1、第三节圆的方程最新考纲1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想(对应学生用书第148页)1圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心(a，b)，半径r一般方程x2y2DxEyF0，(D2E24F0)圆心，半径2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2.1圆
2、的三个性质(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线2以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.(公式推导：设圆上任意一点为P(x，y)，则有kPAkPB1，由斜率公式代入整理即可)一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆()(3)方程x2y24mx2y0不一定表示圆()(4)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则xyDx0Ey0F0.()
3、答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A(x1)2(y1)21B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22D因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r，则该圆的方程为(x1)2(y1)22，选D.2若坐标原点在圆(xm)2(ym)24的内部，则实数m的取值范围是()A(1,1)B(，)C(，)D.C点(0,0)在(xm)2(ym)24的内部，(0m)2(0m)24，解得m.故选C.3以点(3，1)为圆心，并且与直线3x4y0相切的圆的方程是()A(x3)2(y1)21B(x3)2(y1)21C(x3)2(y1)21D(
4、x3)2(y1)21A圆的半径r1因此所求圆的方程为(x3)2(y1)21，故选A.4圆C的圆心在x轴上，并且过点A(1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为_(x2)2y210线段AB的中点坐标是E(0,2)，直线AB的斜率kAB1，所以线段AB的垂直平分线的方程是y2x，即yx2.由得即圆心C的坐标是(2,0)，半径r，所以所求圆的方程为(x2)2y210.(对应学生用书第148页)考点1求圆的方程求圆的方程的两种方法(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程(2)待定系数法若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；选择圆的一般方程，依据已知条件列出关
5、于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值(1)已知圆心在直线y4x上，且圆与直线l：xy10相切于点P(3，2)，则该圆的方程是_(2)(2019全国卷改编)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|4，M过点A，B且与直线x20相切，若A在直线xy0上，求M的半径(1)(x1)2(y4)28过切点且与xy10垂直的直线为y2x3，与y4x联立可求得圆心为(1，4)所以半径r2，故所求圆的方程为(x1)2(y4)28.(2)解因为M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上由已知A在直线xy0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线yx上，故可设M(a，a)因为M与直线x20相切，所以M
6、的半径为r|a2|.由已知得|AO|2，又MOAO，故可得2a24(a2)2，解得a0或a4.故M的半径r2或r6.涉及弦长问题，一般是利用半弦长、弦心距、半径构成直角三角形求解教师备选例题已知圆C的圆心在y轴上，且过点A(4,4)，B(4,0)，则圆C的标准方程是_x2(y2)220设圆C的圆心C(0，n)，由|CA|CB|得(04)2(n4)2(04)2n2，解得n2.即圆心C(0,2)，圆C的半径r.所以圆C的标准方程为x2(y2)220.1.过点A(1，1)，B(1,1)，且圆心在xy20上的圆的方程是()A(x3)2(y1)24B(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24D(x1
7、)2(y1)24CAB的中垂线方程为yx，所以由yx，xy20的交点得圆心(1,1)，半径为2，因此圆的方程是(x1)2(y1)24，故选C.2(2018天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为_x2y22x0法一：设圆的方程为x2y2DxEyF0.圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)， 解得圆的方程为x2y22x0.法二：画出示意图如图所示，则OAB为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x1)2y21，即x2y22x0.考点2与圆有关的最值问题斜率型最值问题形如型的最值问题，可转化为过定点(a，b)的动直
8、线斜率的最值问题求解如表示过坐标原点的直线的斜率已知实数x，y满足方程x2y24x10，求的最大值和最小值解原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆.的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k.(如图所示)所以的最大值为，最小值为.求解时也可数形结合，直接在直角三角形中求出直线的斜率截距型最值问题形如axby型的最值问题，常转化为动直线截距的最值问题求解，即令taxby，则yx，从而将axby的最值问题，转化为求直线yx的截距的最值问题已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上，求xy的最大值
9、和最小值解设txy，则yxt，t可视为直线yxt在y轴上的截距，xy的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即1，解得t1或t1.xy的最大值为1，最小值为1.解答本例的关键是把问题转化为直线和圆相切距离型最值形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方求最值如x2y2(x0)2(y0)2，从而转化为动点(x，y)与坐标原点的距离的平方(1)已知M(x，y)为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2,3)，则|MQ|的最大值为_，最小值为_(
10、2)已知实数x，y满足方程x2y24x10，求x2y2的最大值和最小值(1)62由圆C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，圆心C的坐标为(2,7)，半径r2.又|QC|4，|MQ|max426，|MQ|min422.(2)解如图所示，x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.解答此类题目的关键是求出圆心到定点的距离已知圆C：(x2)2y21，P(x，y)为圆C上任一点(1)求的最大、最小值；(2)求x2y的最大、最小值
11、解(1)表示点P(x，y)与点(1,2)连线的斜率设k，则y2kxk，即kxy2k0.当直线kxy2k0与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值，此时1，即|23k|，平方得8k212k30，解得k，即的最大值为，最小值为.(2)设bx2y，即y.b可视为直线y在y轴上的截距的2倍的相反数，则当直线与圆相切时，b有最大值和最小值此时1，即|b2|，解得b2或b2.所以x2y的最大值为2，最小值为2.考点3与圆有关的轨迹问题求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解(2)定义法：根据圆的定义列方程求解(3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解(4)代入法(相关点法
12、)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24，故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|.设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.
13、故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.解答本例第(2)问时，半弦长、弦心距与半径构成的直角三角形仍然是解题的关键教师备选例题已知RtABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0)求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程解(1)设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y0.因为ACBC，且BC，AC斜率均存在，所以kACkBC1，又kAC，kBC，所以1，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(y0)(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x，y，所以x02x3，y02y.
14、由(1)知，点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)，将x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(y0)1.点P(4，2)与圆x2y24上任意一点连线的中点的轨迹方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24D(x2)2(y1)21A设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则即代入x2y24，得(2x4)2(2y2)24，化简得(x2)2(y1)21.2已知圆C：(x1)2(y1)29，过点A(2,3)作圆C的任意弦，则这些弦的中点P的轨迹方程为_(y2)2设P(x，y)，圆心C(1,1)因为P点是过点A的弦的中点，所以.又因为(2x,3y)，(1x,1y)所以(2x)(1x)(3y)(1y)0.所以点P的轨迹方程为(y2)2.
