）p2
19、|DF|.第45页高考调研 高三总复习 数学（理）又 ABCD，所以 S12|AF|CF|12|BF|DF|12|AF|DF|(k21)|DF|AF|k21k2p2（k21）（11k2）p22k2kp22p2，当且仅当 k1，1k1，即|AF|DF|(k21)|DF|AF|(1 1k2)时取等号，即当 k1 时，S 有最小值 2p2.【答案】(1)12p(2)3 2p2第46页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 3 与面积或最值一起综合考查是解析几何的常见题型，其解法往往是先建立目标函数的解析式，从而转化为函数问题第47页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 3 已知点 A(0，2)，椭圆
20、 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为2 33，O为坐标原点(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程第48页高考调研 高三总复习 数学（理）【思路】(1)用待定系数法求出 a，b，进而求出椭圆的方程；(2)设出直线方程，代入椭圆方程，设而不求，利用根与系数的关系转化，从而建立面积的目标函数第49页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)设 F(c，0)，由条件知，2c2 33，得 c 3.又ca 32，所以 a2，b2a2c21.故 E 的方程为x
21、24 y21.第50页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)当 lx 轴时不合题意，故设 l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将 ykx2 代入x24 y21，得(14k2)x216kx120.当 16(4k23)0，即 k234时，x1，28k2 4k234k21.从而|PQ|k21|x1x2|4 k21 4k234k21.第51页高考调研 高三总复习 数学（理）又点 O 到直线 PQ 的距离 d2k21，所以OPQ 的面积 SOPQ12d|PQ|4 4k234k21.设 4k23t，则 t0，SOPQ 4tt24 4t4t.第52页高考调研 高三总复习 数学（理）因为 t4t
22、4，当且仅当 t2，即 k 72 时等号成立，且满足 0，所以，当OPQ 的面积最大时 l 的方程为 y 72 x2 或 y 72 x2.第53页高考调研 高三总复习 数学（理）【答案】(1)x24 y21(2)y 72 x2 或 y 72 x2第54页高考调研 高三总复习 数学（理）1充分借助图形的直观性，达到优化解题思维，简化解题过程 2直线与圆锥曲线相交时，借助弦长公式来求参数的值，利用判别式可求参数范围.第55页高考调研 高三总复习 数学（理）自 助 餐 第56页高考调研 高三总复习 数学（理）1已知 A，B 为抛物线 C：y24x 上的两个不同的点，F 为抛物线 C 的焦点，若FA4
23、FB，则直线 AB 的斜率为()A23 B32C34D43第57页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 D解析 由题意知焦点 F(1，0)，直线 AB 的斜率必存在，且不为 0，故可设直线 AB 的方程为 yk(x1)(k0)，代入 y24x中化简，得 ky24y4k0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24k，y1y24，又由FA4FB，可得 y14y2.联立式解得 k43.第58页高考调研 高三总复习 数学（理）2(2016南阳模拟)设 F1，F2 为椭圆x24 y21 的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于 P，Q 两点，当四边形 PF1QF2的面积最大时，PF1
24、PF2 的值等于()A0 B2C4 D2第59页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 D解析 易知当 P，Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形 PF1QF2的面积最大，此时 F1(3，0)，F2(3，0)，不妨设 P(0，1)，PF1(3，1)，PF2(3，1)PF1 PF2 2.第60页高考调研 高三总复习 数学（理）3已知抛物线 y22px(p0)的焦点 F 与双曲线x212y24 1 的一个焦点重合，直线 yx4 与抛物线交于 A，B 两点，则|AB|等于()A28 B32C20 D40第61页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 B解析 双曲线x212y24 1 的焦点坐标为(4，0)，故
25、抛物线的焦点 F 的坐标为(4，0)，因此 p8，故抛物线方程为 y216x，易知直线 yx4 过抛物线的焦点设 A，B 两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)由y216x，yx4，可得 x224x160，故 x1x224.故|AB|x1x2p24832.第62页高考调研 高三总复习 数学（理）4(2016江西新余质检)已知 P 为椭圆x2a2y2b21(ab0)上一点，F1，F2 为椭圆的左、右焦点，B 为椭圆右顶点，若PF1F2的平分线与PF2B 的平分线交于点 Q(6，6)，则 SF1BQSF2BQ_第63页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 36解析 由题意，点 Q 是焦点三角
26、形 PF1F2 的旁心，设旁切圆在 PF1 上的切点为 N，PF2 上的切点为 M，F1F2 上的切点为 A，A 的坐标为(m，0)，|PF1|PF2|F1N|PN|(|PM|MF2|)|F1N|F2M|F1A|F2A|mc(mc)2a，即|OA|a.所以点 Q(6，6)在直线 xa 上，故 a6.SF1BQSF2BQ12|F1B|yQ12|F2B|yQ122a61226636.第64页高考调研 高三总复习 数学（理）5已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，抛物线 C 与直线 l1：yx 的一个交点的横坐标为 8.(1)求抛物线 C 的方程；(2)不过原点的直线 l2 与 l1 垂直
27、，且与抛物线相交于不同的两点 A，B，若线段 AB 的中点为 P，且|OP|PB|，求FAB 的面积第65页高考调研 高三总复习 数学（理）答案(1)y28x(2)24 5解析(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，8)，(8)22p8，2p8，抛物线方程为 y28x.(2)直线 l2 与 l1 垂直，故可设直线 l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l2 与 x 轴的交点为 M.由y28x，xym，得 y28y8m0，6432m0，m2.第66页高考调研 高三总复习 数学（理）y1y28，y1y28m，x1x2y12y2264 m2.由题意可知 OAOB，即 x1x2y1y
28、2m28m0，m8 或 m0(舍)，直线 l2：xy8，M(8，0)故 SFABSFMBSFMA12|FM|y1y2|3（y1y2）24y1y224 5.第67页高考调研 高三总复习 数学（理）课外阅读 第68页高考调研 高三总复习 数学（理）高考中解析几何大题的答题策略 例(四川高考卷)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线 x3 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q.证明：OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点)；当|TF|P
29、Q|最小时，求点 T 的坐标第69页高考调研 高三总复习 数学（理）解题思路 研读信息快速破题 看到焦距为4，短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形想到2c4，a 3b，a2b2c2 第70页高考调研 高三总复习 数学（理）规范解答 阅卷标准体会规范(1)由已知可得 a2b22b，2c2 a2b24，解得 a26，b22.(2 分)所以椭圆 C 的标准方程是x26 y22 1.(3 分)第71页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)由(1)可得点 F 的坐标是(2，0)，设点 T 的坐标为(3，m)，则直线 TF 的斜率 kTFm03（2）m.当 m0 时，直线 PQ 的斜率 kPQ1m，
30、直线 PQ 的方程是 xmy2.(4 分)第72页高考调研 高三总复习 数学（理）第73页高考调研 高三总复习 数学（理）设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立，得xmy2，x26 y22 1.第74页高考调研 高三总复习 数学（理）其判别式 16m28(m23)0，所以 y1y2 4mm23，y1y2 2m23，x1x2m(y1y2)4 12m23.所以 PQ 的中点 M 的坐标为6m23，2mm23.(7 分)所以直线 OM 的斜率 kOMm3.第75页高考调研 高三总复习 数学（理）又直线 OT 的斜率 kOTm3，所以点 M 在直线 OT 上
31、，因此 OT 平分线段 PQ.(8 分)由可得|TF|m21，(9 分)第76页高考调研 高三总复习 数学（理）|PQ|（x1x2）2（y1y2）2 24（m21）m23.(10 分)第77页高考调研 高三总复习 数学（理）所以|TF|PQ|124（m23）2m21 124m214m214 124（44）33.当且仅当 m214m21，即 m1 时取等号，此时|TF|PQ|取得最小值(11 分)所以当|TF|PQ|最小时，点 T 的坐标是(3，1)或(3，1)(12 分)第78页高考调研 高三总复习 数学（理）满分心得 把握规则争取满分1注意通性通法的应用在解题过程中，注意答题要求，严格按照题目及相关知识的要求答题，不仅注意解决问题的巧解，更要注意此类问题的通性通法如在解决本例(2)时，注意本题的实质是直接与圆锥曲线的相交问题，因此设出直线方程，然后联立椭圆方程构造方程组，利用根与系数关系求出 y1y2，y1y2 的值即为通法 第79页高考调研 高三总复习 数学（理）2关键步骤要全面阅卷时，主要看关键步骤、关键点，有关键步骤、关键点则得分，没有要相应扣分，所以解题时要写全关键步骤，踩点得分，对于纯计算过程等非得分点的步骤可简写或不写，根如本例(2)中，消去化简时，可直接写出结果，利用弦长公式求|PQ|时，也可省略计算过程请做：题组层级快练（五十七）
