1、湖北省十堰市2014-2015学年高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知，且sin=，则tan=（）A B C D 2已知a，b，c满足abc，且ac0，那么下列选项中一定成立的是（）A cb2ab2B c（ba）0C abacD ac（ac）03下列命题中不正确的是（）A 垂直于同一平面的两条直线平行B 垂直于同一直线的两平面平行C 一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行D 一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于此平面内的任意一条直线4等比数列an的前n项和
2、为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列若a1=1，则S4=（）A 15B 7C 8D 165棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的体积和表面积分别是（）A B C D 6已知ABC的三边长分别为a，b，c，若（b+c+a）（b+ca）=3bc，则角A的大小为（）A B C D 7如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，将ADE绕DE旋转得到ADE（A平面ABC），则下列叙述错误的是（）A 平面AFG平面ABCB BC平面ADEC 三棱锥ADEF的体积最大值为a3D 直线DF与直线AE不可能共面8某同学准备利用暑假到一家商场勤工俭学，商场向他提供了三种付酬方案
3、：第一种，每一天支付50元；第二种，第一天付20元，第二天付30元，第三天付40元，依此类推；第三种，第一天付0.1元，以后每天比前一天翻一番（即变为前一天的2倍），对于选哪一种付款方案下列结论中错误的是（）A 打工不足5天选第一种B 打工10天选第二种C 打工两个星期选第三种D 打工满一星期但不足20天就选第二种9某几何体中的一条线段长为，在该几何体的正视图中，这条线段的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（）A B C 4D 10设等差数列an的前n项和为Sn，且S150，a8+a90，则使得的最小的n为（）A 10B 11
4、C 12D 13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11正方体ABCDA1B1C1D1中A1C1与AD1所成角的大小为12若关于x的不等式ax2+2x+a0的集为R，则实数a的取范围是13在ABC中，若a=，b=1，B=30，则角A的值是14设数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，数列bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则a+a+a=15在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosBbcosA=c，则当角C的值为时，tan（AB）取最大值三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应
5、写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知函数f（x）=sinxcosxcos2x+1（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若f（+）=，（0，），求cos（+）的值17已知公差为d（d1）的等差数列an和公比为q（q1）的等比数列bn，满足集合a3，a4，a5b3，b4，b5=1，2，3，4，5（1）求通项an，bn；（2）求数列anbn的前n项和Sn18如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，（）求证：B1D1平面C1BD；（）求证：A1C平面C1BD；（）求二面角BC1DC的余弦值19如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45方向，此人向北偏西75方向前进km
6、到达D，看到A在他的北偏东45方向，B在其的北偏东75方向，试求这两座建筑物A与B之间的距离20设ABC的内角bn的对边分别为Tn，且bcosC=（2ac）cosB（）求B的大小；（）若1+=，且，求c的值；（）若，则a+c的最大值21已知数列an的各项均是正数，前n项和为Sn，且满足（p1）Sn=p9an，其中p为正常数，且p1（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，求数列bnbn+1的n项和Tn；（3）设cn=log2a2n1，数列cn的前n项和是Hn，若当nN+时Hn存在最大值，求p的取值范围，并求出该最大值湖北省十堰市2014-2015学年高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一
7、、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知，且sin=，则tan=（）A B C D 考点：同角三角函数基本关系的运用专题：三角函数的求值分析：首先根据三角函数的恒等变换关系式sin2+cos2=1，求出cos，进一步利用角的范围和求出结果解答：解：已知sin=，根据sin2+cos2=1解得：由于：所以：则故选：B点评：本题考查的知识要点：同角三角函数的恒等式的应用，三角函数的求值问题2已知a，b，c满足abc，且ac0，那么下列选项中一定成立的是（）A cb2ab2B c（ba）0C abacD ac（ac）0考点：不等式的
8、基本性质专题：不等式分析：先判断出a0，c0，结合不等式的性质分别对A、B、C、D进行判断即可解答：解：已知a，b，c满足abc，且ac0，a0，c0，对于A：取a=1，b=0，c=1，显然不成立；对于B：ba0，c0，c（ba）0，B错误；对于C：由bc，不等式两边都乘以负数a，得：abac，故C正确；对于D：ac0，ac0，得：ac（ac）0，故D错误；故选：C点评：本题考查了不等式的性质，求出a，c的符号是解答本题的关键，本题是一道基础题3下列命题中不正确的是（）A 垂直于同一平面的两条直线平行B 垂直于同一直线的两平面平行C 一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线
9、，则这两个平面平行D 一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于此平面内的任意一条直线考点：空间中直线与平面之间的位置关系专题：空间位置关系与距离分析：根据线面垂直、线面平行、面面平行的性质定理和判定定理分别分析选择解答：解：对于A，根据线面垂直的性质定理可以得到垂直于同一个平面的两条直线平行正确；对于B，根据面面平行的判定定理能够得到垂直于同一条直线的两个平面平行正确；对于C，是面面平行的判定定理，故正确；对于D，一条直线平行于一个平面，则这条直线与于此平面内的任意一条直线位置关系是平行或者异面；故D错误故选D点评：本题考查了线面垂直、线面平行、面面平行的性质定理和判定定理的运用；关键是熟练掌
10、握定理，正确运用4等比数列an的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列若a1=1，则S4=（）A 15B 7C 8D 16考点：等比数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：利用4a1，2a2，a3成等差数列求出公比即可得到结论解答：解：4a1，2a2，a3成等差数列a1=1，4a1+a3=22a2，即4+q24q=0，即q24q+4=0，（q2）2=0，解得q=2，a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，S4=1+2+4+8=15故选：A点评：本题考查等比数列的前n项和的计算，根据条件求出公比是解决本题的关键5棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的体积和表面积分别是（）
11、A B C D 考点：球的体积和表面积专题：空间位置关系与距离分析：由题意，长方体的对角线是球的直径，由此得到球的半径，由球的表面积和体积公式解答解答：解：因为棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上，所以球的直径为2，所以半径为，所以球的体积为；表面积为：；故选B点评：本题考查了正方体的外接球的体积和表面积求法；关键是明确长方体的对角线是球的直径6已知ABC的三边长分别为a，b，c，若（b+c+a）（b+ca）=3bc，则角A的大小为（）A B C D 考点：余弦定理专题：解三角形分析：由条件求得c2+b2a2=bc，再利用余弦定理可得cosA的值，从而求得A的值解答：解：ABC中，（b+c+
12、a）（b+ca）=3bc，c2+b2a2=bc，利用余弦定理可得cosA=，A=故选：B点评：本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题7如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，将ADE绕DE旋转得到ADE（A平面ABC），则下列叙述错误的是（）A 平面AFG平面ABCB BC平面ADEC 三棱锥ADEF的体积最大值为a3D 直线DF与直线AE不可能共面考点：棱锥的结构特征专题：空间位置关系与距离分析：由线线垂直线面垂直面面垂直，可判断A正确；由线面平行的判定定理，可判断B正确；由棱锥的体积公式，可判断当高最大时，体积最大，求出体积的最大值，可判断C错
13、误；由异面直线的判定定理可判断D正确解答：解：ABC是正三角形，AGDE，DEFG，DE平面AFG，DE平面ABC，平面AFG平面ABC，故A正确BCDE，BC平面ADE，DE平面ADE，BC平面ADE，故B正确当AG平面ABC时，三棱锥ADEF的高为AG，而底面DEF的面积一定，三棱锥ADEF的体积最大值为a=a3，故C错误；A平面ABC，由异面直线的判定定理，直线DF与直线AE是异面直线，故D正确故选C点评：本题以折叠图形为载体，考查面面垂直的判定，线面平行的判定，棱锥的体积公式及异面直线的判定，解题的关键是利用好折叠前的位置关系8某同学准备利用暑假到一家商场勤工俭学，商场向他提供了三种付
14、酬方案：第一种，每一天支付50元；第二种，第一天付20元，第二天付30元，第三天付40元，依此类推；第三种，第一天付0.1元，以后每天比前一天翻一番（即变为前一天的2倍），对于选哪一种付款方案下列结论中错误的是（）A 打工不足5天选第一种B 打工10天选第二种C 打工两个星期选第三种D 打工满一星期但不足20天就选第二种考点：不等关系与不等式专题：计算题分析：由题意可知，三种方案对应着三种不同的函数解析式，第一种报酬是天数的一次函数，第二种可以用等差数列的前n项和列式，第三种由等比数列的前n项和列式，然后通过分别向三个函数解析式中代值检验即可得到答案解答：解：记打n天工三种方案所得报酬分别是S
15、n，Tn，Hn，则，n=5时，Sn=250，Tn=200，Hn=3.1n=10时，Sn=500，Tn=650，Hn=102.4n=7时，Sn=350，Tn=350，Hn=12.7n=14时Sn=700，Tn=1190，Hn=1638.4比较以上数据可知前三个选项正确故选D点评：本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了等差数列和等比数列的前n项和公式，考查了学生的计算能力，是中档题9某几何体中的一条线段长为，在该几何体的正视图中，这条线段的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（）A B C 4D 考点：简单空间图形的三视图专题：
16、计算题；压轴题分析：设棱长最长的线段是长方体的对角线，由题意所成长方体的三度，求出三度与面对角线的关系，利用基本不等式即可求出a+b的最大值解答：解：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算如图设长方体的长宽高分别为m，n，k，由题意得，n=1，所以（a21）+（b21）=6a2+b2=8，（a+b）2=a2+2ab+b2=8+2ab8+a2+b2=16a+b4当且仅当a=b=2时取等号故选C点评：本题是基础题，考查长方体的对角线与三视图的关系，长方体的三度与面对角线的关系，基本不等式在求最值中的应用，考查空间想象能力，计算能力，常考题型10设等差数列an的前n项和为Sn，且S150，a8+
17、a90，则使得的最小的n为（）A 10B 11C 12D 13考点：等差数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：由已知数据可得a1+7d0，2a1+15d0，和d0，由不等式的性质可得的范围，而要满足的式子可化为2a1+d0，可得n1，由不等式的性质结合的范围可得解答：解：设等差数列an的首项和公差分别为a1和d，则可得S15=15a8=15（a1+7d）0，解得a1+7d0，又a8+a90，2a1+15d0，又a8=0，a8+a90，a90，d0，由可得7，由可得，故7，而=a1+（n1）d+a1+d=2a1+d，令2a1+d0可解得n1，7，7，10，111使得的最小的n为11故选：B
18、点评：本题考查等差数列的求和公式，涉及不等式的性质的应用，属中档题二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11正方体ABCDA1B1C1D1中A1C1与AD1所成角的大小为60考点：异面直线及其所成的角专题：空间角分析：连接AC，CD1，这便得到D1AC或其补角为异面直线A1C1与AD1所成角，并且可看出ACD1为等边三角形，从而便得出A1C1与AD1所成角为60解答：解：如图，连接AC，CD1，则：A1C1AC；D1AC或其补角便是A1C1与AD1所成角；显然ACD1为等边三角形；D1AC=60；A1C1与A
19、D1所成角为60故答案为：60点评：考查异面直线所成角的定义及求法，正方体的概念，正方体各面上的对角线长度相等12若关于x的不等式ax2+2x+a0的集为R，则实数a的取范围是（1，+）考点：一元二次不等式的解法专题：不等式的解法及应用分析：对a分类讨论，利用一元二次不等式的解集与的关系即可得出解答：解：当a=0时，不等式化为2x0，解得x0，其解集不是R当a0时，由不等式ax2+2x+a0的集为R，则，解得a1综上可知：实数a的取范围是（1，+）故答案为（1，+）点评：熟练掌握分类讨论、一元二次不等式的解集与的关系是解题的关键13在ABC中，若a=，b=1，B=30，则角A的值是60或120
20、考点：正弦定理专题：解三角形分析：利用正弦定理列出关系式，将a，b及sinB的值代入求出sinA的值，即可确定出A的度数解答：解：a=，b=1，B=30，由正弦定理=得：sinA=，ab，AB，A=60或120故答案为：60或120点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键14设数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，数列bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则a+a+a=2036考点：等差数列的通项公式；向量的加法及其几何意义专题：等差数列与等比数列分析：利用等差数列和等比数列的通项公式即可得出an，bn再利用等比数列的前n项和公式即可得出解答：解：数
21、列an是以1为首项，2为公差的等差数列，bn是以1为首项，2为公比的等比数列，an=1+2（n1）=2n1，=2bn1=22n11=2n1=（21）+（221）+（2101）=10=21112=204812=2036故答案为：2036点评：本题考查了等比数列和等差数列的通项公式及其前n项和公式的计算，考查学生的计算能力15在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosBbcosA=c，则当角C的值为时，tan（AB）取最大值考点：正弦定理专题：解三角形分析：解法一：由正弦定理化简已知可得：，由tan（AB）=，可知当tan（AB）取最大值时，必有cos（AB）0，设，可求tan
22、（AB）的最大值及C的值解法二：由正弦定理及三角形内角和定理化简已知可得tanA=3tanB，可得tanA0tanB0，从而解得，即可得解解答：解：解法一：由acosBbcosA=c，得：，即：，tan（AB）=，当tan（AB）取最大值时，必有cos（AB）0，tan（AB），设，则tan（AB）当，即时，tan（AB）取最大值为解法二：由acosBbcosA=c，得：=，整理得：sinAcosB=3cosAsinB，即tanA=3tanB，易得tanA0tanB0，当，即，故答案为：，（任对一空给3分）点评：本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，基本不等式的应用
23、，属于基本知识的考查三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知函数f（x）=sinxcosxcos2x+1（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若f（+）=，（0，），求cos（+）的值考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性专题：三角函数的求值分析：（1）由条件利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间（2）由条件求得sin和cos的值，从而求得 cos（+）=coscossinsin 的值解答：解：（1）函数f（x）=sinxcosxcos2x+1=sin2
24、xcos2x+=sin（2x）+，令2k2x2k+，kz，求得 kxk+，可得函数的增区间为k，k+，kz（2）若f（+）=sin（+）+=sin+=，（0，），sin=，cos=，cos（+）=coscossinsin=点评：本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式的应用，正弦函数的单调性，属于基础题17已知公差为d（d1）的等差数列an和公比为q（q1）的等比数列bn，满足集合a3，a4，a5b3，b4，b5=1，2，3，4，5（1）求通项an，bn；（2）求数列anbn的前n项和Sn考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和专题：计算题分析：（1）结合等差数列与等比数列的项，由a3，a
25、4，a5b3，b4，b5=1，2，3，4，5可得a3，a4，a5，b3，b4，b5的值，从而可求数列的通项，（2）由于an，bn分别为等差数列、等比数列，用“乘公比错位相减”求数列的和sn解答：解：（1）1，2，3，4，5这5个数中成公差大于1的等差数列的三个数只能是1，3，5；成公比大于1的等比数列的三个数只能是1，2，4而a3，a4，a5b3，b4，b5=1，2，3，4，5，a3=1，a4=3，a5=5，b3=1，b4=2，b5=4a1=3，d=2，b1=，q=2，an=a1+（n1）d=2n5，bn=b1qn1=2n3（2）anbn=（2n5）2n3Sn=（3）22+（1）21+120+
26、（2n5）2n32sn=321+（1）20+（2n7）22n3+（2n5）2n2，两式相减得Sn=（3）22+221+220+22n3（2n5）2n2=（nN*）点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的综合，结合集合的基本运算求数列中的项，进而求通项公式，而“乘公比错位相减”求数列的和是数列求和的常考点，其结构特点是：若数列an，bn分别为等差数列与等比数列，则对数列cn=anbn求和应用此法，要注意掌握18如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，（）求证：B1D1平面C1BD；（）求证：A1C平面C1BD；（）求二面角BC1DC的余弦值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定专题：
27、计算题；证明题分析：（I）根据正方体的几何特征可得B1D1BD，结合线面平行的判定定理，即可得到B1D1平面C1BD；（）连接AC，交BD于O，则BDAC，结合A1ABD，由线面垂直的判定定理得BD平面A1AC，进而BDA1C，连接C1O，可证得A1CC1O，再利用线面垂直的判定定理即可得到A1C平面C1BD；（）取DC1的中点E，连接BE，CD根据二面角的定义，可判断出BEC为二面角BC1DC的平面角，解BEC即可求出二面角BC1DC的余弦值解答：解：（）B1D1BD，又BD平面C1BD，B1D1平面C1BD，B1D1平面C1BD（2分）（）连接AC，交BD于O，则BDAC又A1ABD，BD
28、平面A1ACA1C平面A1AC，BDA1C连接C1O，在矩形A1C1CA中，设A1C交C1O于M由，知ACA1=CC1O，A1CC1O又COBD=0，CO平面C1BD，BD平面C1BD，A1C平面C1BD（7分）（）取DC1的中点E，连接BE，CEBD=BC1，BEDC1CD=CC1，CEDC1BEC为二面角BC1DC的平面角设正方体的棱长为a，则又由，得在BEC中，由余弦定理，得所以所求二面角的余弦值为（12分）点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面垂直的判定，其中（I）的关键是根据正方体的几何特征得B1D1BD，（II）的关键是得到BDA1C，A1CC1O，（III）的关
29、键是确定BEC为二面角BC1DC的平面角19如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45方向，此人向北偏西75方向前进km到达D，看到A在他的北偏东45方向，B在其的北偏东75方向，试求这两座建筑物A与B之间的距离考点：解三角形的实际应用专题：计算题；解三角形分析：在ADC中利用正弦定理，结合题意算出AC=3km然后在BDC中利用正弦定理得，最后在ABC中利用余弦定理加以计算，即可算出AB的长，从而得出两座建筑物A与B之间的距离解答：解：在ADC中，ACD=75，则ADC=10545=60，DAC=45，且由正弦定理，得km；（4分）又在BDC中，BCD=7545=30，B
30、DC=10575=30，DBC=120，结合利用正弦定理，得km；（8分）在ABC中，ACB=45，由余弦定理，得km2（12分）可得AB=km答：这两座建筑物A与B之间的距离是（13分）点评：本题给出实际应用问题，求两座建筑物之间的距离着重考查了利用正余弦定理解三角形和解三角形知识在实际生活中的应用，属于中档题20设ABC的内角bn的对边分别为Tn，且bcosC=（2ac）cosB（）求B的大小；（）若1+=，且，求c的值；（）若，则a+c的最大值考点：余弦定理；正弦定理专题：解三角形；不等式的解法及应用分析：（）由正弦定理化简已知可得sinA=2sinAcosB，结合范围sinA0，可得c
31、osB=，又0B，从而得解B的值（）由1+=，得，可得，利用即可解得c的值（）由余弦定理可得3=a2+c2ac，利用基本不等式的解法即可求得a+c的最大值解答：解：（）正弦定理得sinBcosC=2sinAcosBsinCcosB，则sin（B+C）=sinA=2sinAcosB（2分）又sinA0，cosB=，又0B，（4分）（）由1+=，得，所以（6分）ABC为等边三角形又c=4（8分）（），由余弦定理可知 b2=a2+c22accosB得3=a2+c2ac（10分），得，当且仅当时取等号故a+c的最大值为（13分）点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，基本不等式
32、的应用，属于基本知识的考查21已知数列an的各项均是正数，前n项和为Sn，且满足（p1）Sn=p9an，其中p为正常数，且p1（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，求数列bnbn+1的n项和Tn；（3）设cn=log2a2n1，数列cn的前n项和是Hn，若当nN+时Hn存在最大值，求p的取值范围，并求出该最大值考点：数列递推式；数列的求和专题：等差数列与等比数列分析：（1）利用及其已知递推式即可得出；（2）利用“裂项求和”即可得出；（3）方法一：利用通项，通过对公差讨论及其cn0，cn+10，即可得出；方法二：求出其前n项Hn，通过对p分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出解答：解（1）
33、当n=1时，解得，同时相减得：（p1）（Sn+1Sn）=anan+1，且p1整理得，则数列an是首项是p8，公比是的等比数列（2），Tn=b1b2+b2b3+b3b4+bnbn+1=（3）cn+1cn=2log2p，cn是一个首项是c1=8log2p，公差是d=2log2p的等差数列方法一：当0p1时，log2p0，此时Hn是存在最小值，没有最大值；当p1时，log2p0，此时Hn存在最大值，由得4n5，则H4=H5且为最大值，方法二：=由上式可知：当0p1时log2p0，此时Hn是存在最小值，没有最大值；当p1时log2p0，此时Hn存在最大值，且H4=H5且为最大值，故当p1时Hn存在最大值，H4=H5且为最大值是20log2p点评：熟练掌握利用及其已知递推式求an、“裂项求和”、等差数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论、二次函数的单调性等是解题的关键
