1、宁夏长庆高级中学2020-2021学年高二数学上学期第二次月考试题 理（含解析）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1. 已知函数，且，则的值为（ ）A. 1B. C. -1D. 0【答案】A【解析】【详解】 由题意得，函数的导数为，因为，即，所以，故选A2. 曲线在点处的切线方程为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】试题分析：由曲线yx33x21，所以，曲线在点处的切线的斜率为：，此处的切线方程为：，即.考点：利用导数研究曲线上某点切线方程点评：本题考查导数的几何意义、关键是求出直线的斜率，正确利用直线的点斜式方程，考查计算能力3. 设，则 （ ）A.
2、 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得导函数，由此解方程求得的值.【详解】依题意，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查乘法的导数，考查方程的思想，属于基础题.4. 已知，的值是（ ）A. 3B. 2C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据导数的定义与极限的运算可得【详解】故选：B5. 已知对任意实数，有，且时，则时（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】由条件知：是奇函数，且在内是增函数；是偶函数，且在内是增函数；所以在内是增函数；在内是减函数；所以时，故选B6. 函数在处有极值10，则点（）A. B. C. 或D. 不存在【答案】B【解析】【详解】试题分析：，则
3、，解得或，当时，此时在定义域上为增函数，无极值，舍去.当,为极小值点,符合,故选B考点：1.用导数研究函数的极值；2.函数在某一点取极值的条件.【易错点睛】本题主要考查用导数研究函数的极值问题，要求掌握可导函数取得有极值的条件，是函数取得极值的必要不充分条件.求解之后要注意检验，本题中，当时，此时在定义域上为增函数，无极值，不符合题意，舍去.本题容易错选A，认为两组解都符合，一定要注意检验.7. 已知是R上的单调增函数，则b的取值范围是（ ）A. 或B. 或C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用三次函数的单调性，通过其导数进行研究，求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题【详解】，函数是上
4、的单调增函数，在上恒成立，即.故选：D.【点睛】本题考查根据导函数研究函数的单调性，属于中档题.可导函数在某一区间上是单调函数，实际上就是在该区间上（或）（在该区间的任意子区间都不恒等于0）恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围，本题是根据相应的二次方程的判别式来进行求解.8. 函数在上的最大值和最小值分别是（ ）A. 5，15B. 5，C. 5，D. 5，【答案】C【解析】【分析】求导数，确定单调性，极值，并求出端点处函数值，比较后可得最大值和最小值【详解】由已知，得或（舍去），时，递减，时，递增，所以最小值极小值，又，所以最大值5故选：C9. 曲线在点处的切线
5、与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出曲线在处的切线方程，求出切线的横截距和纵截距后可得所求的面积.【详解】，故切线的斜率为，故切线方程为：，化简得到.令，则；令，则.故切线与坐标轴所围三角形的面积为.故选：D.【点睛】本题考查导数的几何意义及直线方程的应用，对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标，本题属于基础题.10. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号和极值
6、点，据此可判断的图象.【详解】由的图象可知，在上为增函数，且在上存在正数，使得在上为增函数，在为减函数，故在有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，有变化，故排除A，B.由在上为增函数可得在上恒成立，故排除C.故选：D.【点睛】本题考查导函数图象的识别，此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况，本题属于基础题.11. 给出以下命题：（1）若，则；（2）；（3）的原函数为，且是以T为周期的函数，则；其中正确命题的个数为（ ）A 1B. 2C. 3D. 0【答案】B【解析】【分析】由微积分基本定理判断【详解】（1）若，则，（1）错；（2），（2）正确；（3）因为是周期函数，周期为，
7、则，所以，令，则，（3）正确故选：B12. 若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将函数恰有两个极值点转化成：函数有两个不同的零点.即：方程有两个不同的实数根，再转化成：有两个不同的实数根，讨论的单调性并画出简图，结合图象即可列不等式求解【详解】由题可得：，因为函数恰有两个极值点，所以函数有两个不同的零点.令，等价转化成有两个不同的实数根，记：，所以，当时，此时函数在此区间上递增，当时，此时函数在此区间上递增，当时，此时函数在此区间上递减，作出的简图如下：要使得有两个不同的实数根，则，即：，整理得：.故选D【点睛】本题主要考查了极值点与
8、导数的关系，还考查了转化思想及计算能力，考查了函数图象与导数的关系，属于难题二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 设函数，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】利用导数证明函数在定义域上为增函数，再利用单调性求最值即可.【详解】，求导得当时，函数在上单调递增，故答案为：14. 已知为一次函数，且，则=_.【答案】【解析】【详解】设，则.即，所以.15. 计算=_【答案】【解析】【分析】根据定积分的几何意义求得，由定积分的计算公式，求得，再根据定积分的性质，即可求解【详解】由定积分的性质可得，根据定积分的几何意义，可知表示的面积，即半径为的一个个圆的面积，所以，又由，所
9、以，【点睛】本题主要考查了定积分的计算，以及定积分的几何意义的应用，其中熟记定积分的计算和定积分的几何意义是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题16. 已知函数，其导函数为偶函数，则函数在区间上的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由题意首先确定m，n的值，然后利用导函数研究函数g（x）的单调性，最后由函数的单调性确定函数的最值即可【详解】由函数的解析式可得：f（x）x2+2mx+n，导函数为偶函数，则m0，故f（x）x3+nx+2，f（1）n+2，n3，函数的解析式为f（x）x33x+2，f（x）x23，故g（x）ex（x23），g（x）ex（x23+2x）ex（x
10、1）（x+3），所以函数g（x）在区间0，1）上单调递减，在区间（1，2上单调递增，函数g（x）的最小值为，故答案为：2e三、解答题：（本大题共7小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 用长为 ，宽为 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 ，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【答案】见解析【解析】【详解】分析：设容器的高为，得容器的容积为与之间的关系，是关于的三次函数，求导，利用函数的单调性求出函数的最值.详解：设容器的高为 ，容器的体积为 ， ， 由 得 ，（舍）又当 时，当 时， 所以当
11、时， 有极大值 所以当 时， 有最大值 答：当容器的高为 时，容器的容积最大，最大容积为 点睛：该题考查的是有关应用题，在解题的过程中，需要对题中的条件，认真分析，找到变量之间的关系式，建立起对应的函数关系式，利用导数研究函数图像的走向，从而求得结果.18. 已知在 时有极大值，在 时有极小值（1）求， ，的值；（2）求在区间 上的最大值和最小值【答案】（1）, ,；（2）当时，当时，.【解析】【详解】试题分析：(1)两根为-2,1(2)的最大值为，最小值为考点：函数极值最值点评：函数在极值点处导数为零，函数最值出现在极值点或区间端点处，因此求出极值和边界值比较大小即可19. 设函数在区间上是
12、增函数，在区间，上是减函数，又（1）求的解析式；（2）若在区间上恒有成立，求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【详解】（1） 由已知，即解得 （2）令，即或又在区间上恒成立，20. 在曲线上某一点A处作一切线与曲线及坐标轴所围成图形的面积为，试求：（1）点A的坐标；（2）过切点A的切线方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设切点.过作于点，由导数得切线斜率，从而可写出切线方程，求出切线与交点的坐标，用定积分的几何意义求得曲线，直线，轴围成的图象面积，再减去面积等于，从而求得切点坐标；（2）由（1）求得切线斜率，得切线方程【详解】（1）如图所示，设切点.过作于点，由知过A点切线
13、方程为且，即.令，得.设由曲线与过A点的切线及x轴围成的面积为S，则曲线曲线，.解得，所以，即（2）由（1）知又时，则切线方程.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查微积分的几何意义，解题方法是设切点坐标，求出切线方程，作出在轴上的射影，由微积分基本定理求得曲边三角形面积，用切线坐标表示出题中面积后求得切点坐标21. 设函数.（1）求的单调区间和极值；（2）若当时，求的最大值.【答案】（1）在单调减少，在，单调增加，极大值，极小值；（2）7.【解析】【分析】（1）求出导函数，由的正负确定单调区间，从而可得极值；（2）利用（1）的单调性可得出在的的最大值和最小值，从而得出满足的不等关系
14、，由不等式的性质得出的最大值【详解】解：（1）.于是，当时，；当时，.故在单调减少，在，单调增加.当时，取得极大值；当时，取得极小值.（2）根据（）及在的最大值为4，最小值为1.因此，当时，的充要条件是，所以，即，所以的最大值为7.【点睛】思路点睛：本题考查用导数求函数的极值与单调区间，求出导函数，解方程，分类确定的正负，得单调区间，得极值22. 已知函数（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求【答案】（1）见解析（2）【解析】【详解】分析：（1）求导，利用函数单调性证明即可（2）分类讨论和,构造函数,讨论的性质即可得到a的范围详解：（1）当时，.设函数，则.当时，；当时，.故
15、当时，且仅当时，从而，且仅当时，.所以在单调递增.又，故当时，；当时，.（2）（i）若，由（1）知，当时，这与是的极大值点矛盾.（ii）若，设函数.由于当时，故与符号相同.又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点.如果，则当，且时，故不是的极大值点.如果，则存在根，故当，且时，所以不是的极大值点.如果，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点综上，点睛：本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，第二问分类讨论和,当时构造函数时关键，讨论函数的性质，本题难度较大23. 已知是实数，函数，和，分别是的导函数，若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性一致（）设，若
16、函数和在区间上单调性一致，求实数的取值范围；（）设且，若函数和在以为端点的开区间上单调性一致，求的最大值【答案】（）；（）.【解析】【详解】由已知，；（）由题设“单调性一致”定义知，在区间上恒成立，即 在区间上恒成立，因，所以，所以，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，而在上最大值所以，即；（）由“单调性一致”定义知，在以为端点的开区间上恒成立，即在以为端点的开区间上恒成立，因，所以，由，得，；若，则开区间为，取，由知，和在区间上单调性不一致，不符合题设；若，因均为非负，故不在以为端点的开区间内；所以，只有可能在区间上；由在以为端点的区间上恒成立，知要么不小于中的大者，要么不大于中的小者；因为都不大于0，所以，所以，由知，所以；当时，由在区间上恒成立，即在区间上恒成立，知最大值为，而由解得；此时，配方后知，取不到最大值；当时，显然，此时，当，即时，取得最大值；综上，的最大值为.考点：不等式恒成立、函数的最值、分类讨论的思想.