1、2016-2017 学年江西省新余市高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1等于（）A1B1 CD2已知 cos（）=，且 是第四象限角，则 sin（2+）=（）ABCD3如图一铜钱的直径为 32 毫米，穿径（即铜钱内的正方形小孔边长）为 8 毫米，现向该铜钱内随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），则该粒米未落在铜钱的正方形小孔内的概率为（）ABCD4已知=（2，1），=（k，3），=（1，2），若（2），则|=（）AB3CD5如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入 a，b 分别为 14，1
2、8，则输出的 a=（）A0B2C4D146某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级全体 800 名学生中抽 50名学生做牙齿健康检查现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号，求得间隔数k=16，即每 16 人抽取一个人在 116 中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从 3348 这 16 个数中应取的数是（）A40B39C38D377直线 l：x+y+a=0 与圆 C：x2+y2=3 截得的弦长为，则 a=（）ABC3 D8要得到 y=cos2x+sinxcosx 的图象，只需把 y=sin2x 的图象上所有点（）A向左平移个单位，再向上移动个单位B向左平移个单位，再向上移动个单
3、位C向右平移个单位，再向下移动个单位D向右平移个单位，再向下移动个单位9已知函数，若且 f（x）在区间上有最小值，无最大值，则 的值为（）ABCD10已知函数的定义域为，值域为5，1，则函数 g（x）=abx+7 在b，a上，（）A有最大值 2 B有最小值 2 C有最大值 1 D有最小值 111在ABC 中，ABC=120，BA=2，BC=3，D，E 是线段 AC 的三等分点，则的值为（）ABCD12已知函数 f（x）=cos2+sinx（0），xR，若 f（x）在区间（，2）内没有零点，则 的取值范围是（）A（0，B（0，）C（0，D（0，二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20
4、 分）13弧长为 3，圆心角为 135的扇形半径为 ，面积为 14y=Asin（x+）（0，（0，）的图象的一段如图所示，它的解析式是 15已知 f（tanx）=cos2x，则 f（）的值是 16设函数 y=f（x）在区间上0，1的图象是连续不断的一条曲线，且恒有 0f（x）1，可以用随机模拟方法近似计算出曲线 y=f（x）及直线 x=0，x1=0，y=0 所围成部分的面积 S，先产生两组（每组 N 个）区间0，1上的均匀随机数X1，X2，X3，XN 和 y1，y2，y3，yN，由此得到 N 个点（xi，yi）（i=1，2，3N，再数出其中满足 yif（xi）（i=1，2，3，N）的点数 N1
5、，那么由随机方法可以得到 S 的近似值为 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤）17已知=（1，2），=（3，2），当 k 为何值时，（1）k与垂直？（2）k与夹角为钝角？18某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1 小时收费 6 元，超过 1 小时的部分每小时收费 8 元（不足 1 小时的部分按 1 小时计算）现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过 4 小时（）若甲停车 1 小时以上且不超过 2 小时的概率为，停车付费多于 14 元的概率为，求甲停车付费恰为 6 元的概率；（）若每人停车的时长在每个时段的
6、可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为 36 元的概率19已知函数+cos2x+a（aR，a 为常数）（）求函数的最小正周期；（）求函数的单调递减区间；（）若时，f（x）的最小值为2，求 a 的值20某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi（i=1，2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值46.65636.8289.81.61469108.8其中 wi=，=（）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣
7、传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（）已知这种产品的年利润 z 与 x、y 的关系为 z=0.2yx根据（）的结果回答下列问题：（i）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（un，vn），其回归直线 v=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=21设=，=（4sinx，cosxsinx），f（x）=（1）求函数 f（x）的解析式；（2）已知常数 0，若 y=f（x）在区间是增函数，求 的取
8、值范围；（3）设集合 A=，B=x|f（x）m|2，若 A B，求实数m 的取值范围22将函数 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数 f（x）的图象（1）写出函数 f（x）的解析式；（2）若对任意的 x，f2（x）mf（x）10 恒成立，求实数 m的取值范围；（3）求实数 a 和正整数 n，使得 F（x）=f（x）a 在0，n上恰有 2017 个零点 2016-2017 学年江西省新余市高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1等于（）A1B1 CD【
9、考点】GO：运用诱导公式化简求值【分析】由题意利用诱导公式，求得要求式子的值【解答】解：sin=sin=sin=，故选：C 2已知 cos（）=，且 是第四象限角，则 sin（2+）=（）ABCD【考点】GO：运用诱导公式化简求值；GH：同角三角函数基本关系的运用【分析】利用“”这组公式求出 cos，再利用诱导公式对所求的式子进行化简，由 的范围和平方关系求出 的正弦值，即求出所求的值【解答】解：由 cos（）=得，cos=，又因 为第四象限角，sin（2+）=sin=故选 A 3如图一铜钱的直径为 32 毫米，穿径（即铜钱内的正方形小孔边长）为 8 毫米，现向该铜钱内随机地投入一粒米（米的大
10、小忽略不计），则该粒米未落在铜钱的正方形小孔内的概率为（）ABCD【考点】CF：几何概型【分析】本题是几何概型的意义，关键是要求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解【解答】解：S 正=82=64mm2，S 圆=（）2=256mm2，该粒米落在铜钱的正方形小孔内的概率为 P=，该粒米未落在铜钱的正方形小孔内的概率为 1；故选 B 4已知=（2，1），=（k，3），=（1，2），若（2），则|=（）AB3CD【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】利用平面向量坐标运算法则求出，再由向量垂直的性质求出 k，由此能求出结果【解答】解：=（2，1），=
11、（k，3），=（1，2），=（22k，7），（2），（2）=22k+14=0，解得 k=6，=（6，3），|=3故选：A 5如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入 a，b 分别为 14，18，则输出的 a=（）A0B2C4D14【考点】EF：程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 a，b 的值，当 a=b=2 时不满足条件 ab，输出 a 的值为 2【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=14，b=18满足条件 ab，不满足条件 ab，b=4满足条件 ab，满足条件 ab，a=10满足条件 ab，满足条件 ab，a=6满足条件
12、 ab，满足条件 ab，a=2满足条件 ab，不满足条件 ab，b=2不满足条件 ab，输出 a 的值为 2故选：B 6某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级全体 800 名学生中抽 50名学生做牙齿健康检查现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号，求得间隔数k=16，即每 16 人抽取一个人在 116 中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从 3348 这 16 个数中应取的数是（）A40B39C38D37【考点】B4：系统抽样方法【分析】各组被抽到的数，应是第一组的数加上间隔的正整数倍，倍数是组数减一【解答】解：根据系统抽样的原理：应取的数是：7+162=39故选 B 7直线
13、 l：x+y+a=0 与圆 C：x2+y2=3 截得的弦长为，则 a=（）ABC3 D【考点】J9：直线与圆的位置关系【分析】根据弦长和圆半径，求出弦心距，结合点到直线距离公式，构造关于 a的方程，解得答案【解答】解：直线 l：x+y+a=0 与圆 C：x2+y2=3 截得的弦长为，圆心（0，0）到直线 x+y+a=0 的距离为：=，即=，解得：a=，故选：D 8要得到 y=cos2x+sinxcosx 的图象，只需把 y=sin2x 的图象上所有点（）A向左平移个单位，再向上移动个单位B向左平移个单位，再向上移动个单位C向右平移个单位，再向下移动个单位D向右平移个单位，再向下移动个单位【考点
14、】HJ：函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：由于 y=cos2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x+）+，只需把 y=sin2x 的图象上所有点向左平移个单位，再向上移动个单位，可得 y=cos2x+sinxcosx 的图象，故选：A 9已知函数，若且 f（x）在区间上有最小值，无最大值，则 的值为（）ABCD【考点】HJ：函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】依题意，直线 x=为 f（x）=sin（x+）（0）的一条对称轴，且+=2k（kZ），由 0，即可求得答案【
15、解答】解：f（x）=sin（x+）（0），且 f（）=f（），在区间（，）上有最小值，无最大值，直线 x=为 f（x）=sin（x+）（0）的一条对称轴，+=2k（kZ），=4（2k）（kZ），=，解之得：6，又 0，当 k=1 时，=故选：C 10已知函数的定义域为，值域为5，1，则函数 g（x）=abx+7 在b，a上，（）A有最大值 2 B有最小值 2 C有最大值 1 D有最小值 1【考点】H4：正弦函数的定义域和值域【分析】此题考查正弦型函数的值域问题，配合指数函数的单调性最值问题，设t=2x+，x，那么 t，是关键【解答】解：已知函数的定义域为，值域为5，1不妨设 t=2x+，x，那
16、么 t，h（t）=f（x）=2asint+b，abf（x）max=h（）=2asin+b=1f（x）min=h（）=2asin+b=5由解得，a=2，b=3又g（x）=23x+7 在3，2上单调递减g（x）min=g（2）=2即，函数 g（x）=abx+7 在b，a上有最小值 2故选：B 11在ABC 中，ABC=120，BA=2，BC=3，D，E 是线段 AC 的三等分点，则的值为（）ABCD【考点】9R：平面向量数量积的运算；9V：向量在几何中的应用【分析】根据向量加法、减法的几何意义，可用，分别表示，从而进行数量积的运算即可【解答】解：如图，根据已知条件：=+=+=+（）=（2+）；同理
17、=（+2）；=（22+5+22）=（815+18）=故选：B 12已知函数 f（x）=cos2+sinx（0），xR，若 f（x）在区间（，2）内没有零点，则 的取值范围是（）A（0，B（0，）C（0，D（0，【考点】54：根的存在性及根的个数判断【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可【解答】解：函数 f（x）=cos2+sinx=cosx+sinx=sin（x+），可得 T=，02，f（x）在区间（，2）内没有零点，函数的图象如图两种类型，结合三角函数可得：或，解得（0，）故选：B 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 2
18、0 分）13弧长为 3，圆心角为 135的扇形半径为 4，面积为 6【考点】G8：扇形面积公式；G7：弧长公式【分析】直接利用扇形的弧长公式，求出扇形的半径，然后求出扇形的面积【解答】解：因为弧长为 3，圆心角为 135=，所以扇形的半径为：，所以扇形的面积为：=6故答案为：4；6 14y=Asin（x+）（0，（0，）的图象的一段如图所示，它的解析式是 y=sin（2x+）【考点】HK：由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出，由五点法作图求出 的值，可得函数的解析式【解答】解：根据 y=Asin（x+）（0，（0，）的图象，可得 A=
19、，=（），=2，再根据五点法作图可得 2（）+=，=，故函数的解析式为 y=sin（2x+），故答案为：y=sin（2x+）15已知 f（tanx）=cos2x，则 f（）的值是 【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用【分析】用 tanx 表示出 cos2x，再计算 f（）的值【解答】解：f（tanx）=cos2x=cos2sin2=，则 f（）=故答案为：16设函数 y=f（x）在区间上0，1的图象是连续不断的一条曲线，且恒有 0f（x）1，可以用随机模拟方法近似计算出曲线 y=f（x）及直线 x=0，x1=0，y=0 所围成部分的面积 S，先产生两组（每组 N 个）区间0，1上的均匀随机数
20、X1，X2，X3，XN 和 y1，y2，y3，yN，由此得到 N 个点（xi，yi）（i=1，2，3N，再数出其中满足 yif（xi）（i=1，2，3，N）的点数 N1，那么由随机方法可以得到 S 的近似值为 【考点】67：定积分【分析】由题意知本题是求01f（x）dx，而它的几何意义是函数 f（x）（其中 0f（x）1）的图象与 x 轴、直线 x=0 和直线 x=1 所围成图形的面积，积分得到结果【解答】解：01f（x）dx 的几何意义是函数 f（x）（其中 0f（x）1）的图象与 x 轴、直线 x=0 和直线 x=1 所围成图形的面积，根据几何概型易知01f（x）dx故答案为：三、解答题（
21、共 6 小题，满分 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤）17已知=（1，2），=（3，2），当 k 为何值时，（1）k与垂直？（2）k与夹角为钝角？【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】由已知向量的坐标求得 k与的坐标（1）直接由向量垂直的坐标运算得答案；（2）由数量积小于 0 求出 k 的范围，去掉共线反向的 k 值得答案【解答】解：=（1，2），=（3，2），k=k（1，2）+（3，2）=（k3，2k+2），=（1，2）3（3，2）=（10，4）（1）由（k）（），得 10（k3）4（2k+2）=0，即 k=19；（2）若 k与夹角为钝角，则 10（k3）4（2k+
22、2）0，即 k19，又（k）（），得4（k3）10（2k+2）=0，解得 k=此时两向量方向相反，k19 且 k 18某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1 小时收费 6 元，超过 1 小时的部分每小时收费 8 元（不足 1 小时的部分按 1 小时计算）现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过 4 小时（）若甲停车 1 小时以上且不超过 2 小时的概率为，停车付费多于 14 元的概率为，求甲停车付费恰为 6 元的概率；（）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为 36 元的概率【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；C4：互斥事件
23、与对立事件【分析】（）根据题意，由全部基本事件的概率之和为 1 求解即可（）先列出甲、乙二人停车付费之和为 36 元的所有情况，再利用古典概型及其概率计算公式求概率即可【解答】解：（）设“甲临时停车付费恰为 6 元”为事件 A，则所以甲临时停车付费恰为 6 元的概率是（）设甲停车付费 a 元，乙停车付费 b 元，其中 a，b=6，14，22，30则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：（6，6），（6，14），（6，22），（6，30），（14，6），（14，14），（14，22），（14，30），（22，6），（22，14），（22，22），（22，30），（30，6），（30，14），
24、（30，22），（30，30），共 16 种情形其中，（6，30），（14，22），（22，14），（30，6）这 4 种情形符合题意故“甲、乙二人停车付费之和为 36 元”的概率为 19已知函数+cos2x+a（aR，a 为常数）（）求函数的最小正周期；（）求函数的单调递减区间；（）若时，f（x）的最小值为2，求 a 的值【考点】H1：三角函数的周期性及其求法；H5：正弦函数的单调性；HW：三角函数的最值【分析】化简函数+cos2x+a（aR，a 为常数）为一个角的一个三角函数的形式，（I）直接根据周期公式求出函数的最小正周期；（II）借助正弦函数的单调减区间，求函数的单调递减区间；（III
25、）若时，f（x）的 最 小 值 为 2，求 出取得最小值求解即可【解答】解：（I）f（x）的最小正周期，T=（II）因为 y=sinx 的减区间为：，kZ所以即（kZ）时，函数 f（x）单调递减，故所求区间为（III）时，时f（x）取得最小值2sin 20某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi（i=1，2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值46.65636.8289.81.61469108.8其中 wi=，=（）根据散点图判断，y=a+
26、bx 与 y=c+d哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（）已知这种产品的年利润 z 与 x、y 的关系为 z=0.2yx根据（）的结果回答下列问题：（i）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（un，vn），其回归直线 v=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=【考点】BK：线性回归方程【分析】（）根据散点图，即可判断出，（）先建立中间量=，建立 y
27、关于 w 的线性回归方程，根据公式求出 w，问题得以解决；（）（i）年宣传费 x=49 时，代入到回归方程，计算即可，（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出【解答】解：（）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型（）令=，先建立 y 关于 的线性回归方程由于 d=68，c=563686.8=100.6，所以 y 关于 w 的线性回归方程为 y=100.6+68w，因此 y 关于 x 的回归方程为 y=100.6+68（）（i）由（）知，当 x=49 时，年销售量 y 的预报值 y=100.6+68=576.6，年利润 z 的预报值 z=57
28、6.60.249=66.32（ii）根据（）的结果知，年利润 z 的预报值 z=0.2x=x+13.6+20.12，当=6.8 时，年利润的预报值最大故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大 21设=，=（4sinx，cosxsinx），f（x）=（1）求函数 f（x）的解析式；（2）已知常数 0，若 y=f（x）在区间是增函数，求 的取值范围；（3）设集合 A=，B=x|f（x）m|2，若 A B，求实数m 的取值范围【考点】H5：正弦函数的单调性；18：集合的包含关系判断及应用；9R：平面向量数量积的运算【分析】（1）通过数量积的计算，利用二倍角公式化简函数的表达式，化为一个角
29、的一个三角函数的形式，即可（2）结合正弦函数的单调增区间，y=f（x）在区间是增函数，说明求出 的取值范围；（3）简化集合 B，利用 A B，得到恒成立的关系式，求出实数 m 的取值范围【解答】解：（1）f（x）=sin24sinx+（cosx+sinx）（cosxsinx）=4sinx+cos2x=2sinx（1+sinx）+12sin2x=2sinx+1，f（x）=2sinx+1（2）f（x）=2sinx+1，0由 2kx2k+，得 f（x）的增区间是，kZf（x）在上是增函数，且，（3）由|f（x）m|2，得2f（x）m2，即 f（x）2mf（x）+2A B，当x时，不等式 f（x）2m
30、f（x）+2 恒成立，f（x）max2mf（x）min+2，f（x）max=f（）=3，f（x）min=f（）=2，m（1，4）22将函数 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数 f（x）的图象（1）写出函数 f（x）的解析式；（2）若对任意的 x，f2（x）mf（x）10 恒成立，求实数 m的取值范围；（3）求实数 a 和正整数 n，使得 F（x）=f（x）a 在0，n上恰有 2017 个零点【考点】HJ：函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】（1）利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，求得 f（x）的解析
31、式（2）令 t=f（x）0，1，则 g（t）=t2mt10 恒成立，再根据二次函数的性质可得 g（0）=10，且 g（1）=m0，由此解得 m 的范围（3）由题意可得 f（x）的图象和直线 y=a 在0，n上恰有 2017 个交点，分类讨论，求得 a、n 的值【解答】解：（1）把函数 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），可得 y=sin2x 的图象；再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数 f（x）=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，故函数 f（x）的解析式为 f（x）=sin（2x+）（2）若对任意的 x，2x+0，f（x）=sin（2x+）0，1，
32、f2（x）mf（x）10 恒成立，令 t=f（x）0，1，则 g（t）=t2mt10 恒成立，故有 g（0）=10，且 g（1）=m0，解得 m0（3）F（x）=f（x）a 在0，n上恰有 2017 个零点，故 f（x）的图象和直线 y=a 在0，n上恰有 2017 个交点在0，上，2x+，当 a1，或 a1 时，f（x）的图象和直线 y=a 在0，n上无交点当 a=1，或 a=1 时，f（x）的图象和直线 y=a 在0，仅有一个交点，此时，f（x）的图象和直线 y=a 在0，n上恰有 2017 个交点，则 n=2017当1a，或a1 时，f（x）的图象和直线 y=a 在0，上恰有 2个交点，f（x）的图象和直线 y=a 在0，n上有偶数个交点，不会有 2017 个交点当 a=时，f（x）的图象和直线 y=a 在0，上恰有 3 个交点，此时，n=1008，才能使 f（x）的图象和直线 y=a 在0，n上有 2017 个交点综上可得，当 a=1，或 a=1 时，n=2017；当 a=时，此时，n=1008 2017 年 7 月 28 日
