1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。解答题专项练(五)解析几何综合问题1.已知抛物线C:y2=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线PA交y轴于M,直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围.(2)设O为原点,=,=,求证:+为定值.【解析】将点P代入C的方程得4=2p,即p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x,(1)显然l斜率存在,设为k,则l:y=kx+1,由消去y得k2x2+(2k-4)x+1=0,(*)由已知,方程(*)有两个不同的根,且1
2、不是方程的根(因为PA,PB都与y轴有交点),所以=-16k+160且k2+(2k-4)+10,即k1,且k-3,且k1,所以k0.|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).所以4(m2+1)=20,解得m=2,所以直线l的方程是x=2y+1,即x2y-1=0.3.如图,已知椭圆C1:+=1(b0)的左焦点F与抛物线C2:y2=-2px(p0)的焦点重合,M是C1与C2在第二象限内的交点,抛物线的准线与x轴交于点E,且|AE|=.(1)求椭圆C1及抛物线C2的方程.(2)过E作直线l交椭圆C1于A,B两点,则在椭圆的长轴上是否存在点N,使得为定值?若存在,求出点N的坐标及定值;若不存在,请说明
3、理由.【解析】(1)由两曲线焦点重合,知=,由椭圆的对称性,知E为椭圆的右焦点,连接MF,由椭圆的定义知|MF|+|ME|=4,则|MF|=4-=.设M(xM,yM),过点M作准线的垂线,垂足为H,由抛物线的定义知|MF|=|MH|=,因而yM=,xM=-,代入+=1中,得+=1,与=联立,得p=2,b2=3,所以椭圆的方程为+=1,抛物线的方程为y2=-4x.(2)由(1)知E(1,0),若直线l的斜率存在,设直线方程为y=k(x-1),由得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=,x1x2=.假设点N存在,其坐标为(m,0),其
4、中-2m2,=(x1-m,y1)(x2-m,y2)=(x1-m)(x2-m)+k(x1-1)k(x2-1)=(1+k2)x1x2-(m+k2)(x1+x2)+m2+k2=(1+k2)-(m+k2)+m2+k2=.若为定值,则满足=,得m=,定值为-.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,不妨设其与椭圆+=1的交点为A1,B1,-,又N,0,则=-,-,-=-,综上,在椭圆的长轴上存在点N,0,使得=-,为定值.4.设椭圆C:+=1(ab0)的离心率e=,抛物线E:y2=4x的焦点恰好是椭圆C的右焦点F.(1)求椭圆C的标准方程.(2)过点F作两条斜率都存在的直线l1,l2,设l1与椭圆
5、C交于A,B两点,l2与椭圆C交于G,H两点,若|AF|是|AH|-|FH|与|AH|+|FH|的等比中项,求|AF|BF|+|GF|HF|的最小值.【解析】(1)依题意得椭圆C的右焦点F的坐标为(1,0),即c=1,又e=,所以a=2,b2=3,故椭圆C的标准方程为+=1.(2)因为|AF|是|AH|-|FH|与|AH|+|FH|的等比中项,所以|AF|2=|AH|2-|FH|2,即|AF2|+|FH|2=|AH|2,所以直线l1l2,又直线l1,l2的斜率均存在,所以两直线的斜率都不为零,故可设直线l1:x=ky+1(k0),直线l2:x=-y+1,A(x1,y1),B(x2,y2),G(x3,y3),H(x4,y4),由消去x,得(3k2+4)y2+6ky-9=0,所以同理得所以|AF|FB|=(1+k2)|y1y2|,|GF|FH|=|y3y4|,|AF|FB|+|GF|FH|=(1+k2)|y1y2|+|y3y4|=(1+k2)+=9(k2+1)=,又k20,所以k2+2,=(当且仅当k2=1时取等号),故|AF|FB|+|GF|FH|的最小值为.关闭Word文档返回原板块
