1、2020-2021学年江西省抚州市南城一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、单选题（共12小题，每题5分，共60分）.1已知全集U2，1，0，1，2，3，集合Ax|0x1，xZ，B1，2，则U（AB）（）A1，2 B0，1，2 C2，1，3 D2，1，0，32已知复数，则其共轭复数的虚部为（）ABCD3若l，m是平面外的两条不同直线，且m，则“lm”是“l”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4若直线x+（1+m）y20和直线mx+2y+40平行，则m的值为（）A1B2C1或2D5将函数图象变为y2cosx的一个伸缩变换为（）ABCD62020年，新型冠状病毒
2、引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为（）A0.7B0.4C0.6D0.37中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图执行该程序框图，若输入x2，n2，依次输入a的值为1，2，3，则输出的s（）A10B11C16D178已知抛物线C：y24x，直线与抛物线C交于A，B两点，则|AB|的长度为（）ABCD59ABC中，AB1，AC，B120，则的值为（）ABCD10矩形ABCD中，AB4，AD2，点
3、E为CD中点，沿AE把ADE折起，点D到达点P，使得平面PAE平面ABCE，则异面直线AB与PC所成角的余弦值为（）ABCD11已知菱形ABCD的边长为，BAD60，将ABD沿BD折起，使A，C两点的距离为，则所得三棱锥ABCD的外接球的表面积为（）A3BC6D12已知圆的一条切线ykx与双曲线没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）AB（1，2CD2，+）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13已知命题p：“xR，使得ax2+2x+10成立”为假命题，则a的取值范围为 14在新冠肺炎疫情期间，大多数学生都进行网上上课我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“钉钉”
4、授课软件的意见，计划采用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取一个容量为72的样本若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的人数为 15曲线ylnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 16已知下列等式成立：，由此请你猜测等式（m、n均为正整数）中为 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17已知命题p：“复数zx8+（x22x）i在复平面上对应的点在第二象限”，命题q：“x24mx+3m20，（m0）”（1）若m1，pq为真，求x的取值范围（2）若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围18今年两会期间国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性
5、的阐述引起了全社会的共鸣某大学学生发展中心对大一的400名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的直方图（引体向上个数只记整数）学生发展中心为进一步了解情况，组织了两个研究小组（1）第一小组决定从单次完成115个的引体向上男生中，按照分层抽样抽取11人进行全面的体能测试，单次完成1115个引体向上的男生甲被抽到的概率是多少？该小组又从这11人中抽取2人进行个别访谈，已知抽到的其中一个男生单次完成了3个引体向上，求抽到的另一个男生单次完成了1115个引体向上的概率是多少？（2）第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这400人的学业成绩与体育成绩之间的22列联表学业优秀学
6、业不优秀总计体育成绩不优秀100200300体育成绩优秀5050100总计150250400请你根据联表判断是否有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？参考公式及数据：K2P（K2k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001k00.460.711.322.072.713.845.0246.6357.87910.82819如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，ABDC，PEDC，ADDC，PD平面ABCD，ABPDDA2PE，CD3PE，F是CE的中点（1）求证：BF平面ADP（2）已知O是BD的中点，求证：BD
7、平面AOF20已知等差数列an的前n项和为Sn，S525，且a31，a4+1，a7+3成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若bn2nan，Tn是数列bn的前n项和，求Tn21在直角坐标系xOy中，直线l的方程为以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为2sin，曲线C2的参数方程为（1）求曲线C1的直角坐标方程（2）求曲线C1上的动点P到直线l距离的最小值（3）若Q（x，y）为曲线C2上第一象限的动点，A、B分别为曲线C2与直角坐标轴正半轴的交点，求四边形OAQB面积的最大值22已知函数f（x）aex（x2）（a0）（）求f（x）的单调区间；（）当a1
8、时，求函数g（x）f（x）+x22x的极值参考答案一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1已知全集U2，1，0，1，2，3，集合Ax|0x1，xZ，B1，2，则U（AB）（）A1，2B0，1，2C2，1，3D2，1，0，3解：因为全集U2，1，0，1，2，3，集合Ax|0x1，xZ0，1，B1，2，AB0，1，2；则U（AB）2，1，3；故选：C2已知复数，则其共轭复数的虚部为（）ABCD解：，则，所以共轭复数的虚部为故选：B3若l，m是平面外的两条不同直线，且m，则“lm”是“l”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：l，m是平面外的两条不同的直线，
9、m，若lm，则推出“l”，若l，则lm或l与m相交，故若l，m是平面外的两条不同直线，且m，则“lm”是“l”的充分不必要条件故选：A4若直线x+（1+m）y20和直线mx+2y+40平行，则m的值为（）A1B2C1或2D解：直线x+（1+m）y20和直线mx+2y+40平行，可得，得：m1，故选：A5将函数图象变为y2cosx的一个伸缩变换为（）ABCD解：根据题意，设这个伸缩变化为，若将函数图象变为y2cosx，即nycos2mx，则有2m1，2；即，故选：C62020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医
10、院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为（）A0.7B0.4C0.6D0.3解：重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，基本事件总数n10，恰有1名医生和1名护士被选中包含的基本事件个数m6，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为p0.6故选：C7中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图执行该程序框图，若输入x2，n2，依次输入a的值为1，2，3，则输出的s（）A10B11C16D17解：输入的x2，n2，当输入的a为1时，S1，k1，不满足退出循环的条件；当
11、再次输入的a为2时，S4，k2，不满足退出循环的条件；当输入的a为3时，S11，k3，满足退出循环的条件；故输出的S值为11，故选：B8已知抛物线C：y24x，直线与抛物线C交于A，B两点，则|AB|的长度为（）ABCD5解：直线的普通方程为：y2x+5，联立方程组，消元可得：4x224x+250，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x26，x1x2，|AB|x1x2|故选：A9ABC中，AB1，AC，B120，则的值为（）ABCD解：ABC中，AB1，AC，B120，ABBC1，由余弦定理可得，即BC2+BC20，解得BC1或BC2（舍），D为BC的靠近C的三等分点，故选：C10矩形
12、ABCD中，AB4，AD2，点E为CD中点，沿AE把ADE折起，点D到达点P，使得平面PAE平面ABCE，则异面直线AB与PC所成角的余弦值为（）ABCD解：如右图，因为ABCE，异面直线AB与PC所成角就是PCE或其补角，在PCE中，EC2，PE2，在左图中作DOAE，垂足为O，则，所以，所以故选：D11已知菱形ABCD的边长为，BAD60，将ABD沿BD折起，使A，C两点的距离为，则所得三棱锥ABCD的外接球的表面积为（）A3BC6D解：因为ABCD是菱形，边长为，且BAD60，所以ABD，BCD是一个边长为等边三角形，将ABD沿BD折起，使A，C两点的距离为，故成将三棱锥ABCD放入一个
13、正方体中，使得三棱锥的棱长为正方体面对角线，故正方体的棱长为，所以正方体的外接球即为三棱锥的外接球，则外接球的直径，故三棱锥ABCD的外接球的表面积为故选：B12已知圆的一条切线ykx与双曲线没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）AB（1，2CD2，+）解：由题意，圆心到直线的距离d，k圆的一条切线ykx与双曲线没有公共点，1+，双曲线C的离心率的取值范围是（1，2故选：B二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13已知命题p：“xR，使得ax2+2x+10成立”为假命题，则a的取值范围为a1解：命题p：“xR，使得ax2+2x+10成立”为假命题；故命题p：“对xR，使得ax2+2
14、x+10成立”为真命题；当a0时，x，故错误，当a0时，44a0，解得a1，故a的取值范围为：a1故答案为：a114在新冠肺炎疫情期间，大多数学生都进行网上上课我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“钉钉”授课软件的意见，计划采用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取一个容量为72的样本若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的人数为650解：高一、高二、高三共有学生1800名，采用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取一个容量为72的样本从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则高一、高二、高三抽取的人数可以设为2n2，2
15、n，2n+2，2n2+2n+2n+272，解得n12，则高三抽取的人数为212+226人，高三年级的人数为1800650故答案为：65015曲线ylnx+x+1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为y2x解：ylnx+x+1的导数为y+1，设切点为（m，n），可得k1+2，解得m1，即有切点（1，2），则切线的方程为y22（x1），即y2x，故答案为：y2x16已知下列等式成立：，由此请你猜测等式（m、n均为正整数）中为64解：由2，得7231，由3，得26331，则由8，可得到，64故答案为：64三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17已知命题p：“复数zx8+（x22x）i在复平面上
16、对应的点在第二象限”，命题q：“x24mx+3m20，（m0）”（1）若m1，pq为真，求x的取值范围（2）若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围解：（1）复数zx8+（x22x）i在复平面上的点在第二象限，则，x0或2x8，当m1时，q：x24x+30，x1或x3，pq为真，2x3x的取值范围为 （2，3（2）p：0x2或x8，q：x24mx+3m20（m0），x3m或xm，p是q的充分不必要条件，2m，m的取值范围（2，）18今年两会期间国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣某大学学生发展中心对大一的400名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的直方图
17、（引体向上个数只记整数）学生发展中心为进一步了解情况，组织了两个研究小组（1）第一小组决定从单次完成115个的引体向上男生中，按照分层抽样抽取11人进行全面的体能测试，单次完成1115个引体向上的男生甲被抽到的概率是多少？该小组又从这11人中抽取2人进行个别访谈，已知抽到的其中一个男生单次完成了3个引体向上，求抽到的另一个男生单次完成了1115个引体向上的概率是多少？（2）第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这400人的学业成绩与体育成绩之间的22列联表学业优秀学业不优秀总计体育成绩不优秀100200300体育成绩优秀5050100总计150250400请你根据联表判断
18、是否有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？参考公式及数据：K2P（K2k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001k00.460.711.322.072.713.845.0246.6357.87910.828解：（1）因为0.02：0.03：0.062：3：6，所以，则从15，610，1115中选出的个数分别为2个，3个，6个，因为单次完成1115个引体向上的人数共有0.065400120人，则单次完成1115个引体向上的男生甲被抽到的概率是p；抽到的其中一个男生单次完成了3个引体向上，记为事件A，抽到的另一个男生单次完成了1115个引体
19、向上，记为事件B，P（AB）P（A），所以P（B/A）（2）因为K28.8897.879，所以有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关19如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，ABDC，PEDC，ADDC，PD平面ABCD，ABPDDA2PE，CD3PE，F是CE的中点（1）求证：BF平面ADP（2）已知O是BD的中点，求证：BD平面AOF【解答】证明：（1）作FMCD，垂足为M，连接BM，则DM2PEAB，EMPDDMAB，DMBA是平行四边形，BMAD，BM平面ADP，AD平面ADPBM平面ADP同理EM平面ADPBMEMM平面BFM平面ADPBF平面BF
20、M，BF平面ADP；（2）由（1）可知FMPE，DMBM2PE，FDFBPE，O是BD的中点，FOBD，ADAB，O是BD的中点，AOBD，AOFOO，BD平面AOF20已知等差数列an的前n项和为Sn，S525，且a31，a4+1，a7+3成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若bn2nan，Tn是数列bn的前n项和，求Tn解：（1）设等差数列an的公差为d，由S525，可得5a1+10d25，即a1+2d5，又a31，a4+1，a7+3成等比数列，可得（a4+1）2（a31）（a7+3），即为（a1+3d+1）2（a1+2d1）（a1+6d+3），即有（6+d）2（51）（8+4d）
21、，解得d2，a11，则an1+2（n1）2n1；（2）bn2nan（2n1）2n，所以Tn12+322+523+.+（2n1）2n，2Tn122+323+524+.+（2n1）2n+1，两式相减可得Tn2+2（22+23+.+2n）（2n1）2n+12+2（2n1）2n+1，化为Tn6+（2n3）2n+121在直角坐标系xOy中，直线l的方程为以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为2sin，曲线C2的参数方程为（1）求曲线C1的直角坐标方程（2）求曲线C1上的动点P到直线l距离的最小值（3）若Q（x，y）为曲线C2上第一象限的动点，A、B分别为曲线C2与直
22、角坐标轴正半轴的交点，求四边形OAQB面积的最大值解：（1）由2sin，得22sin，又2x2+y2，ysin，曲线C1的直角坐标方程为x2+y22y0；（2）由x2+y22y0，得x2+（y1）21，则圆心坐标为（0，1），半径为1，圆心（0，1）到直线的距离d，曲线C1上的动点P到直线l距离的最小值为211（3）由曲线C2的参数方程为，得如图，设Q（2cos，sin）（为离心角，0），则S四边形OAQBSOAQ+SOBQ，当时，四边形OAQB面积取最大值为22已知函数f（x）aex（x2）（a0）（）求f（x）的单调区间；（）当a1时，求函数g（x）f（x）+x22x的极值解：（）f（x）aex（x1），若a0，由f（x）0，得x1；由f（x）0，得x1，f（x）的递减区间为（，1），递增区间为（1，+）若a0，由f（x）0，得x1；由f（x）0，得x1，f（x）的递减区间为（1，+），递增区间为（，1）（）当a1时，g（x）f（x）+x22xex（x2）+x22x，g（x）ex（x1）+2x2（x1）（ex2）由g（x）0，得x1或xln2当x变化时，g（x）与g（x）的变化情况如下表：x（，ln2）ln2（ln2，1）1（1，+）g（x）0+0g（x）递减极小值递增极大值递减g（x）极小值g（ln2）（ln2）24ln2+4（ln22）2；g（x）极大值g（1）e1
