1、-1-三 逆矩阵与二元一次方程组-2-三 逆矩阵与二元一次方程组 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1.能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义.2.会用系数矩阵的逆矩阵解方程组.3.会通过具体的系数矩阵,从几何上说明线性方程组解的存在性和唯一性.-3-三 逆矩阵与二元一次方程组 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHA
2、NG目标导航 1 2 3 1.二元一次方程组的矩阵形式一般地,关于变量 x,y 的二元一次方程组 +=,+=其中,均为常数 的矩阵形式为 a b c d x y=e f,其中矩阵=a b c d 是把二元一次方程组中未知数,的系数按原来的顺序写出来得到的,称为二元一次方程组的系数矩阵.-4-三 逆矩阵与二元一次方程组 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3【做一做 1】二元一次方程组 3+2=5,5-3=9的矩阵形式为 .答案:3 2 5-3
3、 x y=5 9-5-三 逆矩阵与二元一次方程组 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3 2.定理如果关于变量 x,y 的二元一次方程组(线性方程组)+=,+=的系数矩阵A=a b c d 可逆,那么该方程组有唯一解,x y=a b c d-1 e f.名师点拨由定理解二元一次方程组比较简便,只需进行矩阵的运算.但要注意系数矩阵必须可逆才行.-6-三 逆矩阵与二元一次方程组 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难
4、聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3【做一做 2】二元一次方程组 -3=3,2-=1的解是 .解析:二元一次方程组改写为 1-3 2-1 x y=3 1,设A=1-3 2-1 .则detA=1-32-1=5,A-1=-15 35-25 15.-7-三 逆矩阵与二元一次方程组 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3 x y=A-1 3 1=-15 35-25
5、 15 3 1=0 -1 .方程组 -3=3,2-=1的解为 =0,=-1.答案:=0=-1-8-三 逆矩阵与二元一次方程组 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3 3.推论关于变量 x,y 的二元一次方程组 +=0,+=0(其中,是不全为零的常数),有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式 =0.名师点拨常数项都为零的线性方程组为齐次线性方程组,显然 0 0 是其一个解,称为零解;0 0 (0,0 不全为零)称为该方程组的一个非零解.-9-
6、三 逆矩阵与二元一次方程组 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1 2 3【做一做 3】下列不是齐次方程组 +2=0,3+6=0的解的是()A.(2,-1)B.-1,12 C.(0,0)D.(1,2)解析:由于系数行列式 1 23 6=0,所以方程有非零解,而且有无数组,可以逐一代入验证.答案:D-10-三 逆矩阵与二元一次方程组 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIAN
7、LI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1.对于一个二元一次方程组,从线性变换的角度应怎样解释?剖析:已知线性变换:x y =a b c d x y 和平面上的一个确定的向量 e f,找出平面上的向量 x y,使得该向量在线性变换 的作用下变成已知向量 e f,而在实际操作中,如果线性变换 的意义不明显或不为我们熟知,那么很难找出向量 x y,使得 x y=e f.-11-三 逆矩阵与二元一次方程组 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目
8、标导航 2.怎样用矩阵解二元一次方程组?剖析:如果关于变量 x,y 的二元一次方程组 +=,+=的系数矩阵A=a b c d 可逆,那么我们要用矩阵写出方程组的解,可先求系数矩阵 A 的行列式,再求其逆矩阵 A-1,最后写出此方程组的解向量,从而得解.-12-三 逆矩阵与二元一次方程组 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型一利用线性变换求方程组的解【例 1】已知方程组 +3=6,=1,试从线性变换的角度研究方程组的解的情况
9、.分析:应从系数矩阵对应的变换入手,寻求变换的逆变换是什么.-13-三 逆矩阵与二元一次方程组 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 解:方程组的系数矩阵为 A=1 3 0 1,它对应的变换是沿x轴方向平移 3y 个单位的切变变换,存在逆变换沿 x 轴平移-3y 个单位且逆变换唯一,即 A-1=1-3 0 1 .存在唯一的 x y=A-1 6 1=3 1,即方程组有唯一解 =3,=1.-14-三 逆矩阵与二元一次方程组 ZHIS
10、HI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 反思二元一次方程组的解实际上是已知某向量在系数矩阵对应的线性变换下的像,求此向量的问题.-15-三 逆矩阵与二元一次方程组 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型二利用逆矩阵求二元一次方程组的解【例 2】利用逆矩阵解下列二元一次方
11、程组:(1)3-3=1,-+4=3;(2)+2+1=0,3+4-1=0.-16-三 逆矩阵与二元一次方程组 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 解:(1)该二元一次方程组的系数矩阵A=3-3 -1 4 ,且|A|=34-3=9,A-1=49 1319 13.x y=A-1 1 3=139109.方程组的解为 =139,=109.-17-三 逆矩阵与二元一次方程组 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO
12、重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三(2)该方程组的系数矩阵为 B=1 2 3 4,且|B|=4-6=-2,B-1=-2 132 -12.x y=B-1 -1 1 =3 -2 .方程组的解为 =3,=-2.反思此题说明利用矩阵知识可以解决二元一次方程组的问题.-18-三 逆矩阵与二元一次方程组 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题
13、型三 题型三齐次线性方程组的解法【例 3】试写出齐次线性方程组 2-=0,4+=0 的矩阵形式,并判断有无非零解.分析:由推论知,主要是判断系数矩阵的行列式是否为零.-19-三 逆矩阵与二元一次方程组 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 解:该方程组的系数矩阵为 A=2-1 4 a ,该齐次线性方程组的矩阵形式为 2-1 4 a x y=0 0.又|A|=2a+4,即当 a=-2 时,|A|=0,原齐次线性方程组有非零解;当
14、a-2 时,|A|0,不存在非零解,只有唯一的零解.反思齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的行列式为零,即ad=bc.-20-三 逆矩阵与二元一次方程组 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三【例 4】当 m 为何值时,二元一次方程组 3-2 1-4 x y=x y 有非零解?分析:先将方程组改写为齐次方程组的形式,再判断.-21-三 逆矩阵与二元一次方程组 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO
15、重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 解:二元一次方程组 3-2 1-4 x y=x y,即为 3x-2y x-4y =mx my,3-2=,-4=,即 (3-)-2=0,-(4+)=0,即 3-m -2 1-(4+m)x y=0 0.-22-三 逆矩阵与二元一次方程组 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 当 3-2 1-(
16、4+)=0,即-(3-m)(4+m)+2=0 时,方程组有非零解.当 m=-1 412时,方程组有非零解.反思对于方程组的左、右两边都含有未知量x,y时,可以先化简,化为二元一次方程组的矩阵形式,再解答.-23-三 逆矩阵与二元一次方程组 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 123451.二元一次方程组 5+2=3,-2+3=-1 改写为矩阵形式为()A.5x+2y -2x+3y =3 -1 B.5 2 -2 3 x y=3 -1 C.5x+2y-3
17、 -2x+3y+1 =0 0 D.5 2 -2 3 x y x y =3 -1 答案:B-24-三 逆矩阵与二元一次方程组 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 123452.已知二元一次方程组 2-3=2,-2=1,用逆矩阵求得方程组的解是()A.=1=0 B.=0=1 C.=2=1 D.=-3=-2-25-三 逆矩阵与二元一次方程组 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DI
18、ANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 解析:该二元一次方程组的系数矩阵 A=2-3 1-2,|A|=-4+3=-1?0,方程组有唯一解.A-1=2-3 1-2,方程组的解为x y=A-12 1=2-3 1-22 1=1 0,?=1,?=0.答案:A12345-26-三 逆矩阵与二元一次方程组 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 123453.下列方程组有唯一解的是 .答案:2+3=34+6=1 +2=02+4=0 2-=3
19、+3=1 +2=03+=0-27-三 逆矩阵与二元一次方程组 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 123454.齐次线性方程组 2+3=0,4+6=0的矩阵形式及该方程组的一组非零解分别是 ,.-28-三 逆矩阵与二元一次方程组 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 12345解析:齐次线性方程组 2+3=0
20、,4+6=0 改写为矩阵形式为 2 3 4 6 x y=0 0.由 2 34 6=2 6 3 4=0,知此齐次线性方程组有非零解.如 =3,=-2 就是它的一组非零解.答案:2 3 4 6 x y=0 0 =3=-2(不唯一)-29-三 逆矩阵与二元一次方程组 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 12345解:由于A对应的线性变换是将平面上的向量(点)保持横坐标不变,而将纵坐标依横坐标比例增加,即(x,y)(x,2x+y),因此它存在唯一的逆变换,将
21、平面内的向量(点)保持横坐标不变,纵坐标依横坐标减少,5.已知方程组 Ax=b,A=1 0 2 1,x=x y,b=4 9,试从线性变换的角度研究该方程的解的情况.且(x,y)(x,-2x+y)的切变变换,即 A-1=1 0 -2 1 .于是原方程的解-30-三 逆矩阵与二元一次方程组 ZHISHI SHULI知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 SUITANGYANLIAN随堂演练 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 x y 为向量b=4 9 在矩阵A-1=1 0 -2 1 对应的变换作用下的向量,即 x=A-1 4 9.由于A-1 是唯一存在的,因此 x y 也是唯一存在的,且 A-1 4 9=1 0 -2 1 4 9=4 1,故原方程组有唯一解 x=4 1,即 =4,=1.12345
