1、 真题演练集训 12015湖南卷已知抛物线C1 :x24y的焦点F也是椭圆C2:1(ab0)的一个焦点,C1 与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且与同向(1)求C2的方程;(2)若|AC|BD|,求直线l的斜率解:(1)由C1:x24y知其焦点F的坐标为(0,1)因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2b21.又C1与C2的公共弦的长为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x24y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为,所以1.联立,得a29,b28.故C2的方程为1.(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(
2、x4,y4)因为与同向,且|AC|BD|,所以,从而x3x1x4x2,即x1x2x3x4,于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.设直线l的斜率为k,则l的方程为ykx1.由得x24kx40.而x1,x2是这个方程的两根,所以x1x24k,x1x24.由得(98k2)x216kx640.而x3,x4是这个方程的两根,所以x3x4,x3x4.将代入,得16(k21),即16(k21),所以(98k2)2169,解得k,即直线l的斜率为.22015福建卷已知点F为抛物线E:y22px(p0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|3.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(1,
3、0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切解:解法一:(1)由抛物线的定义得|AF|2.因为|AF|3,即23,解得p2,所以抛物线E的方程为y24x.(2)证明:因为点A(2,m)在抛物线E:y24x上,所以m2.由抛物线的对称性,不妨设A(2,2)由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20,解得x2或x,从而B.又G(1,0),所以kGA,kGB,所以kGAkGB0,从而AGFBGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切解法二:(1)同解法一(2)证明:设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y24x上,所以m2.由抛物线的对称性,不妨设A(2,2)由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20,解得x2或x,从而B.又G(1,0),故直线GA的方程为2x3y20,从而r.又直线GB的方程为2x3y20,所以点F到直线GB的距离dr.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切