1、第2课时复数的乘法与除法Q 根据复数的几何意义和平面向量在坐标表示下的加(减 )法运算，我们很容易规定了复数的加(减)法规则，因为实数是复数的一部分，且实数有其乘法运算，因此我们有理由且应当规定复数集内的乘法运算，使实数的乘法作为复数乘法的一种特殊情况，考虑到复数的代数标准形式及i21，并联系多项式的乘法法则，就可建立复数的代数乘法规则。X 1复数代数形式的乘法(1)复数的乘法、乘方复数的乘法与多项式的乘法是类似的，运算过程中把 i看作一个字母，但必须在所得的结果中把i2换成_1_，并且把实部与虚部分别_合并_.设z1abi、z2cdi是任意两个复数，那么它们的积(abi)(cdi)acbci
2、adibdi2_(acbd)(adbc)i_(a、b、c、dR)(2)复数乘法的运算律对于任意z1、z2、z3C，有交换律z1z2_z2z1_结合律(z1z2)z3_z1(z2z3)_乘法对加法的分配律z1(z2z3)_z1z2z1z3_在复数范围内，完全平方公式、平方差公式等仍然成立(3)复数的乘方复数的乘方是相同复数的积根据复数乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对任何z1、z2、z3C及m、nN，有zmznzmn，(zm)nzmn，(z1z2)nzz.in(nz)具有周期性in其中kZ.2共轭复数(1)共轭复数的概念一般地，当两个复数的实部_相等_，虚部_
3、互为相反数_时，这两个复数叫作互为共轭复数通常记复数z的共轭复数为.(2)由复数的模及共轭复数的定义知，|z|与|_相等_，z是_实数_，z是纯虚数的充要条件是z为_虚数_.(3)在复平面内，互为共轭复数的两个复数对应的点关于_实轴_对称(4)共轭复数的性质：两个共轭复数z、的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即z|z|2|2a2b2；.3复数的除法复数的除法是将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化，再化简即(abi)(cdi)i，复数除法运算的实质是_分母实数化_.Z 1虚数单位i的乘方的几个注意点：(1i)22i，(1i)22i，i，i，i，i，inin1in2in3
4、0(nN)2重要等式z|z|2|2的应用z|z|2|2，即两个互为共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模的平方此等式虽然结构很简单，但它将z、|z|、|紧密地联系在一起，并且等式左右具有实数化功能，右左具有分解因式功能3证明z为纯虚数的方法(1)设zabi，证明a0且b0；(2)z20z为纯虚数；(3)若z0，则z0z为纯虚数4证明zR的方法(1)设zabi(a、bR)，证明b0；(2)zRz；(3)zRz20；(4)zR|z|2z2.5乘法、乘方的一些运算在实数集、复数集内的差异(1)实数集R中正整指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立若规定z01，zm(zC，z0，mN)，则对于复数的
5、指数幂运算，可以把m、n推广到整数集(注意只推广到整数集)，复数集中未定义分数指数幂，如(1i)4(1i)4.(2)实数集内乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一定成立如：zR时，|z|2z2，而zC时，|z|2R时，而|z|2C，|z|2z2.如z2时，|2|2(2)2.而z1i时，|z|2|1i|2.z2(1i)22i，显然|z|2z2.z1、z2R时，zz0z10且z20.z1、z2C时，zz0z10且z20.但z10，z20zz0.即两个复数的平方和为零，是这两个复数同时为零的必要不充分条件如当z112i，z22i时，zz0，但z10，z20.zR时，zmznmn(z1)，而
6、zC时，zmznmn.zR时，|z|0)aza，而zC，|z|0)aza.Y 1(2019全国卷理，2)设z32i，则在复平面内对应的点位于(C)A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析32i，故 对应的点(3，2)位于第三象限故选C2(2019全国卷理，2)若z(1i)2i，则z(D)A1iB1iC1iD1i解析由z(1i)2i，得zi(1i)1i.故选D3(2019北京卷理，1)已知复数z2i，则z(D)ABC3D5解析 z2i， 2i， z(2i)(2i)5.故选D z2i， z|z|25.故选D4已知复数z(2i)2(i为虚数单位)，则复数z的虚部为_4_.解析z(2i)244ii
7、244i134i.5计算：(1)；(2)；(3)；(4).解析(1)13i.(2).(3)1.(4).H 命题方向1复数的乘法与乘方典例1计算：(1)(2i)(12i)(2i)5i；(2)(1i)2(1i)24.思路分析应用复数的乘法法则及运算律求解解析(1)(2i)(12i)(2i)5i(2i)(2i)(12i)5i(4i2)(12i)5i5(12i)5i510i5i55i.(2)(1i)2(1i)24(1i)(1i)24(1i2)242248.规律方法1.复数的乘法运算可将i看作字母按多项式乘法的运算法则进行，最后将i21代入合并“同类项”即可2复数的乘法运算可以推广，因此，复数可进行乘方
8、运算，常见的有：(abi)2(a2b2)2abi(a、bR)，(1i)22i等，即实数的乘方公式对复数也成立跟踪练习1(1)(2018全国卷文，2)i(23i)(D)A32iB32iC32iD32i(2)(2018全国卷理，2)(1i)(2i)(D)A3iB3iC3iD3i解析(1)i(23i)2i3i232i.故选D(2)(1i)(2i)22iii23i.故选D命题方向2复数的除法典例2计算：(1)(12i)(34i)；(2)；(3)(i)4.思路分析(1)先写成分式的形式，再分母实数化(2)分子、分母按复数的乘法先分别展开化简，或分解因式，再做除法(3)先展开，后化简解析(1)(12i)(
9、34i)i.(2)解法一：原式1.解法二：原式1.(3)原式(i)22(i)2ii()()i.规律方法除数是虚数的复数的除法是将分子、分母同乘以分母的共轭复数，再按复数的乘法进行运算，最后化简跟踪练习2(1)(2019宁夏罗平中学高二月考)设i是虚数单位，复数z，则(C)A1iB1iC1iD1i(2)(2019广东东莞石竹附中高二月考)已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A(1,2)，B(1,3)，则的虚部为(D)A1BiCiD解析(1)z1i，1i，故选C(2)由题意，得z112i，z213i，i，的虚部为，故选D命题方向3共轭复数典例3复数的共轭复数是(C)AiBiCiDi思路分析通
10、过运算把复数写成abi(a，bR的形式)，则其共轭复数为abi.解析依题意：i，其共轭复数为i，选C规律方法1.由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数2注意共轭复数的简单性质的运用跟踪练习3若z43i，则(D)A1B1CiDi解析i，故选D典例4已知z286i，求z316z.思路分析第一步，审题一审条件，找解题信息已知z286i，可设zabi(a、bR)求出a、b，也可看能否整体代入；二审结论确定解题目标求此表达式的值，若已知z可代入利用复数的四则运算求解，也可观察表达式的特点，看能否适当变形，将条件代入先化简第二步
11、，建立联系确定解题步骤考虑到运算简便及待求表达式的特点可先将表达式变形，将条件整体代入初步化简，再设zabi(a、bR)求出a、b，再代入化简第三步，规范解答解析z316z.设zabi(a、bR)，则z2a2b22abi86i，所以，解得或.即z3i，或z3i.当z3i时，原式6020i；当z3i时，原式6020i，综上所述，z316z6020i，或z316z6020i.规律方法1.差异分析的意识在解题时，要善于分析条件与结论之间的差异，通过差异分析构建二者之间的联系，努力促使二者向统一的方向转化，往往能够使问题获得简捷的解决2化繁为简的意识对于条件求值问题，何时使用条件，应根据具体的问题而定
12、，但在一般情况下，应该先化简再求值，如本例需要把所求值的代数式先化简，然后再把复数z代入求解，而不是直接代入求解Y 计算要细致准确 典例5复数等于()AiBiC2iD2i错解D2i.辨析错解中有两处错的地方：因为i3i，所以i3i，(1i)(1i)1(i)212i2123.正解Ai.故选A跟踪练习4计算：()6.解析方法1：原式6i61i.方法2：(技巧解法)原式6i61i.X 复数的有关性质 1in(nN*)的性质计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：i1i，i21，i3ii2i，i4i3iiii，从而对于任何nN*，都有i4n1i4ni(i4)nii，同理可证i4n21，
13、i4n3i，i4n41.这就是说，如果nN*，那么有i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n41.由此可进一步得(1i)22i，(1i)22i，i，i，i.21的三次虚根的性质由方程x310，得x11，x2，x3.若取，则，有如下关系：(1)331；(2)120；(3)2；(4)1；(5)，；(6)3n1，3n1，3n2.3共轭复数的性质设zabi(a，bR)，则abi，有：(1)|z|；(2)z|z|2|2；(3)z2a，z2bi；(4)；(5)；(6)；(7)()(z20)K 1(2019全国卷文，1)设z，则|z|(C)A2BCD1解析 z， |z| .故选C2(2019全国卷文，2)设zi(2i)，则(D)A12iB12i C12iD12i解析 zi(2i)12i， 12i.故选D3已知i为虚数单位，则()2(B)A1B1CiDi解析()21.4(2019天津理，9)i是虚数单位，则的值为 .解析 23i， |23i|.5计算：(1)(i)(4i6)(2).解析(1)(i)(4i6)4i(6)i4ii(6)2i369i97i.(2)i(12i)2i.
