1、2021年江西省宜春市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（共12小题）.1设集合AxZ|x23x40，Bx|ex21，则AB（）A1，0，1，2B1，2）C1，0，1D1，22设复数z满足ziz2+i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知幂函数f（x）（m1）xn的图象过点（m，8）设af（20.3），bf（0.32），cf（log20.3），则a，b，c的大小关系是（）AbcaBacbCabcDcba4鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六
2、根等长的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的体积的最小值为（）（容器壁的厚度忽略不计）ABCD5函数f（x）sinx在区间，上的图象大致为（）ABCD6已知菱形ABCD边长为4，DAB60，M为CD的中点，N为平面ABCD内一点，且满足ANNM，则的值为（）AB16C14D87已知函数f（x）x+1，将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数yg（x）的图象，若g（x1）g（x2）9，则|x1x2|的值可能为（）ABCD81927年德国汉堡大学的
3、学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”，这大概与其蕴含的“奇偶归一”思想有关如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出i的值为（）A8B7C6D59雷达是利用电磁波探测目标的电子设备电磁波在大气中大致沿直线传播受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离L+（如图），其中h1为雷达天线架设高度，h2为探测目标高度，R为地球半径考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等效取8490km，故R远大于h1，h2.假设某探测目标高度
4、为25m，为保护航母的安全，须在直视距离390km外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（）（参考数据：A6400mB7200mC8100mD10000m10直线l与抛物线y22px（p0）相交于A，B两点，线段AB的中点为M，点P是y轴左侧一点，若线段PA，PB的中点都在抛物线上，则（）APM与y轴垂直BPM的中点在抛物线上CPM必过原点DPA与PB垂直11已知函数f（x）esinxecosx，其中e是自然对数的底数，下列说法中错误的是（）Af（x）在（0，）是增函数Bf（x+）是奇函数Cf（x）在（0，）是增函数D设g（x），则满足的正整数n的最小值是212在棱长为1的正
5、方体ABCDA1B1C1D1中，已知点P是正方形AA1D1D内部（不含边界）的一个动点，若直线AP与平面AA1B1B所成角的正弦值和异面直线AP与DC1所成角的余弦值相等，则线段A1P长度的最小值是（）ABCD二、填空题（共4小题）.13（a+x）2（1x）2020展开式中x2021的系数为2019，则展开式中常数项为 .（用数字填写答案）14设f（sin+cos）sincos，则f（sin）的值为 15已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们
6、结账方式的可能情况有 种16已知函数yf（x1）的图象关于（1，0）对称，且函数yf（x）在0，+）上单调递减，若x1，e时，不等式f（2mlnx1）2f（1）+f（lnx+12m）恒成立，则实数m的取值范围是 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选做题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分.共分17已知数列an的前n项和为Sn，且满足：a1+2a2+3a3+nan，nN*（1）求数列an的通项公式；（2）设的前n项和为Tn，证明：Tn18在四棱锥PABCD中，ABCD，AD2，DAB60，APB为等腰直
7、角三角形，PAPB2，过CD的平面分别交线段PA，PB于M，N，E在线段DP上（M，N，E不同于端点）（）求证：CD平面MNE；（）若E为DP的中点，且DM平面APB，求直线PA与平面MNE所成角的正弦值19如果某企业每月生猪的死亡率不超过百分之一，则该企业考核为优秀现获得某企业2019年1月到8月的相关数据如表所示：月份1月2月3月4月5月6月7月8月月养殖量/千只3456791012月利润/十万元3.64.14.45.26.27.57.99.1生猪死亡数最/只293749537798126145（1）求出月利润y（十万元）关于月养殖量x（千只）的线性回归方程（精确到0.01）；（2）若20
8、19年9月份该企业月养殖量为1.4万只，请你预估该月月利润是多少万元；（3）从该企业2019年1月到8月这8个月中任意选取3个月，用X表示3个月中该企业考核获得优秀的个数，求X的分布列和数学期望参考数据：附：线性回归方程中，20已知椭圆1（ab0）右焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与椭圆的一个交点坐标为（1，）（1）求椭圆的方程；（2）直线x+y1交椭圆于A，B两点，过原点的直线l与线段AB相交（不含端点）且交椭圆于C，D两点，求四边形ACBD面积的最大值21已知函数f（x）x+2alnx（1）讨论f（x）的单调性：（2）设g（x）lnxbxcx2，若函数f（x）的两个极值点x1，x2（x1x
9、2）恰为函数g（x）的两个零点，且y（x1x2）g（）的范围是ln31，+），求实数a的取值范围（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（t是参数）以原点O为点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程是4sin（+）2cos（1）写出圆C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与C2有且仅有三个公共点，求4sin25cos2的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|xa|+|x+2b|，a，bR（1）若a1，b1，求不等式f（x）5的解集；（2）若ab
10、0，且f（x）的最小值为2，求|+|的最小值参考答案一、选择题（共12小题）.1设集合AxZ|x23x40，Bx|ex21，则AB（）A1，0，1，2B1，2）C1，0，1D1，2解：AxZ|1x41，0，1，2，3，4，Bx|x2，AB1，0，1故选：C2设复数z满足ziz2+i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：因为ziz2+i，所以z，对应的点在第一象限故选：A3已知幂函数f（x）（m1）xn的图象过点（m，8）设af（20.3），bf（0.32），cf（log20.3），则a，b，c的大小关系是（）AbcaBacbCabcDcba
11、解：幂函数f（x）（m1）xn的图象过点（m，8），m11，且mn8，求得m2，n3，故f（x）x3af（20.3）20.91，bf（0.32）0.36（0，1），cf（log20.3）0，abc，故选：D4鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的体积的最小值为（）（容器壁的厚度忽略不计）ABCD解：由题意，该球形容器的半径的最小值为，该球形容器的体积的最小值为：故选：B5函数f（
12、x）sinx在区间，上的图象大致为（）ABCD解：由，可知f（x）为偶函数，排除B，又由当x0，时，排除CD，故选：A6已知菱形ABCD边长为4，DAB60，M为CD的中点，N为平面ABCD内一点，且满足ANNM，则的值为（）AB16C14D8解：取AM中点O，连接ON，因为ANNM，所以ONAM，即0，因为，DAB60，所以MDA120，所以（）24+16228，则14故选：C7已知函数f（x）x+1，将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数yg（x）的图象，若g（x1）g（x2）9，则|x1x2|的值可能为（）ABCD解：函
13、数f（x）x+1sin2xcos2x2sin（2x），将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，得y2sin（4x）的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数yg（x）2sin（4x）+1的图象，若g（x1）g（x2）9，则4x+2k，kZ；解得x+，kZ；其中x1、x2是三角函数g（x）最高点的横坐标，|x1x2|的值为T的整数倍，且T故选：B81927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”，这大概与其蕴
14、含的“奇偶归一”思想有关如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出i的值为（）A8B7C6D5解：a3，a1不满足，a是奇数满足，a10，i2，a10，a1不满足，a是奇数不满足，a5，i3，a5，a1不满足，a是奇数满足，a16，i4，a16，a1不满足，a是奇数不满足，a8，i5，a8，a1不满足，a是奇数不满足，a4，i6，a4，a1不满足，a是奇数不满足，a2，i7，a2，a1不满足，a是奇数不满足，a1，i8，a1，a1满足，输出i8，故选：A9雷达是利用电磁波探测目标的电子设备电磁波在大气中大致沿直线传播受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离L+（如图），其中h1
15、为雷达天线架设高度，h2为探测目标高度，R为地球半径考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等效取8490km，故R远大于h1，h2.假设某探测目标高度为25m，为保护航母的安全，须在直视距离390km外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（）（参考数据：A6400mB7200mC8100mD10000m解：根据题意可知，L390km，R8490km，h20.025km，因为L+，所以，解得h18.1km8100m故选：C10直线l与抛物线y22px（p0）相交于A，B两点，线段AB的中点为M，点P是y轴左侧一点，若线段PA，PB的中点都在抛物线上，则（）APM与y轴垂直BPM的中
16、点在抛物线上CPM必过原点DPA与PB垂直解：设P（x0，y0），A（，y1），B（，y2），又因为线段PA，PB的中点都在抛物线上，2p且，即y1，y2为方程的两根，y1+y22y0，线段AB的中点为M，直线PM方程为yy0，故直线PM与y轴垂直故选：A11已知函数f（x）esinxecosx，其中e是自然对数的底数，下列说法中错误的是（）Af（x）在（0，）是增函数Bf（x+）是奇函数Cf（x）在（0，）是增函数D设g（x），则满足的正整数n的最小值是2解：对于函数f（x）esinxecosx，其中e是自然对数的底数，所以f（x）cosxesinx+sinxecosx，对于A：由于x（0，
17、）时，cosx0，sinx0，所以f（x）0，所以函数f（x）为增函数，故A正确；对于B：设h（x）f（x+），所以h（x）h（x），故B正确；对于C：由f（x）cosxesinx+sinxecosx，在x（0，）时，cosx0，sinx0，所以f（x）0，所以函数在（0，）上单调递增，由x时，f（x）10，下面考虑x（，）上，由f（x）esinx（cos2xsinx）+ecosx（cosxsin2x），当x（，）时，cos2xsinx0，cosxsin2x0，所以f（x）0，函数f（x）为单调递减函数，由f（）1，f（）（），所以f（）0，故明显存在f（x）0；故f（x）在（0，）上不是增函
18、数，故C错误；对于D：由n1时，g（）0，所以g（）g（）（e1），明显g（）g（）不成立，由n2时，g（）（e1），同理g（）（），由g（）1.0939，g（）0.6515，所以g（）g（），所以n的最小值为2，故D正确故选：C12在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，已知点P是正方形AA1D1D内部（不含边界）的一个动点，若直线AP与平面AA1B1B所成角的正弦值和异面直线AP与DC1所成角的余弦值相等，则线段A1P长度的最小值是（）ABCD解：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可设P（x，0，z），由A（1，0，0），C1（0，1，
19、1），D（0，0，0），A1（1，0，1），得（x1，0，z），（0，1，1），（1，0，0），设直线AP与平面AA1B1B所成角为，异面直线AP与DC1所成角为，可得coscos，sin|cos|，0x1，由sincos，可得z（1x），则|当x时，线段A1P长度的最小值是故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13（a+x）2（1x）2020展开式中x2021的系数为2019，则展开式中常数项为.（用数字填写答案）解：（a+x）2（1x）2020（a2+2ax+x2）（1x）2020，则x2021的项为2ax（x）2020+x2（x）2019（2a2020）x2021，则对
20、应系数为2a20202019得2a1，得a，则常数项为a2，故答案为：14设f（sin+cos）sincos，则f（sin）的值为解：令tsin+cos，则t21+2sincos，故sincos，所以f（t），故f（sin）f（）故答案为：15已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有20种解：这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，当结账方式为现金、支付宝、微信，则他们结账方式有（1+）10（种），当结账方式为现金、支付
21、宝、银联卡，则他们结账方式有1+5（种），当结账方式为现金、微信、银联卡，则他们结账方式有1+5（种），综合得：这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有10+5+520种，故答案为：2016已知函数yf（x1）的图象关于（1，0）对称，且函数yf（x）在0，+）上单调递减，若x1，e时，不等式f（2mlnx1）2f（1）+f（lnx+12m）恒成立，则实数m的取值范围是m解：因为函数yf（x1）的图象关于（1，0）对称，所以函数f（x）的图象关于（0，0）对称，所以f（x）为奇函数，所以f（lnx+12m）f（2mlnx1），若x1，e时，不等式f（2mlnx1）
22、2f（1）+f（lnx+12m）恒成立，则x1，e时，不等式2f（2mlnx1）2f（1）恒成立，即x1，e时，不等式f（2mlnx1）f（1）恒成立，又因为函数yf（x）在0，+）上单调递减，所以x1，e时，2mlnx11恒成立，即x1，e时，m恒成立，令h（x），x1，e，h（x）在1，e上单调递增，所以h（x）maxh（e），所以m三、解答题：共70分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选做题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分.共分17已知数列an的前n项和为Sn，且满足：a1+2a2+3a3+nan，nN*（1）
23、求数列an的通项公式；（2）设的前n项和为Tn，证明：Tn【解答】（1）解：依题意，当n1时，当n2时，由，可得，可得，即ann+1，当n1时，a12也满足上式，ann+1，nN*（2）证明：由（1）知，ann+12+1（n1），故数列an是以2为首项，1为公差的等差数列，Sn2n+1，则，Tn+（1）+（）+（）+（）+（）（1+）（+），不等式Tn成立18在四棱锥PABCD中，ABCD，AD2，DAB60，APB为等腰直角三角形，PAPB2，过CD的平面分别交线段PA，PB于M，N，E在线段DP上（M，N，E不同于端点）（）求证：CD平面MNE；（）若E为DP的中点，且DM平面APB，求直
24、线PA与平面MNE所成角的正弦值【解答】（）证明：ABCD，AB平面ABP，CD平面ABP，CD平面ABP，又CD平面CDMN，平面CDMN平面ABPMN，CDMN又MN平面MNE，CD平面MNE，CD平面MNE（）解：法一（几何法）：作MFAB于F，连接DF，由三垂线定理有DFAB，在RtADF中，BAD60，AD2，AF1，在RtAMF中，BAM45，M为AP的中点，E为DP的中点，MNAB，MEAD，MNMEM平面MNE平面ABCD，直线PA与平面MNE所成角，即直线PA与平面ABCD所成角DM平面APB，DMAB，又ABMF，DMMFM，AB平面DFM，平面MDF平面ABCD，过点M作
25、MHDF交于点H，连接AH，则MH平面ABCDMAH是直线PA与平面ABCD所成角，MFAF1，.直线PA与平面MNE所成角的正弦值为法二（坐标法）：建立如图空间直角坐标系连接DBP（0，0，0），因为AB4，AD2，DAB60，由余弦定理可得设点D的坐标为（0，y，z）（y，z0）.，所以，点D的坐标为，点M的坐标为，点N的坐标为点E的坐标为.，设平面MNE的法向量，则，取abc1，则.，设直线PA与平面MNE所成角为.故直线PA与平面MNE所成角的正弦值为19如果某企业每月生猪的死亡率不超过百分之一，则该企业考核为优秀现获得某企业2019年1月到8月的相关数据如表所示：月份1月2月3月4月
26、5月6月7月8月月养殖量/千只3456791012月利润/十万元3.64.14.45.26.27.57.99.1生猪死亡数最/只293749537798126145（1）求出月利润y（十万元）关于月养殖量x（千只）的线性回归方程（精确到0.01）；（2）若2019年9月份该企业月养殖量为1.4万只，请你预估该月月利润是多少万元；（3）从该企业2019年1月到8月这8个月中任意选取3个月，用X表示3个月中该企业考核获得优秀的个数，求X的分布列和数学期望参考数据：附：线性回归方程中，解：（1）由参考数据可得，60.6471.52月利润y关于月养殖量x的线性回归方程为（2）若2019年9月份，该企业
27、月养殖量为1.4万只，则此时x14，把x14代入回归方程得，预估该月月利润是104.8万元（3）由题中数据可知，1月、2月、3月和4月这4个月的企业考核都为优秀，所以X的可能取值为0，1，2，3，P（X0），P（X1），P（X2），P（X3）X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望E（X）20已知椭圆1（ab0）右焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与椭圆的一个交点坐标为（1，）（1）求椭圆的方程；（2）直线x+y1交椭圆于A，B两点，过原点的直线l与线段AB相交（不含端点）且交椭圆于C，D两点，求四边形ACBD面积的最大值解：（1）由已知可得，解之可得a，b1，因此可得椭圆的方程为：；（1
28、）由（1），联立直线与椭圆方程可得，解之可得，或，假设点A（0，1），B（），根据题意，可知直线l的斜率一定存在，此时设直线l：ykx，将该直线方程代入椭圆方程，可得：（2k2+1）x22或，设点C（x3，y3），D（x4，y4），则，点A，B到直线ykx的距离分别为：，由直线l与线段AB（不含端点）相交，所以可得k，所以，因此可得四边形ACBD的面积即为，令k+1t，（t），则有2k2+12t24t+3，根据二次函数的性质可得，当，即k时，取得最小值为，此时四边形ACBD的面积取得最大值为：21已知函数f（x）x+2alnx（1）讨论f（x）的单调性：（2）设g（x）lnxbxcx2，若函数
29、f（x）的两个极值点x1，x2（x1x2）恰为函数g（x）的两个零点，且y（x1x2）g（）的范围是ln31，+），求实数a的取值范围解：（1）f（x）的定义域为（0，+），f（x）1+，（i）若a1，则f（x）0，当且仅当a1，x1时，f（x）0，（ii）若a1，令f（x）0得 x1a，x2a+，当x（0，a）（a+，+）时，f（x）0，当x（a，a+）时，f（x）0，故当a1时，f（x）单调递减区间为（0，+），无单调递增区间，当a1时，f（x）单调递减区间为（0，a），（a+，+），单调递增区间为（a，a+）（2）由（1）知：a1且x1+x22a，x1x21，又g（x）b2cx，g（）b
30、c（x1+x2），由g（x1）g（x2）0得：lnb（x1x2）+c（x12x22），y（x1x2）g（）b（x1x2）c（x12x22）lnln，令t（0，1），ylnt，y0，y在（0，1）上单调递减，由y的取值范围是ln31，+），得t的取值范围是（0，x1+x22a，（2a）2+2x1x2+4a2+2，4a2+2t+2，+），a1，实数a的取值范围是，+）（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（t是参数）以原点O为点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C
31、2的极坐标方程是4sin（+）2cos（1）写出圆C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1与C2有且仅有三个公共点，求4sin25cos2的值解：（1）圆C2的极坐标方程是4sin（+）2cos，根据转换为直角坐标方程为x2+y22x4y0（2）曲线C1的参数方程是（t是参数），由于曲线C1与C2有且仅有三个公共点，说明折线其中一条和圆相切，一条和圆相交，其中与圆相切的直线的方程为ytanx+5（tan0），该直线与圆C2相切，则圆心（1，2）到直线的距离d，解得tan2，所以4sin25cos2选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|xa|+|x+2b|，a，bR（1）若a1，b1，求不等式f（x）5的解集；（2）若ab0，且f（x）的最小值为2，求|+|的最小值解：（1）a1，b1时，x1时，由32x5得，1x1；1x2时，15恒成立，1x2；x2时，由2x35得，2x4，综上得，不等式f（x）5的解集为1，4；（2）f（x）|xa|+|x+2b|a+2b|，且f（x）的最小值为2，|a+2b|2，ab0，a0，b0时，a+2b2，当且仅当，即a2b1时取等号；a0，b0时，a+2b2，且，当且仅当，即a2b1时取等号，综上得，的最小值为4
