1、2015-2016学年新疆生产建设兵团二中高二（下）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1在柱坐标系中，点P的坐标为（2，1），则点P的直角坐标为（）A（，1，1）B（，1，1）C（1，1）D（1，1）2设随机变量X的分布列为，k=1，2，3，4，5，则等于（）ABCD3表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（）x3456y2.5t44.5A3B
2、3.15C3.5D4.54参数方程（t为参数）表示的曲线经过点（）A（0，3）B（1，1）CD（2，1）5若ba0，则下列不等式中正确的是（）AB|a|b|C +2Da+bab6设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子现将这五个球投放到五个盒子内，要求每个盒内放1个球，并且恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则这样的投放方法总数为（）A60B48C30D207设，则|a1|+|a2|+|a6|的值是（）A729B665C728D6368一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率是（）ABCD9已知服从正态分布N（，2）的随机变
3、量，在区间（，+），（2，+2）和（3，+3）内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%某大型国有企业为10000名员工定制工作服，设员工的身高（单位：cm）服从正态分布N，则适合身高在163178cm范围内员工穿的服装大约要定制（）A6830套B9540套C8185套D9755套10下列有关相关指数R2的说法正确的是（）AR2越接近1，表示回归效果越差BR2的值越大，说明残差平方和越小CR2越接近0，表示回归效果越好DR2的值越小，说明残差平方和越小11把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则P（B|A）等于（）ABCD12在（3）n（n2
4、且nN）展开式中x的系数为an，则+=（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应的横线上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.）13设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量Y描述1次试验的成功次数，则D（Y）=14在极坐标系中，以（2，）为圆心，2为半径的圆的极坐标方程是15（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+（1+x）15的展开式中含x3项的系数是（用数字作答）16将6位志愿者分成4组，每组至少1人，至多2人分赴第五届亚欧博览会的四个不同展区服务，不同的分配方案有种（用数字作答）三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明
5、过程或验算步骤）17将圆x2+y2=1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线C（1）求曲线C的参数方程；（2）求曲线C上的点P（x，y），使得取得最小值18在平面直角坐标系xOy中，直线l过点P（1，2），倾斜角为以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=4cos（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）记直线l和曲线C的两个交点分别为A，B，求|PA|+|PB|，|PA|PB|19在一次联考后，某校对甲、乙两个理科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下的22
6、列联表，且已知在甲、乙两个理科班全部110人中随机抽取1人，成绩为优秀的概率为优秀非优秀合计甲班10乙班30合计110（1）请完成右面的列联表，根据列联表的数据，能否有99%的把握认为成绩与班级有关系？（2）在甲、乙两个理科班优秀的学生中随机抽取两名学生，用表示抽得甲班的学生人数，求的分布列参考公式和数据：P（K2k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82820某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会（1）设A
7、为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望21如图，A、B两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量（I）设选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为x，当x6时，则保证信息畅通求线路信息畅通的概率；（）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望22在平面直角坐标系xOy中，设A，B是椭圆上的两点，O为原点，且证明：为定值四、附加题：（本小题满分0分）（参加奥赛辅导的学生必做）23设x，y，z为正实数，且x+y+z=3
8、求证：2015-2016学年新疆生产建设兵团二中高二（下）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1在柱坐标系中，点P的坐标为（2，1），则点P的直角坐标为（）A（，1，1）B（，1，1）C（1，1）D（1，1）【考点】柱坐标刻画点的位置【专题】选作题；方程思想；演绎法；坐标系和参数方程【分析】利用柱坐标与直角坐标的关系即可得出【解答】解：柱坐标（2，1），对应的点的直角坐标是（2cos，2sin，1），即（1，1）故选D2设随机变量X的分布列为，k=1，2，3，4，5，则等于（）ABC
9、D【考点】离散型随机变量及其分布列【专题】计算题【分析】根据所给的离散型随机变量的分布列，可以写出变量等于1和2时的概率，本题所求的概率包括两个数字的概率，把结果相加即可【解答】解：=故选C3表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中t的值为（）x3456y2.5t44.5A3B3.15C3.5D4.5【考点】回归分析的初步应用【专题】计算题【分析】先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有t的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得
10、到关于t的一次方程，解方程，得到结果【解答】解：由回归方程知=，解得t=3，故选A4参数方程（t为参数）表示的曲线经过点（）A（0，3）B（1，1）CD（2，1）【考点】参数方程化成普通方程【专题】计算题；方程思想；定义法；坐标系和参数方程【分析】参数方程消去参数，得到2xy+3=0由此能求出结果【解答】解：参数方程（t为参数），y=12（1x），即2xy+3=0在A中，把（0，3）代入，得：03+3=0，成立，故曲线经过点A；在B中，把（1，1）代入，得：21+3=4，不成立，故曲线不经过点B；在C中，把（，0）代入，得30+3=0，不成立，故曲线不经过点C；在D中，把（2，1）代入，得4+
11、1+3=0，不成立，故曲线不经过点D故选：A5若ba0，则下列不等式中正确的是（）AB|a|b|C +2Da+bab【考点】不等关系与不等式【专题】常规题型【分析】利用不等式的基本性质，两个负数取倒数或去绝对值不等式方向应该改变，得到AB不正确，在根据均值不等式得到C是正确的，对于显然知道a+b0而ab0故D也不正确【解答】解：ba0取倒数后不等式方向应该改变即，故A不正确ba0两边同时乘以1后不等式方向应该改变ba0即|a|b|，故B不正确ba0根据均值不等式知： +2故C正确ba0a+b0，ab0a+bab 故D不正确故选C6设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5
12、的五个盒子现将这五个球投放到五个盒子内，要求每个盒内放1个球，并且恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则这样的投放方法总数为（）A60B48C30D20【考点】排列、组合及简单计数问题【专题】概率与统计【分析】先确定恰好有两个球的编号与盒子编号相同，在考虑其余3个小球的放法，即可得出结论【解答】解：由题意，因为要求每个盒内放1个球，并且恰好有两个球的编号与盒子编号相同，所以投放方法总数为=20故选D7设，则|a1|+|a2|+|a6|的值是（）A729B665C728D636【考点】二项式系数的性质【专题】转化思想；转化法；二项式定理【分析】由二项式定理知a0，a2，a4，a6均为正数，a1，a
13、3，a5均为负数，|a0|+|a1|+|a2|+|a6|=a0a1+a2a3+a4a5+a6，利用赋值法把x=1，x=0分别代入已知式子计算即可【解答】解：（2x）6=a0+a1x+a2x+a6x，由二项式定理可知a0，a2，a4，a6均为正数，a1，a3，a5均为负数，令x=1可得：|a0|+|a1|+|a2|+|a6|=a0a1+a2a3+a4a5+a6=（2+1）6=729，x=0时，a0=26=64；|a1|+|a2|+|a6|=72964=665故选：B8一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率是（）ABCD【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次
14、的概率【专题】计算题【分析】根据题意，设此射手的命中率是x，则不能命中的概率为1x，又由题意，可得4次射击全部没有命中目标的概率为，即（1x）4=，解可得答案【解答】解：设此射手的命中率是x，则不能命中的概率为1x，根据题意，该射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为，即4次射击全部没有命中目标的概率为1=，有（1x）4=，解可得，x=，故选B9已知服从正态分布N（，2）的随机变量，在区间（，+），（2，+2）和（3，+3）内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%某大型国有企业为10000名员工定制工作服，设员工的身高（单位：cm）服从正态分布N，则适合身高在16
15、3178cm范围内员工穿的服装大约要定制（）A6830套B9540套C8185套D9755套【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【专题】综合题；转化思想；演绎法；概率与统计【分析】变量服从正态分布N，即服从均值为173cm，方差为25的正态分布，适合身高在163183cm范围内取值即在（2，+2）内取值，其概率为：95.4%，身高在168178cm范围内取值即在（2，+2）内取值，其概率为：68.3%，从而得出适合身高在163278cm范围内，概率为： =81.85%，即可求出员工穿的服装大约情况，得到结果【解答】解：员工的身高（单位：cm）服从正态分布N，即服从均值为173cm，方差
16、为25的正态分布，适合身高在163183cm范围内取值即在（2，+2）内取值，其概率为：95.4%，身高在168178cm范围内取值即在（2，+2）内取值，其概率为：68.3%从而得出适合身高在163278cm范围内，概率为： =81.85%，适合身高在163278cm范围内员工穿的服装大约套数是：1000081.85%=8185套故选C10下列有关相关指数R2的说法正确的是（）AR2越接近1，表示回归效果越差BR2的值越大，说明残差平方和越小CR2越接近0，表示回归效果越好DR2的值越小，说明残差平方和越小【考点】相关系数【专题】对应思想；定义法；概率与统计【分析】根据相关指数R2的值越接近
17、于1，拟合效果越好，而对应的残差平方和就越小，即可得出正切的结论【解答】解：相关指数R2是描述模拟效果好坏的一个量，它的值越接近于1，拟合效果越好，而对应的残差平方和就越小，在选择模型时，一般选择相关系数大的模型故选：B11把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则P（B|A）等于（）ABCD【考点】条件概率与独立事件【专题】计算题【分析】本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是，代入条件概率的概率公式得到结果【解答】解：由题意知本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率
18、是，P（B|A）=故选A12在（3）n（n2且nN）展开式中x的系数为an，则+=（）ABCD【考点】二项式系数的性质【专题】转化思想；定义法；二项式定理【分析】利用二项式（3）n展开式的通项公式，求出展开式中x的系数an；再化简、计算+的值【解答】解：二项式（3）n（n2且nN）展开式的通项为 Tr+1=（1）r3nr，令=1，得r=2；展开式中x的系数为an=3n2Cn2；则+=+=3（1+）=6（1+）=6=故选：D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应的横线上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.）13设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量Y描
19、述1次试验的成功次数，则D（Y）=【考点】离散型随机变量的期望与方差【专题】计算题；方程思想；定义法；概率与统计【分析】设失败率为p，则成功率为2p由p+2p=1得p=，从而P（Y=0）=P（Y=1）=，由此能求出D（Y）【解答】解：设失败率为p，则成功率为2p“Y=0”表示试验失败，“Y=1”表示试验成功，由p+2p=1得p=，P（Y=0）=P（Y=1）=，Y的分布列为：Y01PE（Y）=0=，D（Y）=（）2+（1）2=故答案为：14在极坐标系中，以（2，）为圆心，2为半径的圆的极坐标方程是=2cos+2sin【考点】简单曲线的极坐标方程【专题】选作题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程【
20、分析】由题意可得 圆心的直角坐标为（1，），半径为2，故圆的直角坐标方程为（x1）2+（y）2=4，即 x2+y2=2x+2y再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得它的极坐标方程【解答】解：由题意可得 圆心的直角坐标为（1，），半径为2，故圆的直角坐标方程为（x1）2+（y）2=4，即 x2+y2=2x+2y再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得 2=2cos+2sin，即 =2cos+2sin，故答案为：=2cos+2sin15（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+（1+x）15的展开式中含x3项的系数是1820（用数字作答）【考点】二项式定理；等比数列的前n项和【专题】计算题【分析】所给式子
21、的展开式中x3的系数是，再利用二项式系数的性质化简为，运算求得结果【解答】解：所给式子的展开式中x3的系数是=1820故答案为 182016将6位志愿者分成4组，每组至少1人，至多2人分赴第五届亚欧博览会的四个不同展区服务，不同的分配方案有1080种（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合【分析】根据题意，先将6人按2，2，1，1分成4组，由分组公式可得分组情况数目，再对应分配到四个不同展区，有A44种方法，进而由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，将6位志愿者分成4组，每组至少1人，至多2人，需要将6人分成2，2，1，1的四组，有=45种
22、分组方法；再将分好的4组对应分配到四个不同展区，有A44=24种方法，则有4524=1080种不同的分配方案；故答案为：1080三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）17将圆x2+y2=1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线C（1）求曲线C的参数方程；（2）求曲线C上的点P（x，y），使得取得最小值【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合题；转化思想；演绎法；直线与圆【分析】（1）首先，设出所求点的坐标，然后，建立坐标之间的关系式，求解其普通方程，再将其化为参数方程即可；（2）由（1），可得z=2cost2sint=4cos（t+60），即
23、可得出结论【解答】解：（1）设点（x1，y1）为圆上的任意一点，在已知变换下变为C上点（x，y），根据题意，得，根据x12+y12=1，得曲线C的方程为=1，所以，曲线C的参数方程为（t为参数）（2）由（1），可得z=2cost2sint=4cos（t+60），cos（t+60）=1，t=120，P（1，），使得取得最小值18在平面直角坐标系xOy中，直线l过点P（1，2），倾斜角为以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=4cos（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）记直线l和曲线C的两个交点分别为A，B，求|PA|+|PB|，
24、|PA|PB|【考点】简单曲线的极坐标方程【专题】选作题；方程思想；演绎法；坐标系和参数方程【分析】（1）由直线l过点P（1，2），倾斜角为，可得：直线l的参数方程曲线C的极坐标方程为=4cos，即2=4cos，利用互化公式可得直角坐标方程（2）把直线l的参数方程代入圆的方程可得：t2+5t+9=0，利用参数的几何意义，求|PA|+|PB|，|PA|PB|【解答】解：（1）直线l过点P（1，2），倾斜角为，参数方程为（t为参数）；曲线C的极坐标方程为=4cos，即2=4cos，化为直角坐标方程：x2+y2=4x（2）把直线l的参数方程代入圆的方程可得：t2+5t+9=0，t1+t2=5，t1t
25、2=9|PA|+|PB|=5，|PA|PB|=919在一次联考后，某校对甲、乙两个理科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下的22列联表，且已知在甲、乙两个理科班全部110人中随机抽取1人，成绩为优秀的概率为优秀非优秀合计甲班10乙班30合计110（1）请完成右面的列联表，根据列联表的数据，能否有99%的把握认为成绩与班级有关系？（2）在甲、乙两个理科班优秀的学生中随机抽取两名学生，用表示抽得甲班的学生人数，求的分布列参考公式和数据：P（K2k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0
26、246.6357.87910.828【考点】独立性检验【专题】应用题；对应思想；数学模型法；概率与统计【分析】（1）计算两个班的优秀人数，填写22列联表，根据列联表中的数据计算K2，对照临界值表即可得出结论；（3）由（1）知甲、乙两个理科班优秀的人数，得出的可能取值，且服从超几何分布，写出频率分布即可【解答】解：（1）如表格所示， 优秀 非优秀 合计 甲班 10 50 60 乙班 20 30 50 合计 30 80 110由于从甲、乙两个理科班全部110人中随机抽取人为优秀的概率为，两个班优秀的人数为110=30，乙班优秀的人数=3010=20，甲班非优秀的人数=110（10+20+30）=5
27、0；即可完成表格；假设成绩与班级无关，根据列联表中的数据可得：K2=7.487K26.635，因此有99%的把握知假设不成立，成绩与班级有关；（2）由（1）知：甲、乙两个理科班优秀的人数分别为10，20；的可能取值为0，1，2，且服从超几何分布；P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=的分布列为： 0 1 2 P20某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会（1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X
28、的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列【专题】常规题型；计算题；规律型；转化思想；概率与统计【分析】（1）选出的2人参加义工活动次数之和为4为事件A，求出选出的2人参加义工活动次数之和的所有结果，即可求解概率则P（A）（2）随机变量X的可能取值为0，1，2分别求出P（X=0），P（X=1），P（X=2）的值，由此能求出X的分布列和EX【解答】解：（1）从10人中选出2人的选法共有=45种，事件A：参加次数的和为4，情况有：1人参加1次，另1人参加3次，2人都参加2次；共有+=15种，事件A发生概率：P=（）X的可能取
29、值为0，1，2P（X=0）=P（X=1）=，P（X=2）=，X的分布列为：X012PEX=0+1+2=121如图，A、B两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量（I）设选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为x，当x6时，则保证信息畅通求线路信息畅通的概率；（）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率【专题】计算题【分析】（1）由题意知通过的信息量x6，则可保证信息通畅线路信息通畅包括四种情况，即通过的信息量分别为9，8，7，6，这四种情况是互斥的，根据互斥事件的概
30、率公式和等可能事件的概率公式得到结果（2）线路可通过的信息量x，的所有可能取值为4，5，6，7，8，9，结合变量对应的事件和等可能事件的概率及互斥事件的概率，得到变量的概率，求出通过信息总量的数学期望【解答】解：（I）1+1+4=1+2+3=6，P（x=6）=1+2+4=2+2+3=7，P（x=7）=，P（x=8）=，P（x=9）=，线路信息畅通的概率是（II）x=4，5，6，7，8，91+1+2=4，P（x=4）=，1+1+3=1+2+2=5，P（x=5）=线路通过信息量的数学期望=4=6.522在平面直角坐标系xOy中，设A，B是椭圆上的两点，O为原点，且证明：为定值【考点】直线与椭圆的位
31、置关系；椭圆的标准方程【专题】证明题；转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设AB所在的直线方程为：y=kx+m，代入椭圆方程得（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2m2a2b2=0，由此利用韦达定理、点到直线的距离公式，结合已知条件能证明为定值【解答】证明：设A点坐标为（x1，y1），B坐标为（x2，y2），x1x2+y1y2=0设AB所在的直线方程为：y=kx+m，代入椭圆方程，整理得：（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2m2a2b2=0因为点A、B在椭圆上由韦达定理可得：x1+x2=，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x
32、2）+m2由x1x2+y1y2=0，得x1x2+k2x1x2+km（x1+x2）+m2=0即（k2+1）km+m2=0化简得：（a2+b2）m2=a2b2（1+k2），即=，即点O到直线AB的距离d2=为定值，直角AOB中，OA2+OB2=AB2，SAOB=（OAOB）=（ABd），=，为定值四、附加题：（本小题满分0分）（参加奥赛辅导的学生必做）23设x，y，z为正实数，且x+y+z=3求证：【考点】不等式的证明【专题】证明题；转化思想；分析法；不等式【分析】根据题意，由柯西不等式可得（x+y+z+）（）（x+y+z）2=9，进而基本不等式分析可得+x+y+z=3，进而可得x+y+z+6，将其代入（x+y+z+）（）9中，原不等式即可得到证明【解答】证明：根据题意，x，y，z为正实数，由柯西不等式可得：（x+y+z+）（）（x+y+z）2=9，即，而x+y+z=3且x+y2，x+z2，z+y2，分析可得+x+y+z=3，又由x+y+z=3，则x+y+z+6，故=；故可证：2017年2月10日
