1、一、 学习目标第十一章三角形第二部分：与三角形有关的角1.学会利用已学的相交线与平行线等相关性质证明三角形的内角和定理；基本学会利用三角形内角 和定理解决生活中的实际问题。2.知道什么叫三角形的外角；理解三角形外角的两条性质定理；能用三角形外角的有关定理解答问 题。二、知识精讲知识点 1 ：三角形的内角定义：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的内角. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180. 知识点2 ：直角三角形两锐角之间的关系直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形。【例 1】证明三角形内角和定理：三角形的三个内角和等于 180； 已知：如图 3，三角形 AB
2、C求证：A+B+C=180 证明：A（方法一）（方法一）B C B C【例 2】比一比，看谁最快求出下列各图形中，1、2 或3 的度数；DA60N5834012 677043B1= C E F2= H M3= 【例 3】如图 3，C 岛在 A 岛的北偏东 50 度方向，B 岛在 A 岛的北偏东 80 度方向，C 岛在 B 岛的北偏西 40 度方向，从 C 岛看 A、B 两岛的视角ACB 是多少度？北CE北DB A【题组训练】：1求出下列图中 x 的值:x= x= x= x= 2.求下列图形中的1、2 的度数：（1）（2）（3）1= 2= 1= 2= ABCD1= 2= 3.如图,从 A 处观测
3、 C 处时仰角CAD=30 ,从 B 处观测 C 处时仰角为CBD=45 ,则CBA 是 度， 从 C 处观测 A,B 两处时视角ACB 是 度。4.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形 ABCD，其中A=150 度，B=D=40 度，求C 的 度数。B40 A150 D40 CA5、如图，ADBC，1=2，C=65，求BAC 的度数。BDC6、在三角形 ABC 中B=A+10，C=B+10，求三角形 ABC 的各内角的度数；D C7、如图，ABCD，A=40，D=45，求1 和2；12A B8、如图 ABCD，A=45，C =E，求C；BA M EC9、如图 3，A 岛在 B 岛的北偏东
4、 50 度方向，C 岛在 B 岛的北偏东 80 度方向，C 岛在 A 岛的现偏东30 度方向，从 C 岛看 A、B 两岛的视角ACB 是多少度？A北南C【连接中考】：B1. （2019南宁）如图，在ABC 中，A=60，B=40，那么C 的度数是（） A.100B.80C.60D.402. （2019株洲）如图,在ABC 中,BAC=x,B=2x,C=3x,则BAD=()A.145B.150C.155D.1603. （2019盐城）在“三角尺拼角”实验中,小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置,则1= . 4. （2019绍兴）已知ABC，AB=AC，D 为直线 BC 上一点，E 为直线 A
5、C 上一点，AD=AE，设BAD=，CDE=.(1)如图，若点 D 在线段 BC 上，点 E 在线段 AC 上。如果ABC=60,ADE=70,那么 = ,= ，求 ， 之间的关系式。(2)是否存在不同于以上中的 , 之间的关系式?若存在,求出这个关系式(求出一个即可)；若不 存在，说明理由。知识点3 ：三角形的外角 定义：三角形一边与另一边延长线组成的角，叫做三角形的外角。三角形外角和为 360。性质：三角形一个外角等于与它不相邻两内角和。三角形一个外角大于与它不相邻的任 何一个内角.【例 1】(1)如图 1，已知ABC 为直角三角形，A=90，若沿图中虚线剪去A，则1+2 等于 A.90B
6、.135C.270D.315(2)如图 2，已知ABC 中，A=50，剪去A 后成四边形，则1+2= . (3)如图 2，根据(1)与(2)的求解过程，请你归纳猜想1+2 与A 的关系是 .(4)如图 3，若没有剪掉，而是把它折成如图 3 形状，试探究1+2 与A 的关系并说明理由。【例 1】如图,小亮的爸爸带回家的一种零件示意图,它要求BDC=140才合格,小明通过测量测得A=90,B=19,C=40后就下结论说此零件不合格，于是爸爸让小亮解释这是为什么?小亮很 轻松地说出了原因，你能解释吗?请说出你的理由。【题组训练】：1.计算：121= 2= 3= 4= 5= 6= 2.如图，CEAB2
7、= CDE= ， E= 3.A，B，C 是ABC 的三个内角，A=90，B=55，则C= 4.A，B，C 是ABC 的三个内角，A=90，B=55，则与C 相邻的外角= 5.下列说法正确的是（） A三角形的一个外角大于它的一个内角；B三角形的一个外角等于它的两个内角； C三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和；D以上答案都不对。6.下列各图中，表示1 是ABC 的外角的是（）A 1 A1 A 1AB C B C B C B CA B C D7.如右图，以下说法不正确的是（） A、EFD 是BFC 的一个外角； B、DFC 是BFC 的一个外角； C、EFD+FBC+FCB=180； D、C
8、DF=A+ABD8.如图，D 是ABC 边上的一点，E 是 BD 上一点，则对1、2、A 之间的关系描述正确的是（）。A、A 2B、21AC、1 2AD、无法确定9.填空：（1）一个三角形最多有 个直角，一个三角形最多有 个钝角；（2）一个三角形的三个外角中，最多有 个锐角，最多有 个直角，最多有 个钝角。10.如右图：D 是ABC 中 BC 边上的一点，B=BAD，ADC=80，BAC=70，求：B，C 的度数。11.如右图：在直角三角形 ABC 中，CDAB 于 D，BCD=35，求A、EBC 的度数。12.如图，ABCD，BAE=DCE=45，求E 的度数。13.如图：l1l2，1=80
9、，2=30，求3 的度数；14.如图，ABC 中，分别延长ABC 的边 AB、AC 到 D、E，CBD 与BCE 的平分线相交于点 P，爱 动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：若A50，则P ； 若A90，则P ； 若A100，则P ； 请你用数学表达式归纳A 与P 的关系，并说明理由。15.如图，BO、CO 分别为ABC 和ACB 的平分线，我们易得BOC=90+A在图中，当 BO、CO分别为ABC 和ACB 的外角平分线时，求BOC 与A 的数量关系我 们可以利用“转化”的思想，将未知的BOC 转化为已知的BOC：如图，作 BO、CO 平分ABC 和ACB在图中存在如图的基本图形：点 A
10、、B、D 在同一直线上，且 BO、BO分别平分ABC 和DBC， 试证明：BOBO；试直接利用上述基本图形的结论，猜想并证明图中BOC 与A 的数量关系； 如图，BP、CP 分别为内角ABC 和外角ACF 的平分线，猜想并证明BPC 与A 的数量关 系16.如图（1）所示，一副三角板中，含 45角的一条直角边 AC 在 y 轴上，斜边 AB 交x 轴于点 G含 30角的三角板的顶点与点 A 重合，直角边 AE 和斜边 AD 分别交 x轴于点 F、H若 ABED，求AHO 的度数；如图 2，将三角板 ADE 绕点 A 旋转在旋转过程中，AGH 的平分线 GM 与AHF 的 平分线 HM 相交于点 M，COF 的平分线 ON 与OFE 的平分线 FN 相交于点 N当AHO=60时，求M 的度数；试问N+M 的度数是否发生变化？若改变，求出变化范围；若保持不变，请说
