1、宁夏银川市银川六中2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）（满分：150分，考试时间：120分钟）第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】时，如果，或，方程不是椭圆；当方程的曲线是椭圆时，则成立，即可得出结论.【详解】当时，方程的曲线不一定是椭圆，例如：当时，方程的曲线不是椭圆而是圆；或者是，都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程的曲线是椭圆时，应有，都大于0，且
2、两个量不相等，得到；由上可得：“”是“方程曲线是椭圆”的必要不充分条件.故选:B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判定，考查椭圆的标准方程，属于基础题.2. 已知抛物线上一点到焦点的距离为3，则点到轴的距离为（ ）A. B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】根据抛物线的定义可知，点到焦点的距离和到准线的距离相等，抛物线的准线方程为，所以点到轴的距离为 ，故选C.3. 椭圆的焦距为8，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10，则该椭圆的标准方程是 （ ）A. B. 或C. D. 或【答案】B【解析】 由题意得，焦距为，所以，则，所以， 所以当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的方程为；当椭圆的焦点在轴上
3、时，椭圆的方程为， 综上，椭圆的标准方程为或，故选B4. 下列说法正确的是（ ）A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”B. 命题“”的否定是“”C. 命题“若，则”的逆否命题为假命题D. 若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为【答案】D【解析】【分析】利用四种命题的逆否判断的正误，命题的否定判断的正误；根据充分条件与必要条件判断C的正误；根据椭圆的离心率可得关系，进而求得双曲线的渐近线方程；【详解】解：对于，命题“若，则”的否命题为：“若，则”，故错误；对于，命题“，使得”的否定是：“ 均有”，故错误；对于，因为原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题，故C错误；对D，因为，所以双曲线的渐近
4、线方程为，故 D正确.故选：D.【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查四种命题的逆否关系，命题的否定以及充要条件的判断，是基本知识的综合应用5. 抛物线的顶点和椭圆的中心重合，抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，则抛物线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】依题意可求得椭圆的右焦点，从而可求得抛物线中的，继而可得答案【详解】解：依题意知，椭圆的右焦点，设抛物线的方程为：，则，抛物线的方程为：故选：A【点睛】本题考查椭圆与抛物线的简单性质，判断抛物线的焦点位置及求参数的值是关键，属于基础题6. 已知定点A、B，且|AB|4，动点P满足|PA|PB|3，则|PA|的最小
5、值是（ ）A. B. C. D. 5【答案】A【解析】【分析】根据题意，判断点的轨迹是双曲线，再根据双曲线的几何性质，即可求得.【详解】由动点P满足|PA|PB|3，且故可得点的轨迹为以为左右焦点的双曲线，故可得，解得，由双曲线的几何性质可得的最小值为.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的定义，以及其几何性质，属综合基础题.7. 点满足关系式，则点M的轨迹是（ ）A. 椭圆B. 双曲线C. 双曲线的一支D. 线段【答案】D【解析】【分析】表示点与点和的距离之和，结合图形，可得答案.【详解】表示点与点和的距离之和.又点和的距离之和6,即,所以.所以点在线段上, 则点M的轨迹是线段.故选：D【点睛】
6、本题考查两点间的距离的公式和椭圆的定义中的条件，属于中档题.8. 如图，平行六面体中，与交于点，设，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由于，代入化简即可得出【详解】，故选D【点睛】本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则、平行六面体的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9. 已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据离心率求出关系，求出即可得出结果.【详解】由题知，即=，=，=，的渐近线方程为.故选：C.【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义，考查了分析能力和计算能力
7、，属于基础题.10. 已知P为抛物线上一点，F为该抛物线焦点，若A点坐标为，则最小值为A. B. 5C. 7D. 11【答案】B【解析】【分析】利用抛物线的定义，转化为A到准线的距离就是|PA|+|PF|的最小值，即可得出结论【详解】将x=3代入抛物线方程y2=8x，得 A在抛物线内部设抛物线上的点P到准线l：x=-2的距离为d，由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d，所以当PAl时，|PA|+d最小，最小值为5故选B【点睛】本题考查抛物线的定义和性质的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题11. 设是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若最大值为5，则椭圆的离心率为（ ）A B.
8、 C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出，由椭圆的定义得，所以为椭圆的通径时最小，此时取得最大值5，即可得，从而求出b的值，最后求出椭圆的离心率【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上，可知，因为过的直线交椭圆于A，B两点，所以由椭圆的定义知：，所以，当轴时，最小，的值最大，此时为椭圆的通径，由通径公式可得：所以，解得：，所以，故选：A【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，以及椭圆的几何性质，属于中档题.12. 一动圆P过定点，且与已知圆相切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分两圆内切和外切两种情况进行讨论可得，结合双曲线的定义可求出其圆心的轨迹方程
9、.【详解】由已知得，当两圆内切时，定圆N在动圆P的内部，有；当两圆外切时有，故，由双曲线的定义知，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线，且，所以，故圆心P的轨迹方程为.故选：C【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线轨迹方程的求解，考查了两圆相切问题，属于基础题.二、填空题（本大题共20分）13. 若 则 _ 【答案】【解析】【分析】由空间向量坐标运算先写出坐标，再求模即可.【详解】 , 故答案为3.【点睛】本题考查空间向量坐标运算及模长计算，属于基础题.14. 双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是_【答案】1【解析】【分析】求出右焦点坐标， 渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求解.【详
10、解】由知：， ，所以 ，即，右焦点 ，其中一条渐近线，所以右焦点到渐近线距离为，故答案为：1【点睛】本题组要考查了双曲线的基本性质，焦点到渐近线的距离等于，属于基础题.15. 已知下列几个命题：的两个顶点为，周长为18，则C点轨迹方程为；“”是“”的必要不充分条件；已知命题，则为真，为假，为假；双曲线的离心率为其中正确的命题的序号为_【答案】【解析】【分析】根据椭圆定义可对进行判断；根据必要不充分条件定义可对进行判断；根据复合命题的真假可对进行判断；根据双曲线的离心率公式可对进行判断.【详解】的两个顶点为，周长为18，则C点轨迹方程为，当时，构不成三角形，错误；当时，所以不一定有，错误；已知命
11、题是真命题，是假命题，根据复合命题的真假判断，为真，为假，为假，正确；双曲线，所以，正确其中正确的命题的序号是，故答案为：.【点睛】本题考查了椭圆定义、双曲线离心率、必要不充分条件及复合命题真假的判断，属于基础题.16. 一动点到轴距离比到点的距离小，则此动点的轨迹方程为 .【答案】或【解析】设动点为，则由条件得，平方得，当时，；当时，所以动点的轨迹方程为或.考点：求平面轨迹方程.三、解答题（本大题70分）17. 已知抛物线的标准方程是.（1）求它的焦点坐标和准线方程；（2）直线过已知抛物线的焦点且倾斜角为45，且与抛物线的交点为，求的长度.【答案】(1)焦点为，准线方程：；(2)12.【解析
12、】试题分析：（1）抛物线的标准方程为，焦点在轴上，开口向右，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程；（2）现根据题意给出直线的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可试题解析：（1）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，=焦点为F（，0），准线方程：x=，（2）直线L过已知抛物线焦点且倾斜角为45，直线L的方程为y=x，代入抛物线y2=6x化简得x29x+=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=9，所以|AB|=x1+x2+p=9+3=12故所求的弦长为12点睛：本题考查了直线与怕西安的位置关系中的弦长公式的应用，本题的解答中
13、根据直线过抛物线的焦点，根据抛物线的定义，抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化同时如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化18. 如图，在正四棱柱中，为棱的中点，.（1）若，求；（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系写出，的坐标，并求异面直线与所成角的余弦值.【答案】(1) ； (2) .【解析】【分析】（1）根据题意，由空间向量基本定理，得到，再由题中条
14、件，即可求出结果；（2）根据题中条件，得到向量与的坐标，再由向量的夹角公式，即可得出结果.【详解】（1）因为在正四棱柱中，为棱的中点，所以， 又，所以，；. （2）由题意，以及题中坐标系可得：， 则， 从而， 故异面直线与所成角的余弦值为.【点睛】本题主要考查根据基底表示向量求参数，以及求异面直线所成角的余弦值，熟记空间向量的基本定理，以及空间向量的方法求异面直线所成的角即可，属于常考题型.19. 已知命题：方程表示焦点在y轴上的椭圆；命题：双曲线的离心率, 若有且只有一个为真, 求的取值范围.【答案】 【解析】试题分析：先将方程化成椭圆标准方程,再根据焦点在y轴上确定的取值范围;由双曲线标准
15、方程确定 ,再由 确定的取值范围;由有且只有一个为真,得一真一假，分别求对应方程组的解，可得的取值范围.试题解析：将方程改写为，只有当 即 时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以命题p等价于； 因为双曲线的离心率 ，所以 ，且 ，解得 ， 所以命题q等价于;若p真q假，则 ；若p假q真，则综上：的取值范围为20. 如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为，的中点（1）求证：；（2）求异面直线与所成角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）设，利用平面向量的数量积证明，即可得答案；（2）求出的值，即可得答案；【详解】（1）证明：设，根据题意，且，即；（2），即异面直线与
16、所成角的余弦值为【点睛】本题考查利用空间向量证明线线垂直和异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意空间基底的选择.21. 已知椭圆的左右焦点分别为、，左顶点为A，若，椭圆的离心率为（1）求椭圆的标准方程（2）若P是椭圆上的任意一点，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率及焦距，可得，即可得答案；（2）设，再将向量的数量积转化为坐标运算，研究函数的最值，即可得答案；【详解】解：（1）由题意，椭圆的离心率为，椭圆的标准方程为（2）设，P点在椭圆上，由椭圆方程得，二次函数开口向上，对称轴，当时，取最小值0，当时，取最大值12的取值范围是【点睛】本
17、题考查椭圆标准方程的求解、向量数量积的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意问题转化为二次函数的最值问题.22. 已知椭圆C：的焦距为，长轴长为4（）求椭圆C标准方程；（）如图，过坐标原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C交于A，B两点设，直线的方程为，试求m的值【答案】（）；（）2.【解析】【分析】（）利用椭圆C：的焦距为，长轴长为4，求出椭圆的几何量，可得椭圆C的标准方程；（）直线的方程与椭圆方程联立，消去，运用韦达定理，由可得，也即，化简整理即可得m的值【详解】（）椭圆C：的焦距为，长轴长为4，椭圆C的标准方程为（）直线的方程为，代入椭圆方程得，则，由，知，即，将代入，得，【点睛】本题主要考查了求椭圆的标准方程和应用，考查直线方程和椭圆方程联立，考查韦达定理的应用，属于中档题.- 17 -
