1、第五节三角恒等变换 最新考纲1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin_cos_cos_sin_；(2)cos()cos_cos_sin_sin_；(3)tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos ；(2)cos 2cos2sin22cos2112si
2、n2；(3)tan 2.3辅助角公式asin bcos sin()1公式的常用变式tan tan tan()(1tan tan )；sin 2；cos 2.2降幂公式sin2；cos2；sin cos sin 2.3升幂公式1cos 2cos2；1cos 2sin2；1sin 2；1sin 2.4半角正切公式tan .一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)存在实数，使等式sin()sin sin 成立()(2)公式asin xbcos xsin(x)中的取值与a，b的值无关()(3)cos 2cos2112sin2.()(4)当是第一象限角时，sin .()答案(1)(2)(3)(4
3、)二、教材改编1已知cos ，是第三象限角，则cos为()A.BC.DAcos ，是第三象限角，sin .cos(cos sin ).故选A.2sin 347cos 148sin 77cos 58_.sin 347cos 148sin 77cos 58sin(27077)cos(9058)sin 77cos 58(cos 77)(sin 58)sin 77cos 58sin 58cos 77cos 58sin 77sin(5877)sin 135.3计算：sin 108cos 42cos 72sin 42_.原式sin(18072)cos 42cos 72sin 42sin 72cos 42c
4、os 72sin 42sin(7242)sin 30.4tan 20tan 40tan 20tan 40_.tan 60tan(2040)，tan 20tan 40tan 60(1tan 20tan 40)tan 20tan 40，原式tan 20tan 40tan 20tan 40.5若tan ，tan()，则tan _.tan tan().第1课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式考点1公式的直接应用(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值1.(2019全国卷)已知，2sin 2cos 21，则sin
5、()A.B.C. D.B由二倍角公式可知4sin cos 2cos2.，cos 0，2sin cos ，tan ，sin .故选B.2已知sin ，tan()，则tan()的值为()A BCDA，tan ，又tan ，tan().3(2019太原模拟)若，且sin，则cos_.由于角为锐角，且sin，则cos，则coscoscoscos sinsin .4计算的值为_.两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用，的三角函数表示的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的考点2公式的逆用与变形用公式的一些常用变形(1)sin s
6、in cos()cos cos ；(2)cos sin sin()sin cos ；(3)1sin 2；(4)sin 2；(5)cos 2；(6)tan tan tan()(1tan tan )；(7)asin bcos sin().公式的逆用(1)化简_.(2)在ABC中，若tan Atan Btan Atan B1，则cos C_.(1)(2)(1).(2)由tan Atan Btan Atan B1，可得1，即tan(AB)1，又AB(0，)，所以AB，则C，cos C.(1)逆用公式的关键是准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式，同时，要注意公式成立的条件和角之间的关系(2)t
7、an tan ，tan tan (或tan tan )，tan()(或tan()三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题(3)重视sin cos ，cos sin ，cos cos ，sin sin 的整体应用公式的变形用(1)化简_.(2)化简sin2sin2sin2的结果是_(1)1(2)(1)1.(2)原式sin21sin21cos 2cos sin21.注意特殊角的应用，当式子中出现，1，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式1.设acos 50cos 127cos 40cos 37，b(sin 56cos 56)，c，则a，b，c的大小
8、关系是()AabcBbacCcabDacbD由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得acos 50cos 127cos 40cos 37cos 50cos 127sin 50sin 127cos(50127)cos(77)cos 77sin 13，b(sin 56cos 56)sin 56cos 56sin(5645)sin 11，ccos239sin239cos 78sin 12.因为函数ysin x，x为增函数，所以sin 13sin 12sin 11，所以acb.2.cos 154sin215cos 15()A. B.C.1D.D法一：cos 154sin215cos 15cos 15
9、2sin 152sin 15cos 15cos 152sin 15sin 30cos 15sin 152cos (1530)2cos 45.故选D.法二：因为cos 15，sin 15，所以cos 154sin215cos 1542(2)(22).故选D.3已知，则(1tan )(1tan )_.2(1tan )(1tan )tan tan tan tan 1tan()(1tan tan )tan tan 11tan tan tan tan 12.4已知sin cos ，则cos sin 的取值范围_由题知sin cos ，设cos sin t，得sin cos cos sin t，即sin(
10、)t，得sin cos cos sin t，即sin()t.1sin()1，t.考点3公式的灵活运用三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路(1)角的变换：发现各个角之间的关系：拆角、凑角、互余、倍半、互利(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相互转化，如：2()()，()()，406020，2等(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦三角公式中角的变换(1)设，都是锐角，且cos ，sin()，则cos _.(2)已知cos(75)，则cos(302)的值为_(1)(2)
11、(1)依题意得sin ，因为sin()sin 且，所以，所以cos().于是cos cos()cos()cos sin()sin .(2)cos(75)sin(15)，所以cos(302)12sin2(15)1.(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系(2)常见的配角技巧：2()()，()，等三角公式中名的变换(1)化简：(0)；(2)求值：sin 10.解(1)由(0，)，得0，cos 0，2cos .又(1sin cos )2cos 2cos cos .故原式cos .(2)原式sin 10sin 10sin 102cos 10.1.(2019石家庄模拟)已知tan 4，则cos2()A. B.C.D.C由tan 4，得4，即4，sin cos ，cos2.2已知，且cos ，cos()，则sin _.由已知可得sin ，sin()，sin sin()sin()cos cos()sin .3._.(用数字作答).
