1、甘肃省宁县第二中学2021届高三数学上学期月考试题本试卷分为第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟第卷选择题(共45分)参考公式：如果事件A，B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)如果事件A，B相互独立，那么P(AB)P(A)P(B)球的表面积公式S4R2球的体积公式VR3，其中R表示球的半径 一、选择题(本大题共9小题，每小题5分，共45分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合U1，2，3，4，5，6，A1，2，3，4，B2，4，6，则集合U(AB)()A5 B1，5C2，4 D1，2，3，4，62设aR，则“a2”是“a24”的()A
2、充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3已知直线l：xay2与圆C：x2y24相交于M，N两点，若|MN|2，则直线l的斜率为()A. BC. D4已知双曲线1(a0，b0)的焦距为4，点(2，3)为双曲线上一点，则双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx5已知函数f(x)的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是()Af(x) Bf(x)2|x|2Cf(x)2|x|x2 Df(x)e|x|x|6已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在0，)单调递增，设af()，bf(log37)，cf(0.83)，则a，b，c的大小关系为()Abac B
3、cbaCcab Dac0)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在为增函数，则的最大值为()A1 B2 C3 D49已知函数f(x)若关于x的方程f(x)axa恰有1个实根，则实数a的取值范围是()A1，01，) B(，10，1C1，1 D(，11，)第卷非选择题(共105分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分把答案填在相应的横线上)10设复数z(i为虚数单位)，则|z|_11二项式的展开式中，x2项的系数为_12从某班的4名男生，2名女生中任选3人参加学校组织的社会实践活动设所选3人中女生人数为X，则P(X2)_，数学期望E(X)_13已知a0，b0，
4、且ab2，则的最小值为_14已知ABC是边长为2的等边三角形，且AD与BE相交于点O，则_15已知函数f(x)，xR，分别给出下面几个结论：等式f(x)f(x)0在xR时恒成立；函数f(x)的值域为(1，1)；若x1x2，则一定有f(x1)f(x2)；函数g(x)f(x)x在R上有三个零点其中正确结论的序号是_三、解答题(本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(本小题满分14分)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2ca2bcosA.(1)求角B；(2)若cosA，求sin(2AB)的值；(3)若c7，bsinA，求b的值17(本小题满分15分)
5、如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，ABAC，且PAAB3，AC2，E是棱PD的中点(1)求证：PB平面AEC；(2)求直线PC与平面AEC所成角的正弦值；(3)在线段PB上(不含端点)是否存在一点M，使得二面角MACE的余弦值为？若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由18(本小题满分15分)已知等比数列an的前n项和为Sn，公比q1，且a21是a1，a3的等差中项，S314.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnanlog2an，求数列bn的前n项和Tn(nN*)19(本小题满分15分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，直线xy0与圆x2y2b2相
6、切(1)求椭圆C的方程；(2)过点P(4，0)的直线l与椭圆C交于不同两点A，B，线段AB的中垂线为l1，若l1在y轴上的截距为，求直线l的方程20(本小题满分16分)已知函数f(x)lnxax2(a2)x1，其中aR.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设aZ，若对任意的x0，f(x)0恒成立，求a的最大值；(3)求证：当x0时，exxlnx2x3x2x10.数学答案1A命题立意本题考查集合的并集、补集运算解析AB1，2，3，4，6，U(AB)5，故选A.2A命题立意本题考查充分、必要条件解析由a2，可得a24，反之不成立，如a3时，满足a24，但a2不成立，“a2”是“a24”的充分而不
7、必要条件，故选A.3B命题立意本题考查直线与圆的位置关系解析|MN|2，圆的半径r2，圆心到直线的距离d1，又d，a，直线xay2的斜率k，故选B.4D命题立意本题考查双曲线的几何性质解析由题意知解得渐近线方程为yx.故选D.5C命题立意本题考查函数的图象、性质解析图象关于y轴对称，函数为偶函数，排除A，f(0)0，排除B；对于D，当x0时，f(x)exx，f(x)ex10，f(x)在(0，)上单调递增，不符合题意，排除D，故选C.6C命题立意本题考查函数的奇偶性、单调性解析f(x)是偶函数，cf(0.83)f(0.83)，又log37log30.830.f(x)在(0，)单调递增，f(log
8、37)ff(0.83)，ca0)g(x)2sin2sinx.g(x)在为增函数，2，的最大值为2，故选B.9A命题立意本题考查分段函数、方程的根解析f(x)axa恰有1个实根等价于yf(x)与yaxa只有一个交点，画出图象如图：ylnx在x1处的切线方程为yx1.yx23x2在x1处的切线方程为yx1.由图得1a0或a1，故选A.101命题立意本题考查复数的模解析|z|1.1180命题立意本题考查二项展开式的特定项的系数解析展开式的通项为Tr1Cr5(2x)5r.(1)r25rCr5x5.令52，得r2，x2项的系数为(1)223C2580.12.1命题立意本题考查超几何分布、数学期望解析P(
9、X2).X的可能取值为0，1，2，P(X0).P(X1)，P(X2).E(X)0121.13.命题立意本题考查基本不等式解析a0，b0，ab2，ab13.aab121112122.当且仅当即时等号成立的最小值为.14命题立意本题考查向量的运算，向量的数量积解析B、O、E三点共线，1，.，2222.15命题立意本题考查函数的单调性、奇偶性、值域、零点解析f(x)，f(x)f(x)0，正确；由知f(x)为奇函数，f(0)0，当x0时，f(x)1.x0，x11，01，0f(x)1，x0时，1f(x)0，f(x)的值域为(1，1)，正确；当x0时，f(x)1在0，)上单调递增，又f(x)为奇函数，f(
10、x)在R上单调递增，当x1x2时，一定有f(x1)f(x2)，正确；令f(x)x0得x0，x0，x0或1|x|1，x0，即g(x)在R上只有一个零点，不正确故正确结论为.16命题立意本题考查正、余弦定理、二倍角公式、两角和的正弦公式解题思路(1)利用正弦定理将已知化为角的关系，利用sinCsin(AB)整理得cosB，从而得角B；(2)由已知及同角三角函数关系式求出sinA，进而利用二倍角公式求出sin2A、cos2A代入两角和的正弦公式即可；(3)利用正弦定理求出a边，再由余弦定理求得b边解(1)2ca2bcosA，由正弦定理得，2sinCsinA2sinBcosA，2(sinAcosBco
11、sAsinB)sinA2sinBcosA，即2sinAcosBsinA.sinA0，cosB.又0B，B.(2)由cosA得，sinA.sin2A2sinAcosA，cos2A2cos2A1.sin(2AB)sinsin2Acoscos2Asin.(3)由正弦定理， 得a.由(1)知，B，a2.由余弦定理得，b2a2c22accosB19，b.17命题立意本题考查线面平行、线面角、二面角解题思路(1)连接BD交AC于点F，利用中位线证得EFBP，由线面平行的判定定理证得PB平面AEC；(2)建立空间直角坐标系，求得平面AEC的法向量，利用向量法得线面角的正弦值；(3)假设存在满足题意的点M.设
12、(01)，得M点坐标，求得平面MAC的法向量，利用向量法列方程解得值，从而确定M点位置解(1)证明：连接BD交AC于点F，连接EF.ABCD是平行四边形，F是BD的中点，又E是PD的中点，EFPB，又PB平面AEC，EF平面AEC，PB平面AEC.(2)以A为坐标原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A(0，0，0)，B(0，3，0)，C(2，0，0)，D(2，3，0)，P(0，0，3)，E.设平面AEC的法向量为n(x，y，z)，(2，0，0)即不妨取y1，得n(0，1，1)又(2，0，3)设直线PC与平面AEC所成的角为，则sin|cos，n|
13、，即直线PC与平面AEC所成角的正弦值为.(3)假设在线段PB上(不含端点)存在一点M，使得二面角MACE的余弦值为，连接AM，MC.设(01)S344q14.q2，a12.ana1qn12n.(2)由(1)知，an2n，bnanlog2ann2n，Tn12222323n2n.2Tn122223(n1)2nn2n1.两式相减得，Tn222232nn2n1n2n1(1n)2n12，Tn(n1)2n12.19命题立意本题考查椭圆的标准方程、直线的方程、直线与椭圆的位置关系解题思路(1)由直线与圆相切求得b，再由离心率求得a，写出椭圆方程；(2)设直线l的方程与椭圆方程联立，消y，利用韦达定理得AB
14、中点Q的坐标表达式，从而写出AB的中垂线l1的方程，令x0得l1在y轴上的截距解方程求得l方程解(1)由题意得，又a2b2c2，a2.椭圆C的方程为1.(2)由题意，直线l的斜率k存在且不为零设直线l的方程为yk(x4)，k0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点Q(x0，y0)由消去y，整理得(34k2)x232k2x64k2120，由(32k2)24(34k2)(64k212)0，解得k，且k0.x1x2.x0，y0k(x04).Q.由题意可知，l1：yy0(xx0)，即y，化简得，yx，令x0，解得k，或k3，k，且k0，k.故直线l的方程为y(x4)，即x4y40.20命题
15、立意本题考查利用导数研究函数的单调性、恒成立问题、利用函数的单调性证明不等式解题思路(1)对f(x)求导，分a0和a0两种情况讨论单调性；(2)将问题转化为f(x)max0，构造函数g(x)lnxx.对g(x)求导，判单调，利用零点存在性定理，找出g(x)的唯一零点所在区间，从而确定a的范围，利用aZ，得a的最大值；(3)利用(2)中结论有lnx0时，exx22x10，构造函数u(x)exx22x1(x0)，对u(x)求导，判单调，利用u(0)0，问题得证解(1)函数f(x)的定义域为(0，)f(x)2axa2，当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)单调递增当a0，得0x，由f(x)，函
16、数f(x)在单调递增，在单调递减(2)若a0，则f(1)2a30，不满足f(x)0恒成立若a0，gln20，存在唯一的x0， 使得g(x0)0.当x(0，x0)时，g(x)0.0x0，解得a(2，1)又aZ，a的最大值为2.(3)证明：由(2)知，当a2时，f(x)lnx2x210.lnx2x3x.exxlnx2x3x2x1ex2x3x2x3x2x1exx22x1.记u(x)exx22x1(x0)，u(x)ex2x2.记h(x)ex2x2，h(x)ex2.由h(x)0，得xln2.当x(0，ln2)时，h(x)0，函数h(x)在(0，ln2)单调递减，在(ln2，)单调递增h(x)minh(ln2)eln22ln2242ln20，h(x)0，即u(x)0.故函数u(x)在(0，)单调递增当x0时，u(x)u(0)e010，即exx22x10.exxlnx2x3x2x10.- 12 -
