1、第四章单元能力测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1在等差数列an中，a13a8a15120，则2a9a10的值为()A24B22C20 D8答案A解析a13a8a155a8120，a8242a9a102(a8d)(a82d)a8242在等比数列an中，若a3a5a7a9a11243，则的值为()A9 B1C2 D3答案D解析由等比数列性质可知a3a5a7a9a11a243，所以得a73，又a7，故选D.3夏季高山上气温从山脚起每升高100 m降低0.7 ，已知山顶的气温是14.1 ，山脚的气温是26 .那么，此山相对于山脚的高度是()A1500 m B1600 mC17
2、00 m D1800 m答案C4设函数f(x)满足f(n1)(nN*)，且f(1)2，则f(20)()A95 B97C105 D192答案B解析f(n1)f(n)，累加得：f(20)f(1)()f(1)97.5若a，ay，a(a0，且a1)成等比数列，则点(x，y)在平面直角坐标系内的轨迹位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案D解析成等比，(ay)2aa，即2y，x10，x1.x1x1，y0.位于第四象限6已知等比数列an的公比qa8S9 Ba9S80，q0，即a9S8a8S9，故选A.7若m，n，mn成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆1的离心率为()A. B.C.
3、D.答案B解析由题意知2nmmnn2m，n2mmn，nm2，m22mm2，n4，a24，b22，c22e8设等比数列an的前n项和是Sn，且a1a22，a2a31，那么Sn的值为()A. B.C. D.答案A解析易求q，a1，Sn.9首项为1，公差不为0的等差数列an中，a3，a4，a6是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是()A8 B8C6 D不确定答案B解析aa3a6(13d)2(12d)(15d)d(d1)0d1，a31，a42，q2a6a4q4，第四项为a6q8.10数列an中，Sn为其前n项和，已知S11，S22，且Sn13Sn2Sn10(nN*且n2)则此数列为()A等差
4、数列 B等比数列C从第二项起为等差数列 D从第二项起为等比数列答案D解析Sn13Sn2Sn10Sn1Sn2Sn2Sn1，an12an又a11a21，从第二项起为等比数列11等差数列an、bn的前n项和分别为Sn与Tn，若，则 等于()A1 B.C. D.答案C解析根据等差数列性质有an(a1a2n1)S2n1bn(b1b2n1)T2n1故 12定义：在数列an中，若满足d(nN*，d为常数)，我们称an为“等差比数列”已知在“等差比数列”an中，a1a21，a32，则的个位数字是()A3 B4C6 D8答案C解析由a1a21，a32，得1d，设bn，则bn1bn1，且b11.bnn，即n，an
5、a11123(n1)，200620072008，它的个位数字是6二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13等比数列an的首项为a11，前n项和为Sn，若，则公比q等于_答案解析，所以，即q5()5，所以q.14某人从2009年1月份开始，每月存入银行100元，月利率是3(不计复利)，到2009年12月底取出的本利和应是_元答案1223.4解析应为12000.3120.3110.312000.31223.4(元)15已知等差数列an中，a3a8a5，则S11_.答案0解析a3a8a5a6，a5a6a5，a60，S1111a60.16数列an中，a11，an，an
6、1是方程x2(2n1)x0的两个根，则数列bn的前n项和Sn等于_答案解析anan12n1，anan1，bn.由a11，得a22，a33，S1，S2.可得，Sn.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)在等比数列an中，已知a31，S34，求a1与q.解析当q1时，S33a3成立，此时a1；当q1时，由题意，解得a16，q.所以或18(本小题满分12分)已知数列an成等差数列，Sn表示它的前n项和，且a1a3a56，S412.(1)求数列an的通项公式an；(2)数列anSn中，从第几项开始(含此项)以后各项均为正整数？解析(1)由
7、题意知解得an2n8(nN*)(2)anSn(2n8)(n27n)2n8从第5项起为负数，n27n从第8项起为负数anSn从第8项起，恒为正整数19(本小题满分12分)(2010山东卷，理)已知等差数列an满足：a37，a5a726.an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.解析(1)设等差数列an的首项为a1，公差为d，由于a37，a5a726，所以a12d7,2a110d26，解得a13，d2.由于ana1(n1)d，Sn，所以an2n1，Snn(n2)(2)因为an2n1，所以a14n(n1)，因此bn()故Tnb1b2bn(1)(1)，
8、所以数列bn的前n项和Tn.20(本小题满分12分)已知数列an，a11，anan12(n2)(1)当为何值时，数列an可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式；(2)若3，令bnan，求数列bn的前n项和Sn.解(1)a2a1222，a3a222222222，a1a32a2，12222(22)，得22530，解得1或.当时，a2221，a1a2，故不合题意舍去；当1时，代入anan12可得anan11，数列an构成首项为a11，d1的等差数列，an2n.(2)当3时，an3an11，即an3(an1)，即bn3bn1，数列bn构成首项为b1，公比为3的等比数列，bn3n1，Sn(3n1)
9、21(本小题满分12分)(2010四川卷，文)已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(4an)qn1(q0，nN*)，求数列bn的前n项和Sn.解析(1)设an的公差为d.由已知得解得a13，d1.故an3(n1)4n.(2)由(1)的解答可得，bnnqn1，于是Sn1q02q13q2nqn1.若q1，将上式两边同乘以q有qSn1q12q2(n1)qn1nqn.两式相减得到(q1)Snnqn1q1q2qn1.nqn于是，Sn.若q1，则Sn123n.所以，Sn22(本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn，且满足Snn2an(nN*)(1)
10、证明：数列an1为等比数列，并求数列an的通项公式；(2)若bn(2n1)an2n1，数列bn的前n项和为Tn.求满足不等式2010的n的最小值解析(1)因为Snn2an，所以Sn12an1(n1)(n2，nN*)两式相减得an2an11.所以an12(an11)(n2，nN*)，所以数列an1为等比数列因为Snn2an，令n1得a11.a112，所以an12n，所以an2n1.(2)因为bn(2n1)an2n1，所以bn(2n1)2n.所以Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n，2Tn322523(2n1)2n(2n1)2n1，得：Tn322(22232n)(2n1)2n162(
11、2n1)2n122n2(2n1)2n12(2n1)2n1.所以Tn2(2n1)2n1.若2010，则2010，即2n12010.由于2101024,2112048，所以n111，即n10.所以满足不等式2010的n的最小值是10.1(2010江西卷，文)等比数列an中，|a1|1，a58a2，a5a2，则an()A(2)n1 B(2)n1C(2)n D(2)n答案A解析记数列an的公比为q，由a58a2，得a1q48a1q，即q2.由|a1|1，得a11，当a11时，a516a22，符合题意，故ana1qn1(2)n1.2曲线y上存在不同的三点到点(2,0)的距离构成等比数列，则构成的等比数列
12、的公比不可能是()A. B.C. D.答案C解析易知曲线y是半圆，不妨设点(2,0)到曲线y上不同的三点的距离分别为d1，d2，d3，它们构成的等比数列的公比为q.不妨令d3d1q2，显然1d33，所以q2，又1d13，所以q，q不能取到，故选C.3已知数列an满足a1，且对任意的正整数m，n，都有amnaman，则等于()A. B.C. D2答案B解析令m1，得an1a1an，即an1ana1，可知数列an是首项为a1，公差为d的等差数列，于是an(n1)n，即.故选B.4设an是以2为首项1为公差的等差数列，bn是以1为首项，2为公比的等比数列记Mnab1ab2abn，则Mn中不超过200
13、9的项的个数为()A8 B9C10 D11答案C解析由题易得ann1，bn2n1，所以Mnab1ab2ab3abna1a2a4a2n1(11)(21)(41)(2n11)(1242n1)nn2nn1，Mn2009，即2nn12009n10，故选C.5已知数列an的前n项和为Sn，且a11，nan1(n2)Sn(n1,2,3，)(1)求证：数列为等比数列，并由此求出Sn；(2)若数列bn满足：b1，(nN*)，试求数列bn的通项公式解析(1)由nan1(n2)Sn得n(Sn1Sn)(n2)Sn，即2，数列是首项为a11，公比为2的等比数列，2n1，Snn2n1.(2)由条件得2n1.设cn，则c
14、1，当n2时，cnc1(c2c1)(c3c2)(cncn1)2120212n2(2n1)，当n1时，也满足上式cn(2n1)(nN*)，从而bnncn(2n1)6已知正项数列an满足anan10(nN*)(1)求a1，a2；(2)求证：0anan1.解析(1)解：anan10，nN*，令n1，得a1a110，a1.令n2，得a2a210，a21.an0，a21.(2)证明：anan10，an是方程xnnx10的一个根设f(x)xnnx1，则f(0)10.方程f(x)0在(0,1)内至少有一个根f(x)nxn1n0，f(x)在(0，)上是增函数方程f(x)0在(0，)上有唯一的根，且根在(0,1
15、)内an(0,1)0an1.(3)证明：anan10，a(n1)an110.两式相减得aa(n1)an1nan0.若anan1，0ana，从而有aa(n1)an1nanaa(n1)annana(ana)a0，与aa(n1)an1nan0矛盾，anan1.7已知等差数列an的前n项和为Sn，且S4a22S3，等比数列bn满足b1a2，b2a4.(1)求证：bn中的每一项均为an中的项；(2)若a1，数列cn满足：bn1cn(1)n(12log2bn)，求数列cn的前n项和Tn.(1)证明设等差数列an的公差为d，由S4a22S3得4a16da1d6a16d，a1d，则ana1(n1)dna1.b12a1，b24a1，等比数列bn的公比q2，则bn2a12n12na1.2nN*，bn中的每一项均为an中的项(2)解a1，bn2n2n1.由bn1cn(1)n(12log2bn)，得2ncn(1)n12(n1)(1)n(2n1)，cn(2n1)()n，Tn()3()25()3(2n1)()n，2Tn13()5()2(2n1)()n1.两式相减，得3Tn12()2()22()n1(2n1)()n1221()()2()n1(2n1)()n12(2n1)()n1()n(2n1)()n()n，Tn()n
