1、-1-第2课时 函数的最大(小)值-2-第2课时 函数的最大(小)值 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1.理解函数最大值和最小值的概念,明确定义中“任意”和“存在”表达的含义.2.能借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值.3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.-3-第2课时 函数的最大(小)值 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 函数的最值与单调性的关系 剖析:(1)函数的单调性是其定义域的子集上的性质,是“局部”性质,而函数的最值
2、是整个定义域上的性质,是“整体”性质.(2)若函数f(x)在a,b上是增(减)函数,则f(x)在a,b上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(3)若函数f(x)在a,b上是增(减)函数,在b,c上是减(增)函数,则f(x)在a,c上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.-4-第2课时 函数的最大(小)值 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一图象法求最值【例1】已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值,并写出值域
3、.分析:讨论x与1的大小,化函数f(x)为分段函数.-5-第2课时 函数的最大(小)值 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 解:y=-|x-1|+2=3-,1,+1,1,图象如图所示,由图象知,函数 y=-|x-1|+2 的最大值为 2,没有最小值,所以其值域为(-,2.反思图象法求函数y=f(x)的最值的步骤:(1)画出函数y=f(x)的图象;(2)依据函数最值的几何意义,借助图象写出最值.-6-第2课时 函数的最大(小)值 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUX
4、I典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练 1】已知函数 f(x)=1,0 1,1 2.(1)画出f(x)的图象;(2)利用图象找出该函数的最大值和最小值.解:(1)函数f(x)的图象如图所示.(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.-7-第2课时 函数的最大(小)值 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二利用函数的单调性求最值【例 2】已知函数 f(x)=x+4,x1,3.(1)判断f(x)在1,2和2,3上的单调性;(
5、2)根据f(x)的单调性写出f(x)的最值.分析:(1)证明单调性的流程为:取值作差变形判断符号结论;(2)借助最值与单调性的关系,写出最值.-8-第2课时 函数的最大(小)值 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 解:(1)设 x1,x2 是区间1,3上的任意两个实数,且 x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1-x2+41 42=(x1-x2)1-412.x1x2,x1-x20.当 1x1x22 时,1x1x2 1.1 412 f(x2),即 f(x)在1,2上是减函数.当 2x1x23
6、 时,4x1x29,0 412 0.f(x1)f(x2),即 f(x)在2,3上是增函数.-9-第2课时 函数的最大(小)值 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四(2)由(1)知 f(x)的最小值为 f(2),f(2)=2+42=4.又 f(1)=5,f(3)=3+43=133 (1),f(x)的最大值为 5.-10-第2课时 函数的最大(小)值 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四【变式
7、训练 2】求函数 f(x)=-1 在区间2,5上的最大值与最小值.解:任取 2x1x25,则 f(x2)-f(x1)=22-1 11-1=1-2(2-1)(1-1),2x1x25,x1-x20,x1-10.f(x2)-f(x1)0.f(x2)f(x1).f(x)=-1 在区间2,5上是减函数.f(x)max=f(2)=22-1=2,f(x)min=f(5)=55-1=54.-11-第2课时 函数的最大(小)值 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型三应用问题【例3】将进货单价为40元的商
8、品按50元一个出售时,能卖出500个.已知这种商品每涨价1元,其销售量就减少10个,为得到最大利润,则售价应为多少元?最大利润是多少?分析:设出售价及利润,建立利润与售价的函数关系式,具体如下:-12-第2课时 函数的最大(小)值 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 解:设售价为x元,利润为y元,则单个涨价(x-50)元,销量减少10(x-50)个.y=(x-40)500-10(x-50)=-10(x-70)2+9 000,当x=70时,ymax=9 000,即售价为70元时,利润最大为9
9、 000元.反思解应用题要弄清题意,从实际出发,引进数学符号,建立数学模型,列出函数关系式,分析函数的性质,从而解决问题,这里要注意自变量的取值范围.在实际应用问题中,最大利润、用料最省等问题常转化为求函数的最值来解决.-13-第2课时 函数的最大(小)值 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 y=12(30-3x)=32(x-5)2+37.5,x(0,10).题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练3】如图所示,动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍,可供建造围墙的材料总长为30 m,问每间笼舍的宽度x(单位
10、:m)为多少时,才能使得每间笼舍面积y(单位:m2)达到最大?每间最大面积为多少?解:由题意知笼舍的宽为x m,则笼舍的总长为(30-3x)m,每间笼舍的面积为当x=5时,y取得最大值37.5,即每间笼舍的宽度为5 m时,每间笼舍面积y达到最大,最大面积为37.5 m2.-14-第2课时 函数的最大(小)值 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型四易错易混题 易错点 求最值时忽视单调性致错【例4】若函数f(x)=x2-6x+m在区间2,+)内的最小值是-3,则实数m的值为 .错解:f(x
11、)在2,+)内单调递增,f(x)的最小值为f(2)=4-12+m=m-8,m-8=-3,m=5.错因分析:在求函数最值时,只有判断出函数的单调性,才能确定函数最值在何处取得,不能直接代入区间的端点来求.如本例函数在区间2,+)内先减后增,故最小值不在x=2处取得.-15-第2课时 函数的最大(小)值 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 正解:函数f(x)=x2-6x+m图象的对称轴是x=3,开口向上,所以函数f(x)在2,3上单调递减,在3,+)内单调递增,故函数在x=3处取得最小值.由f(3)=32-63+m=-3,解得m=6.故实数m的值为6.-16-第2课时 函数的最大(小)值 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练4】函数f(x)=|x-1|+2,x0,3的最小值为 .解析:f(x)=|x-1|+2在0,1上递减,在1,3上递增,f(x)=|x-1|+2的最小值为f(1)=2.答案:2
