1、第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020北京大兴高二期中)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2答案D解析设圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=m(m0),圆过原点,(0-1)2+(0-1)2=m(m0),解得m=2,所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.故选D.2.已知直线l过点(2,-1),且在y轴上的截距为3,则直线l的方程为
2、()A.2x+y+3=0B.2x+y-3=0C.x-2y-4=0D.x-2y+6=0答案B解析由题意直线过(2,-1),(0,3),故直线的斜率k=3+10-2=-2,故直线的方程为y=-2x+3,即2x+y-3=0.3.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是()A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.x-y+1=0D.x-y-1=0答案C解析圆x2+2x+y2=0的圆心C为(-1,0),而待求直线与x+y=0垂直,所以待求直线的斜率为1,设待求直线的方程为y=x+b,将点C的坐标代入可得b=1,待求直线的方程为x-y+1=0.故选C.4.(2020福建莆田一中
3、高二月考)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+5=0或2x+y-5=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+5=0或2x-y-5=0答案A解析设所求直线方程为2x+y+b=0,所以|b|5=5,所以b=5,所以所求直线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0,故选A.5.已知直线l1:xcos2+3y+2=0,若l1l2,则l2倾斜角的取值范围是()A.3,2B.0,6C.3,2D.3,56答案C解析设直线l2的斜率是k,倾斜角是.l1:xcos2+3y+2=0的斜率k1=-cos23-33,0,
4、由于l1l2,当cos =0时,即k1=0时,k不存在,此时=2;当cos 0时,即k10时,k=-1k13,此时的取值范围为3,2,综上可得,l2倾斜角的取值范围是3,2.故选C.6.若直线ax+by+2=0(a0,b0)截得圆(x+2)2+(y+1)2=1的弦长为2,则1a+2b的最小值为()A.4B.6C.8D.10答案A解析由题意,圆心坐标为(-2,-1),半径为1,所以圆心到直线的距离为d=|-2a-b+2|a2+b2,所以弦长2=21-(|-2a-b+2|a2+b2)2,整理,得2a+b=2,a0,b0,所以1a+2b=1a+2b12(2a+b)=122+2+ba+4ab124+2
5、ba4ab=4,当且仅当ba=4ab,即a=13,b=43时,等号成立.所以1a+2b的最小值为4.7.过原点O作直线l:(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0的垂线,垂足为点P,则点P到直线x-y+3=0的距离的最大值为()A.2+1B.2+2C.22+1D.22+2答案A解析(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0整理,得(2x+y-2)m+(x-y+2)n=0,由题意得2x+y-2=0,x-y+2=0,解得x=0,y=2,所以直线l过定点Q(0,2).因为OPl,所以点P的轨迹是以OQ为直径的圆去掉点(0,0)后的图形,圆心为(0,1),半径为1.因为圆心(0,1)到直线x-y
6、+3=0的距离为d=22=2,所以点P到直线x-y+3=0的距离的最大值为2+1,此时点P不是点(0,0).故选A.8.在一个平面上,机器人在以点C(3,-3)为圆心,以8为半径的圆上运动,它在运动的过程中到经过点A(-10,0)与B(0,10)的直线的最短距离为()A.82-8B.82+8C.82D.122答案A解析由题意知机器人运动的轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,直线AB的方程为x-10+y10=1,即为x-y+10=0,则圆心C到直线AB的距离为d=|3+3+10|1+1=828,即直线与圆相离,故机器人与直线AB的最短距离为82-8.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,
7、共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.(2020江苏如皋中学高二期中)下列说法正确的是()A.若两条直线互相平行,那么它们的斜率相等B.方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)能表示平面内的任何直线C.圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为(1,-2),半径为5D.若直线(2t-3)x+2y+t=0不经过第二象限,则t的取值范围是0,32答案BD解析对于A,若两条直线均平行于y轴,则两条直线斜率都不存在,A错误;对于B,若直线不平行于坐标轴,则原方程可化为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1,为直线方程的两
8、点式;当直线平行于x轴,则原方程可化为y=y1;当直线平行于y轴,则原方程可化为x=x1;综上所述,方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)能表示平面内的任何直线,B正确;对于C,圆的方程可整理为(x+1)2+(y-2)2=5,则圆心为(-1,2),C错误;对于D,若直线不经过第二象限,则-2t-320,-t20,解得0t32,D正确.故选BD.10.(2020山东枣庄高二月考)已知P,Q分别为圆M:(x-6)2+(y-3)2=4与圆N:(x+4)2+(y-2)2=1上的动点,A为x轴上的动点,则|AP|+|AQ|的值可能是()A.7B.8C.9D.10答案CD解析圆N:(x
9、+4)2+(y-2)2=1关于x轴对称的圆为圆N:(x+4)2+(y+2)2=1,即N(-4,-2), 又M(6,3),则|AP|+|AQ|的最小值为|MN|-1-2=102+52-3=55-3,又55-3(8,9),故选CD.11.若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为()A.4B.6C.32+1D.8答案ABC解析直线y=kx-1恒过定点A(0,-1),当直线与AC垂直时,点P到直线y=kx-1距离最大,等于AC+r,圆心坐标为(-3,3),所以为(-3-0)2+(3+1)2+1=6,当直线与圆有交点时,点P到直线的距离最小为0,所以点P
10、到直线y=kx-1距离的取值范围为0,6,故选ABC.12.已知A(1,0),B(4,0),圆C:x2+y2=4,则以下选项正确的有()A.圆C上到点B的距离为2的点有两个B.圆C上任意一点P都满足|PB|=2|PA|C.若过点A的直线被圆C所截得的弦为MN,则|MN|的最小值为23D.若点D满足过D作圆C的两条切线互相垂直,则|BD|的最小值为4-22答案BCD解析对于A,以点B为圆心,半径为2的圆与圆C:x2+y2=4外切,即圆C上到点B的距离为2的点只有一个,则A错误;对于B,设P(a,b),满足a2+b2=4,|PA|=b2+(a-1)2=b2+a2+1-2a=5-2a,|PB|=b2
11、+(a-4)2=b2+a2+16-8a=20-8a=25-2a=2|PA|,则B正确;对于C,过点A的直线被圆C所截得的弦为MN,则OAMN时,|MN|最小,|MN|min=2OM2-OA2=222-12=23,则C正确;对于D,设过点D的两条直线与圆C的切点分别为E,F,则OEDE,OFDF,且DEDF,|OE|=|OF|=2,则四边形OEDF为正方形,即|OD|=22,设点D(x,y),则有x2+y2=8,即点D的轨迹为圆心为原点,半径为22的圆,由此当点D在x轴的正半轴时,|BD|最小,为4-22,则D正确.故选BCD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.经过点P(1,
12、4),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是.答案y=4x或x-y+3=0解析根据题意,分2种情况讨论:当直线经过原点时,则直线l的方程为y=4x;当直线不经过原点时,设直线方程为x-y=a,把点P(1,4)代入,可得1-4=a,解得a=-3,即直线的方程为x-y+3=0.综合可得,直线的方程为y=4x或x-y+3=0.14.已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),且A,B,C三点共线,当k0时,若k为直线的斜率,则过点(2,-1)的直线方程为.答案2x+y-3=0解析由题意可得AB=(4-k,-7),BC=(6,k-5),由于AB和BC共线,故有(4-k)(k-
13、5)+42=0,解得k=11或k=-2.k0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为.答案5解析因为圆心(0,0)到直线x-3y+8=0的距离d=81+3=4,由|AB|=2r2-d2可得6=2r2-42,解得r=5.16.已知圆O:x2+y2=1,过点P向圆O引两条切线PA,PB,切点为A,B,若点P的坐标为(2,1),则直线AB的方程为;若点P为直线x+2y-4=0上一动点,则直线AB经过定点.答案2x+y-1=014,12解析由题意,圆O:x2+y2=1的圆心坐标为O(0,0),则以O(0,0)和P(2,1)为直径的圆的圆心为1,12,半径为r=12OP=52.可得以OP为直径的圆
14、的方程为(x-1)2+y-122=54,即x2+y2-2x-y=0,两圆的方程相减可得2x+y-1=0,即直线AB的方程为2x+y-1=0.因为点P为直线x+2y-4=0上一动点,设P(4-2m,m),因为PA,PB是圆O的切线,所以OAPA,OBPB.所以AB是圆O与以PO为直径的两圆的公共弦,可得以PO为直径的圆的方程为x-(2-m)2+y-m22=(2-m)2+m24,又由圆O的方程为x2+y2=1,两圆的方程相减,则AB的方程为2(2-m)x+my=1,即m(-2x+y)+4x-1=0,可得14,12满足上式,即AB过定点14,12.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说
15、明、证明过程或演算步骤.17.(10分)求满足下列条件的直线的方程.(1)直线过点(-1,2),且与直线x+y-2=0平行;(2)直线过(0,1)点,且与直线3x+y+1=0垂直.解(1)设所求直线的方程为x+y+m=0,点(-1,2)在直线上,-1+2+m=0,m=-1,故所求直线的方程为x+y-1=0.(2)所求直线与直线3x+y+1=0垂直,设所求直线的方程为x-3y+m=0.点(0,1)在直线x-3y+m=0上,0-3+m=0,解得m=3.故所求直线的方程为x-3y+3=0.18.(12分)已知ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(0,-5),C(10,0),线段AC的垂直平分线
16、为l.(1)求直线l的方程;(2)点P在直线l上运动,当|AP|+|BP|最小时,求点P的坐标.解(1)直线AC的斜率为kAC=4-02-10=-12,所以直线l的斜率为k=2.因为直线AC的中点为(6,2),所以直线l的方程为y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.(2)由(1)得点A关于直线l的对称点为点C,所以直线BC与直线l的交点P即为使|AP|+|BP|的值最小的点.由B(0,-5),C(10,0)得直线BC的方程为x10+y-5=1,即x-2y-10=0,联立方程x-2y-10=0,2x-y-10=0,解得x=103,y=-103,所以点P的坐标为103,-103.19.(12
17、分)已知直线l:ax-y-3a+1=0恒过定点P,过点P引圆C:(x-1)2+y2=4的两条切线,设切点分别为A,B.(1)求直线AB的一般式方程;(2)求四边形PACB的外接圆的标准方程.解(1)直线l:y-1=a(x-3),直线l恒过定点P(3,1).由题意可知直线x=3是其中一条切线,且切点为A(3,0).由圆的性质可知ABPC,kPC=1-03-1=12,kAB=-2,所以直线AB的方程为y=-2(x-3),即2x+y-6=0.(2)由题意知|PC|=(3-1)2+(1-0)2=5.PAAC,PBBC,所以四边形PACB的外接圆是以PC为直径的圆,PC的中点坐标为2,12,所以四边形P
18、ACB的外接圆为(x-2)2+y-122=54.20.(12分)已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x+m=0.(1)若圆C1与圆C2外切,求实数m的值;(2)在(1)的条件下,若直线l被圆C2截得的弦长为23,且过点(2,1),求直线l的方程.解(1)圆C1:x2+y2=1,则C1(0,0),其半径r1=1,由圆C2:x2+y2-6x+m=0,得(x-3)2+y2=9-m,由题意9-m0,即m9,C2(3,0),其半径r2=9-m,圆C1与圆C2外切,|C1C2|=r1+r2.3=1+9-m,解得m=5,m=51,两条切线分别交y轴于点A,B,记四边形PMON的面积为S1,三角
19、形PAB的面积为S2,求S1S2的最小值.解(1)当切线斜率不存在时,有切线x=1;当切线斜率存在时,设切线方程为y-4=k1(x-1),即k1x-y-k1+4=0.由题意,得|4-k1|k12+1=1,解得k1=158,切线方程为158x-y-158+4=0,即15x-8y+17=0.综上,切线为x=1,15x-8y+17=0.(2)点M,N在以点P为圆心,切线长PM为半径的圆上,即在圆P:(x-t)2+(y-4)2=t2+15上,由圆O与圆P的方程得两者公共弦所在直线的方程为tx+4y-1=0,所以直线lMN:tx+4y-1=0过定点0,14.(3)S1=2SPMO=212|PM|OM|=
20、t2+15.设lPM:y-4=k1(x-t),lPN:y-4=k2(x-t),得A(0,4-k1t),B(0,4-k2t),|AB|=|k1-k2|t.SPAB=12|AB|t=12|k1-k2|t2.当t1时,过点P的圆O的切线设为y-4=k(x-t),即kx-y-kt+4=0,由题意,得|4-kt|k2+1=1,整理,得(t2-1)k2-8tk+15=0,显然k1,k2是这个关于k的一元二次方程的根,所以|k1-k2|=(k1+k2)2-4k1k2=2t2+15t2-1,所以S2=t2+15t2t2-1,则S1S2=t2(t2+15)t2-1(t1),记m=t2-1(m0),y=(m+1)(m+16)m=m+16m+172m16m+17=25,当且仅当m=16m,即m=4时,等号成立,即当t=5时,(S1S2)min=25.
