1、第四讲角平分线的性质与判定一、知识精讲角平分线的定义:从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的 角,这条射线叫这个角的角平分线.1.角平分线的性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等.2.角平分线的判定:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.二、典例解析【例 1】 在 RtABC中,锐角CAB的平分线与锐角ABC的邻补角的平分线交于点 D,则ADB=ADB = DBE - DAB = CBE -CAB =CADB = 180-DAB - DBA = 180 - (CAB + CBA)= 180 - (180 - C )= 90 +C【练 1】(2019-2019 武珞路期中)
2、如图,已知四边形 ABCD 中,对角线 BD 平分ABC , BAC = 64 , BCD + DCA = 180 ,那么 BDC 为 度.【例 2】 如图,在四边形 ABCD中,BCAB, DE BC 于点 E,1=2,AD=DC 求证:3+4=180AB+BC=2BE.【练 2】(江夏区 2019-2019 期中)如图, BAC 的平分线与 BC 的垂直平分线 相交于点 D , DE AB, DF AC ,垂足分别为 E 、 F , AB = 10cm, AC = 6cm ,则BE 的长为 .角平分线与平行线结合构造等腰三角形其基本型如下: 1 = 2 ,CD / OA 2 = 3 OD
3、= CD【例 3】(武汉二中 2019-2019 期末) DABC 中, ACB 的平分线与 ABC 的平分线交于点 P ,过 P 作直线 DE / BC ,交直线 AC 于 E ,交直线 AB 于 D .（1）如图 1,CE 、 BD 、 DE 三条线段长有怎样的关系,证明你的结论（2）若将 ACB 的平分线改为 ACB 的外角平分线,其它条件不变,如图 2, 画出图形,写出CE 、 BD 、 DE 三条线段长之间的关系,并证明你的结论（3）若CP 、 BP 均为 ACB 、ABC 的外角平分线,其它条件不变,如图 3, 画出图形,并直接写出CE 、BD 、DE 三条线段长之间的关系为 【练
4、 3】 (青山区 2019-2019 期末)如图,在四边形 ABCD 中AD / BCAB = 3, BC = 5 ,连接 BD , BAD 的平分线交 BD 、 BC 于点 E 、 F ,且 AE / CD .求 AD 的长;若 C = 30 ,求CD 的长.ADEBC F角平分线垂线结合构造等腰三角形其基本型如下: 1 = 2 ,CD OA ,OC = OD, DE = CE【例 4】如图,已知等腰 RtDABC 中, AB = AC, BAC = 90 , BF 平分ABC ,CD BD 交 BF 延长线于 D .求证: BF = 2CD .【练 4】如图,已知等腰 RtDABC 中,
5、AB = AC, BAC = 90 , BF 平分ABC ,CD BD 交 BF 的延长线于 D .求证: BC = AB + CD .AFDBC小结:自角的一边上的一点作角平分线的垂线,使之与另一边相交,则截的一个等腰三角形,常用来证明两线段的和差倍分倍分关系！三、课后练习1.射线 AE 为 DABC 的外角平分线,点 P 为射线 AE 上不与 A 点重合的一个动点.（1）如图 1,若 BP 平分 ABC ,且 ACB = 30 ,则 APB .(直接写结果)（2）如图 1,求证不论 P 在何处,总有 AB + AC PB + PC .（3）如图 2,若点 P 在 AE 上,作 PM BA
6、交 BA 的延长线于 M 点,且BPC = BAC , 求图 1 图 22.在锐角 DABC 中, AC = 6, ACB = 30 , ACB 的平分线交 AB 于 D , P 、E 分别是CD 与 AC 上动点,则 PA + PE 的最小值是 .3.在 DABC 和 DDEC 中, A = EDC = 45 , ACB = DCE = 30 , AB = 5, 点 DC 在 AC 上,点 B 和点 E 在 AC 两侧.（1）求CE 的长;（2）如图 2,点 F 和点 E 在 AC 同侧, FAD = FDA = 15求证: AB = DF + DE ;连接 BE , 直接写出 D B E F的面积.图 1图 2
