1、2015-2016学年江西省九江市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共17小题,每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1命题p：x（，0），2x3x，则（）Ap是假命题，p：x0（，0），23Bp是假命题p：x（，0），2x3xCp是真命题p：x0（，0），23Dp是真命题p：x（，0），2x3x2（重点中学做）“x1”是“ln（x+2）0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知a，b为实数，则“ab”是“lnalnb”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4抛物线y2=8x的焦
2、点到双曲线x2=1的渐近线的距离是（）A B C1D5已知等差数列an的前n项和为Sn，若S21=63，则a11=（）A1B3C6D96如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是AA1，A1D1，A1B1的中点，则异面直线EF与CG所成的角等于（）A30B45C60D907在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=8，b=4，A=60，则cosB=（）A B CD8（重点中学做）不等式x1的解集是（）A（，1（1，3B1，1）3，+）C（，13，+）D1，1）（1，39（普通中学做）不等式1的解集是（）A（，15，+）B（，1）5，+）C（1，5D5，+）10（重点中
3、学做）设实数x，y满足，则 z=x2+y2的取值范围是（）A2，2B10，20C4，20D，2011（普通中学做）设实数x，y满足，则z=x+y的取值范围是（）A4，6B0，4C2，4D2，612在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知A=120，a=7，c=5，则=A B C D13如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A B C D14已知lga+lgb=lg2， +的最大值是（）A2B2C D15（普通中学做）若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值为（）A2B3C18D16（重点中学
4、做）已知双曲线C：=1（a0，b0）的左右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），若双曲线C在第一象限内存在一点P使=成立，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A1， +1）B（1， +1）C（+1，+）D（1， +1）18（普通中学做）如图，已知F1、F2为双曲线的两焦点，等边三角形AF1F2两边的中点M、N在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A +1B +1C +1D1二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）19命题“若x22x30，则x1或x3”的逆否命题是20已知椭圆4x2+kx2=4的一个焦点是（0，），则k=21在三棱锥PABC中，ABC是边长为2的正三角形PA=PB=PC=
5、，则点P到平面ABC的距离为22（重点中学做）已知数列an满足+=2（nN*），数列bn满足bn=anan+1，则数列bn的前n项和Sn=23（普通中学做）已知数列an满足a1+3a2+5a3+（2n1）an=（n1）3n+1+3（nN*），则数列an的前n项和Sn=三、解答题（共7小题，满分60分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）24命题P：关于x的不等式x2+ax+10对一切xR恒成立，命题q：方程+=1表示双曲线，若pq为真命题，pq为假命题，求实数a的取值范围25在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知cos2A+3cos（B+C）=1（1）求角A的大小；（2）若a=
6、2，b+c=4，求ABC的面积26如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，ABCD，ABBC，AB=2CD=2BC，EAEB（1）求证：EA平面EBC（2）求二面角CBED的余弦值27已知数列an为等差数列，a3=3，a7=7，数列bn的首项b1=4，前n项和Sn满足对任意m，nN+，SmSn=2Sm+n恒成立（1）求an、bn的通项公式；（2）若cn=anbn，数列cn的前n项和为Tn，求Tn28（普通中学做）已知数列an为等差数列，a3=3，a7=7，数列bn的前n项和为Sn，且Sn=2bn2（1）求an、bn的通项公式（2）若cn=，数列cn的前n项和为Tn，求T
7、n29（重点中学做）已知椭圆C： +=1（ab0）经过点（3，1），离心率e=（1）求椭圆C的方程；（2）分别过椭圆C的四个顶点作坐标轴的垂线，围成如图所示的矩形，A，B是所围成的矩形在x轴上方的两个顶点若P，Q是椭圆C上两个动点，直线OP、OQ与椭圆的另一交点分别为P1、Q1，且直线OP、OQ的斜率之积等于直线OA、0B的斜率之积，试问四边形PQP1Q1的面积是否为定值？若为定值，求出其值；若不为定值，说明理由（0为坐标原点）30（普通中学做）已知椭圆C： +（ab0）的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为2（1）求椭圆C的方程；（2）椭
8、圆C上是否存在一点P，使得当l绕F转到某一位置时，有=+成立？若存在，求点P的坐标与直线l的方程；若不存在，说明理由选做题（共1小题，满分10分）31某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为4m2，问x，y分别为多少时用料最省？并求最省用料选做题（共1小题，满分0分）32某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边所成角为60（如图所示），考虑到防洪堤的坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9m2，且髙度不低于m问防洪堤横断面的腰长AB为多少时，横断面的外周长AB+BC+CD最小，并求最小外周长
9、：选做题（共1小题，满分0分）33如图所示，某公司设计生产一种长方形薄板ABCD（ABAD），其周长为8m，这种薄板须沿对角线AC折叠后使用设AB交DC于点P问AB长为多少时，ADP的面积最大？并求最大面积2015-2016学年江西省九江市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共17小题,每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1命题p：x（，0），2x3x，则（）Ap是假命题，p：x0（，0），23Bp是假命题p：x（，0），2x3xCp是真命题p：x0（，0），23Dp是真命题p：x（，0），2x3x【考点】命题的否定；全称命题【分
10、析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即命题的否定是：p：x0（，0），23，作出函数f（x）=2x和g（x）=3x，的图象如图，则当x0时，2x3x，恒成立，即p：x（，0），2x3x，为真命题故选：C2（重点中学做）“x1”是“ln（x+2）0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由ln（x+2）0，可得0x+21，解出即可判断出结论【解答】解：由ln（x+2）0，可得0x+21，解得2x1，“x1”是“ln（x+2）0”的必要不充分条件故选：B3已
11、知a，b为实数，则“ab”是“lnalnb”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据a，b的范围结合对数函数的性质确定充分条件，还是必要条件即可【解答】解：当a0或b0时，不能得到InaInb，反之由InaInb即：ab0可得ab成立，所以“ab”是“InaInb”的必要不充分条件，故选：B4抛物线y2=8x的焦点到双曲线x2=1的渐近线的距离是（）A B C1D【考点】双曲线的简单性质【分析】先确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标，再由题中条件求出双曲线的渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求
12、出结论【解答】解：抛物线y2=8x的焦点在x轴上，且p=4，抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），由题得：双曲线x2=1的渐近线方程为xy=0，F到其渐近线的距离d=故选：B5已知等差数列an的前n项和为Sn，若S21=63，则a11=（）A1B3C6D9【考点】等差数列的前n项和【分析】S21=63，可得a1+a21=6，即可得出a11【解答】解：S21=63，a1+a21=6，a11=3故选：B6如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是AA1，A1D1，A1B1的中点，则异面直线EF与CG所成的角等于（）A30B45C60D90【考点】异面直线及其所成的角【分析】以D为
13、原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF与CG所成的角的大小【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2，E、F、G分别是AA1，A1D1，A1B1的中点，E（2，0，1），F（1，0，2），C（0，2，0），G（2，1，2），=（1，0，1），=（2，1，2），设异面直线EF与CG所成的角为，则cos=|cos|=0=90，异面直线EF与CG所成的角等于90故选：D7在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=8，b=4，A=60，则cosB=（）A B
14、 CD【考点】正弦定理【分析】由已知及正弦定理可得：sinB=，由ba，可得范围B60，利用同角三角函数基本关系式即可得解cosB的值【解答】解：a=8，b=4，A=60，由正弦定理可得：sinB=，ba，B60，cosB=故选：A8（重点中学做）不等式x1的解集是（）A（，1（1，3B1，1）3，+）C（，13，+）D1，1）（1，3【考点】一元二次不等式的解法【分析】根据x10和x10两种情况分类讨论，能求出不等式x1的解集【解答】解：x1，当x10时，（x1）24，解得x3；当x10时，（x1）24，解得1x1，不等式x1的解集是1，1）3，+）故选：B9（普通中学做）不等式1的解集是（
15、）A（，15，+）B（，1）5，+）C（1，5D5，+）【考点】一元二次不等式的解法【分析】通过移项，利用通分，转化不等式求解即可【解答】解：不等式1，即为10，即为0，即为（x5）（x1）0，且x10，解得x5或x1，故不等式的解集为（，1）5，+），故选：B10（重点中学做）设实数x，y满足，则 z=x2+y2的取值范围是（）A2，2B10，20C4，20D，20【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出平面区域，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，由z=x2+y2的几何意义得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，可行域内的点到原点距离的最小值为d=，联立，得A（
16、4，2），|OA|=，z=x2+y2的取值范围是：故选：D11（普通中学做）设实数x，y满足，则z=x+y的取值范围是（）A4，6B0，4C2，4D2，6【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出平面区域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（0，2），联立，解得B（4，2），化z=x+y为y=x+z，由图可知，当直线y=x+z过A时，z有最小值，等于2；当直线y=x+z过B时，z有最大值，等于6故选：D12在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c已知A=120，a=7，c=5，则=A
17、 B C D【考点】正弦定理【分析】由已知及余弦定理可得b2+5b24=0，解得b的值，由正弦定理及比例的性质即可得解的值【解答】解：A=120，a=7，c=5，由余弦定理可得：72=b2+522b5cos120，整理可得：b2+5b24=0，解得：b=3或8（舍去）由正弦定理及比例的性质可得： =故选：D13如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A B C D【考点】直线与平面所成的角【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角【解答】解：以D点为坐标原点
18、，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）=（2，0，1），=（2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量cos，=BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故答案为D14已知lga+lgb=lg2， +的最大值是（）A2B2C D【考点】基本不等式【分析】由题意可得正数ab满足b=，代入原变形可得+=，由基本不等式可得【解答】解：lga+lgb=lg2，lgab=lg2，正数ab满足ab=2，b=，+=+=+=当且仅当a=即a=时取等号故选：D15（普通中学做）若正实数x，y满足
19、2x+y+6=xy，则xy的最小值为（）A2B3C18D【考点】基本不等式【分析】由正实数x，y满足2x+y+6=xy6+2，令=t0，化为t22t60，解出即可得出【解答】解：由正实数x，y满足2x+y+6=xy6+2，令=t0，化为t22t60，解得t3，xy的最小值为18当且仅当2x=y=6时取等号故选：C16（重点中学做）已知双曲线C：=1（a0，b0）的左右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），若双曲线C在第一象限内存在一点P使=成立，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A1， +1）B（1， +1）C（+1，+）D（1， +1）【考点】双曲线的简单性质【分析】在PF1F2中，运用
20、正弦定理，结合条件由离心率公式可得|PF1|=e|PF2|，再由双曲线的定义，可得2a=|PF1|PF2|=（e1）|PF2|，由存在P，可得|PF2|ca，解不等式即可得到所求范围【解答】解：在PF1F2中，可得=，由=，可得e=，即有|PF1|=e|PF2|，由双曲线的定义可得2a=|PF1|PF2|=（e1）|PF2|，由存在P，可得|PF2|ca，即有2a（e1）（ca），由e=，可得（e1）22，解得1e1+故选：B18（普通中学做）如图，已知F1、F2为双曲线的两焦点，等边三角形AF1F2两边的中点M、N在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A +1B +1C +1D1【考点】双曲线
21、的简单性质【分析】设|F1F2|=2c，由题意可得|MF1|=c，再由等边三角形的高可得|MF2|=c，运用双曲线的定义和离心率公式，计算即可得到所求值【解答】解：设|F1F2|=2c，由题意可得|MF1|=c，由MF2为等边三角形AF1F2的高，可得：|MF2|=c，由双曲线的定义可得|MF2|MF1|=cc，由e=1+，故选：A二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）19命题“若x22x30，则x1或x3”的逆否命题是若1x3，则x22x30【考点】四种命题间的逆否关系【分析】根据逆否命题的定义进行求解即可【解答】解：命题的逆否命题为：“若1x3，则x22x30”，故答案为：若1x3
22、，则x22x3020已知椭圆4x2+kx2=4的一个焦点是（0，），则k=1【考点】椭圆的简单性质【分析】根据题意，先将椭圆方程化为标准形式可得x2+=1，进而由其焦点的坐标可得，解可得k的值，即可得答案【解答】解：根据题意，椭圆4x2+kx2=4化为标准形式可得x2+=1，又由其一个焦点是（0，），则椭圆的焦点在y轴上，且c=，则有，解可得k=1，故答案为：121在三棱锥PABC中，ABC是边长为2的正三角形PA=PB=PC=，则点P到平面ABC的距离为【考点】点、线、面间的距离计算【分析】过点B作BDAC，交AC于D，过P作POBD，交BD于O，求出BO=，由此利用勾股定理能求出点P到平面
23、ABC的距离【解答】解：过点B作BDAC，交AC于D，过P作POBD，交BD于O，ABC是边长为2的正三角形，PA=PB=PC=，BD=，BO=，点P到平面ABC的距离PO=故答案为：22（重点中学做）已知数列an满足+=2（nN*），数列bn满足bn=anan+1，则数列bn的前n项和Sn=【考点】数列的求和【分析】利用递推关系可得：an=再利用“裂项求和”即可得出【解答】解：数列an满足+=2（nN*），当n=1时， =1，解得a1=1当n2时， +=（nN*），可得： =n3，解得an=当n=1时，上式也成立an=数列bn满足bn=anan+1=则数列bn的前n项和Sn=+=1=故答案为
24、：23（普通中学做）已知数列an满足a1+3a2+5a3+（2n1）an=（n1）3n+1+3（nN*），则数列an的前n项和Sn=【考点】数列的求和【分析】由数列an满足a1+3a2+5a3+（2n1）an=（n1）3n+1+3，利用迭代法求出由此能求出数列an的前n项和Sn【解答】解：数列an满足a1+3a2+5a3+（2n1）an=（n1）3n+1+3，（nN*），a1=3，a1+3a2+5a3+（2n3）an1=（n2）3n+3，（n2），两式相减得（2n1）an=（2n1）3n，a1=3满足上式，Sn=3+32+33+3n=故答案为：三、解答题（共7小题，满分60分解答应写出文字说明
25、，证明过程或演算步骤）24命题P：关于x的不等式x2+ax+10对一切xR恒成立，命题q：方程+=1表示双曲线，若pq为真命题，pq为假命题，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】命题P：关于x的不等式x2+ax+10对一切xR恒成立，可得0，解得a范围命题q：方程+=1表示双曲线，可得（a4）（a+2）0，解得a范围若pq为真命题，pq为假命题，可得p与q必然一真一假，即可得出【解答】解：命题P：关于x的不等式x2+ax+10对一切xR恒成立，=a240，解得2a2命题q：方程+=1表示双曲线，（a4）（a+2）0，解得2a4若pq为真命题，pq为假命题，p与q必然一真一假，或，解
26、得a或2a4实数a的取值范围是2，4）25在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知cos2A+3cos（B+C）=1（1）求角A的大小；（2）若a=2，b+c=4，求ABC的面积【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）由题意和二倍角公式可得cosA的方程，解方程结合角的范围可得A值；（2）由余弦定理可得a2=（b+c）2bc，代入数据可得bc的值，整体代入面积公式可得【解答】解：（1）在ABC中cos2A+3cos（B+C）=1，2cos2A13cosA=1，即2cos2A3cosA2=0，解得cosA=，或cosA=2（舍去），由A（0，）可得A=；（2）由余弦定理可得a2=b2
27、+c22bccosA=b2+c2+bc=（b+c）2bc，代入数据可得12=16bc，解得bc=4，ABC的面积S=bcsinA=26如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，ABCD，ABBC，AB=2CD=2BC，EAEB（1）求证：EA平面EBC（2）求二面角CBED的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明EA平面EBC；（2）求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可【解答】（1）平面ABE平面ABCD，且ABBC，BC平面ABE，EA平面ABE，EABC，EAEB，EBBC=B，EA平面EBC（2）取A
28、B中O，连接EO，DOEB=EA，EOAB平面ABE平面ABCD，EO平面ABCDAB=2CD，ABCD，ABBC，DOAB，建立如图的空间直角坐标系Oxyz如图：设CD=1，则A（0，1，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（1，0，0），E（0，0，1），由（1）得平面EBC的法向量为=（0，1，1），设平面BED的法向量为=（x，y，z），则，即，设x=1，则y=1，z=1，则=（1，1，1），则|cos，|=，故二面角CBED的余弦值是27已知数列an为等差数列，a3=3，a7=7，数列bn的首项b1=4，前n项和Sn满足对任意m，nN+，SmSn=2Sm+n恒成立（1）求an
29、、bn的通项公式；（2）若cn=anbn，数列cn的前n项和为Tn，求Tn【考点】数列的求和【分析】（1）设等差数列an的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求an的通项公式；再由S1Sn=2S1+n，即2Sn=S1+n，即有2Sn1=Sn，相减再由等比数列的通项公式即可得到所求；（2）运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，由a3=3，a7=7，可得a1+2d=3，a1+6d=7，解得a1=d=1，即有an=1+n1=n；令m=1，可得S1Sn=2S1+n，即2Sn=S1+n，即有
30、2Sn1=Sn，两式相减可得2bn=bn+1，即有bn=b22n2，由2b1=2S1=S2=b1+b2，解得b2=4，则bn=2n，n1则bn=；（2）cn=anbn=，即有前n项和为Tn=4+24+38+416+n2n，2Tn=8+28+316+432+n2n+1，两式相减可得，Tn=4+8+16+2nn2n+1，=n2n+1，化简可得Tn=4+（n1）2n+128（普通中学做）已知数列an为等差数列，a3=3，a7=7，数列bn的前n项和为Sn，且Sn=2bn2（1）求an、bn的通项公式（2）若cn=，数列cn的前n项和为Tn，求Tn【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（1）利
31、用等差数列通项公式列出方程组，求出首项、公差，由此能求出an的通项公式，由数列bn的前n项和Sn=2bn2，得bn是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出bn的通项公式（2）由cn=，利用错位相减法能求出数列cn的前n项和【解答】解：（1）数列an为等差数列，a3=3，a7=7，设公差为d，解得，an=1+（n1）1=n，nN*数列bn的前n项和为Sn，且Sn=2bn2，b1=S1=2b12，解得b1=2，当n2时，由Sn=2bn2及Sn1=2bn12，两式相减，得bn=2bn2bn1，bn=2bn1，bn是首项为2，公比为2的等比数列，bn=22n1=2n（nN*）（2）cn=，数列cn的
32、前n项和：Tn=，=，得： =1，Tn=229（重点中学做）已知椭圆C： +=1（ab0）经过点（3，1），离心率e=（1）求椭圆C的方程；（2）分别过椭圆C的四个顶点作坐标轴的垂线，围成如图所示的矩形，A，B是所围成的矩形在x轴上方的两个顶点若P，Q是椭圆C上两个动点，直线OP、OQ与椭圆的另一交点分别为P1、Q1，且直线OP、OQ的斜率之积等于直线OA、0B的斜率之积，试问四边形PQP1Q1的面积是否为定值？若为定值，求出其值；若不为定值，说明理由（0为坐标原点）【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）由题意可得，四条垂线
33、的方程为x=2，y=2，A（2，2），B（2，2），可得kOAkOB=，设P（x1，y1），Q（x2，y2），运用椭圆方程，求得x12+x22=12，讨论若x1=x2，若x1x2，运用点到直线的距离公式和三角形的面积公式，以及椭圆的对称性，计算即可得到所求面积为定值【解答】解：（1）由e=，可得=1e2=，即a2=3b2，又+=1，解得a=2，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）由题意可得，四条垂线的方程为x=2，y=2，A（2，2），B（2，2），可得kOAkOB=，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则=，|PQ|=，由P，Q在椭圆上，可得y12=4（1），y22=4（1），由x12x
34、22=9y12y22=（12x12）（12x22），即有x12+x22=12，若x1=x2，则P，P1，Q，Q1分别是直线OA，OB与椭圆的交点，四个点的坐标为（，），（，），（，），（，），四边形PQP1Q1的面积为8；若x1x2，则直线PQ：yy1=（xx1），化为（y2y1）x（x2x1）y+x2y1x1y2=0，则O到直线PQ的距离为d=，即有OPQ的面积为S=|PQ|d=|x1y2x2y1|=2，由椭圆的对称性可得，四边形PQP1Q1的面积为4S=8综上可得，四边形PQP1Q1的面积定值830（普通中学做）已知椭圆C： +（ab0）的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，
35、当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为2（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C上是否存在一点P，使得当l绕F转到某一位置时，有=+成立？若存在，求点P的坐标与直线l的方程；若不存在，说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）设F（c，0），可得直线l的方程为y=xc，运用点到直线的距离公式，求得c，再由离心率公式计算即可得到a，b，进而得到椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0）设y=k（x2）（k0），代入椭圆方程得（1+3k2）x212k2x+24k212=0，由此运用韦达定理和向量的坐标运算，求出点P的坐标代入椭圆方程，解得k，即可得到所求【解答】解：（1）
36、设F（c，0），可得直线l的方程为y=xc，即为xyc=0，由坐标原点O到l的距离为2，即有2=，解得c=2，由e=，可得a=2，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），当直线l的斜率存在，设其方程为：y=k（x2）（k0）由，消去y得（1+3k2）x212k2x+24k212=0x1+x2=，y1+y2=k（x1+x24）=k（4）=，=+，x0=x1+x2=，y0=y1+y2=将P点坐标代入椭圆得（）2+3（）2=12，15k4+2k21=0，k2=（舍去），即为k=当k=时，P（，），直线l：xy2=0，当k=时，P（，），直线l：x
37、+y2=0当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x=2，依题意，四边形OAPB为菱形，此时点P不在椭圆上，即当直线l的斜率不存在时，不适合题意；综上所述，存在P，且P（，），直线l：xy2=0，或P（，），直线l：x+y2=0选做题（共1小题，满分10分）31某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为4m2，问x，y分别为多少时用料最省？并求最省用料【考点】函数模型的选择与应用【分析】通过设面积为S，利用S=xy+=4可知y=，进而化简可知c=x+，利用基本不等式计算即得结论【解答】解：设面积为S，则S=xy+
38、=4，y=，c=2x+2y+x=（2+）x+2（）=x+2=4+4，当且仅当x=即x=44、y=2时取等号，于是当x=（44）米、y=2米时用料最省，为（4+4）米选做题（共1小题，满分0分）32某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边所成角为60（如图所示），考虑到防洪堤的坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9m2，且髙度不低于m问防洪堤横断面的腰长AB为多少时，横断面的外周长AB+BC+CD最小，并求最小外周长：【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】先由横断面积用AB=x表示BC，从建立y关于x的函数关系式，定义域由线段必须大于零和高度不低于米，求解；求函数y的
39、最小值，根据函数特点及条件可选用基本不等式解决【解答】解：（1）设腰长AB=x，即有9=（AD+BC）h，其中AD=BC+2=BC+x，h=x，9=（2BC+x）x，得BC=，由，得2x6，y=BC+2x=+x（2x6），由y=+x2=6，当并且仅当=x，即x=2时等号成立外周长AB+BC+CD的最小值为6米，此时腰长AB为2米选做题（共1小题，满分0分）33如图所示，某公司设计生产一种长方形薄板ABCD（ABAD），其周长为8m，这种薄板须沿对角线AC折叠后使用设AB交DC于点P问AB长为多少时，ADP的面积最大？并求最大面积【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】由题意，设AB=x，AD=4x因x4x，故2x4，设DP=y，则PC=xy，运用三角形全等，结合勾股定理，可得y的关系式，记ADP的面积为S1，则S1=（4x）（4），运用基本不等式可得最大值【解答】解：由题意，设AB=x，AD=4x因x4x，故2x4，设DP=y，则PC=xy因ADPCBP，故PA=PC=xy由 PA2=AD2+DP2，得（xy）2=（4x）2+y2，即有y=4，2x4，记ADP的面积为S1，则S1=（4x）（4）=122（x+）128，当且仅当x=2（1，2）时，S1取得最大值128故当AB=2时，ADP的面积最大，最大面积为1282016年7月20日
