1、2021年江西省上饶市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1设xR，则“2x2”是“1x2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2已知复数z11+i，z23i在复平面内对应的向量分别为，则的模为（）ABC4D23已知随机变量服从正态分布N（3，2），P（6）0.84，则P（0）（）A0.16B0.34C0.66D0.844罗德岛太阳神巨像是古代世界七大奇迹之一它是希腊太阳神赫利俄斯的青铜铸像如图所示，太阳神赫利俄斯手中所持的几何体（含火焰）近似是一个底面相同的两个圆锥合在一起，正方向投影过去，其平面几何图形形状是上方内角为6
2、0，边长为2的菱形现在其中一个圆锥中放置一个球体，使得球与圆锥侧面、底面均相切，则该球的体积为（）ABCD5已知alog38，b0.910，c，则（）AcabBacbCabcDbca6已知A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且m+2n（m0，n0），则的最小值是（）A10B9C8D47已知双曲线C：1（a0，b0）的离心率为，则点M（3，0）到双曲线C的渐近线距离为（）A2BCD28在正方体ABCDA1B1C1D1中，点G是线段BC1上的一点，且A1GB1D，则（）ABGBC1BBC13GC1CBG3GC1D点G为线段BC1上任意一点9考拉兹猜想又名3n+1猜想，是指对于每一个正整数，如果
3、它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2如此循环，最终都能得到1阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果i（）A6B7C8D910现有语文、数学、英语、物理、化学、生物各1本书，把这6本书分别放入3个不同的抽屉里，要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学放在同一个抽屉里，则不同的放法总数为（）A78B126C148D15011已知函数f（x）sinx（sinx+cosx）（0）在区间（0，）上恰有2个最大值点，则的取值范围是（）A（，B，）C，D（，12数列an是以a为首项，q为公比的等比数列，数列bn满足bn1+a1+a2+an（n1，2，），数列cn满足cn2+b1+b2
4、+bn（n1，2，）若cn为等比数列，则a+q（）AB3CD6二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分。请把答案填在答题卡上。13已知（1，2），（0，1），则在方向上的投影为 14设等差数列an的前n项和为Sn，若a5+a6a2+5，则S17 15已知函数f（x）定义域为R，满足f（x）f（2x），且对任意1x1x2，均有0，则不等式f（2x1）f（3x）0解集为 16某中学张燕同学不仅学习认真，而且酷爱体育运动，经过艰苦的训练，终于在校运会的投铅球比赛中创造佳绩已知张燕所投铅球的轨迹是一段抛物线（人的身高不计，铅球看成一个质点），如图所示，设初速度为定值v0，且与水平方向所成角为变
5、量，已知张燕投铅球的最远距离为10m当她投得最远距离时，铅球轨迹抛物线的焦点到准线的距离为 m（空气阻力不计，重力加速度为10m/s2）三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17已知在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，（sinAsinB）2sin2C3sinAsinB（1）求角C的大小；（2）若a2b，求cos（B+）的值18如图1，在梯形ABCD中，ADBC，ABAD，ADABBC2，将ABD沿BD折起，使得A到P的位置，且二面角PBDC是直二面角，如图2（1）求证：CDPB（2）求二面角PBCD的余弦值19上饶市正在开展2021年“阳光护
6、苗”文明校园创建行动，分为“清网”护苗、“培根”护苗、“关爱”护苗、“雨露”护苗、“法治”护苗五个专项行动在“培根”护苗方面，为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行以“唱支山歌给党听”为主题的红歌合唱比赛活动，现有高一1、2、3、4班准备从唱支山歌给党听、没有共产党就没有新中国、映山红、十送红军、歌唱祖国5首红歌中选取一首作为比赛歌曲，设每班只选择其中一首红歌，且选择任一首红歌是等可能的（1）求“恰有2个班级选择唱支山歌给党听”的概率；（2）记随机变量X表示这4个班级共选择红歌的个数（相同的红歌记为1个），求X的分布列与数学期望20已知椭圆1（ab0）的两个顶点在直线x+y1上，直线l经
7、过椭圆的右焦点F，与椭圆交于A、B两点，点P（1，）（P不在直线l上）（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l与x2交于点M设PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3试问：是否存在常数使得k1+k2k3？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由21设函数f（x）ex+axb+1（a，bR）（1）若b1，f（x）有两个零点，求a的取值范围；（2）若f（x）0，求ba的最大值请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1是过点P（3，0）且倾斜角为的直线，以O
8、为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos2sin（1）求曲线C1的参数方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）设曲线C1、C2交于A，B两点，求当最大时，曲线C的直角坐标方程选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+2|x2|（1）解不等式f（x）2；（2）若_，求a的最小值不等式f（x）a2+3a有解；不等式f（x）a2+5a恒成立请从上述两种情形中任选一种作答参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1设xR，则“2x2”是“1x2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：（1,2）(2,2),2x2是1x2
9、的必要不充分条件，故选：B2已知复数z11+i，z23i在复平面内对应的向量分别为，则的模为（）ABC4D2解：复数z11+i，z23i在复平面内对应的向量分别为，(1,1),(3,1),(2,2),2,故选：D3已知随机变量服从正态分布N（3，2），P（6）0.84，则P（0）（）A0.16B0.34C0.66D0.84解：P（6）10.840.16，P（0）P（6）0.16故选：A4罗德岛太阳神巨像是古代世界七大奇迹之一它是希腊太阳神赫利俄斯的青铜铸像如图所示，太阳神赫利俄斯手中所持的几何体（含火焰）近似是一个底面相同的两个圆锥合在一起，正方向投影过去，其平面几何图形形状是上方内角为60，
10、边长为2的菱形现在其中一个圆锥中放置一个球体，使得球与圆锥侧面、底面均相切，则该球的体积为（）ABCD解：圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，正三角形内切圆的半径为，则圆锥内切球的半径为，球的体积V故选：B5已知alog38，b0.910，c，则（）AcabBacbCabcDbca解：因为alog38（1，2），b0.910（0，1），c21.12，所以cab故选：A6已知A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且m+2n（m0，n0），则的最小值是（）A10B9C8D4解：由“A、B、C三点共线（该直线不过原点O），且m+2n”可知m+2n1（m0，n0），（m+2n）()4+4+28,当且仅
11、当即时取“”的最小值是8故选：C7已知双曲线C：1（a0，b0）的离心率为，则点M（3，0）到双曲线C的渐近线距离为（）A2BCD2解：双曲线C：1（a0，b0）的离心率为，可得ab，所以双曲线的渐近线方程为：xy0，点M（3，0）到双曲线C的渐近线距离为：故选：C8在正方体ABCDA1B1C1D1中，点G是线段BC1上的一点，且A1GB1D，则（）ABGBC1BBC13GC1CBG3GC1D点G为线段BC1上任意一点解：如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，B1D在侧面ABB1A1内的射影是AB1，且AB1A1B，所以A1BB1D，同理，B1DC1，且A1BBC1B，所以B1D平面A1
12、BC1，又A1G平面A1BC1，所以A1GB1D，即点G为线段BC1上任意一点，选项D正确，A、B、C选项错误故选：D9考拉兹猜想又名3n+1猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2如此循环，最终都能得到1阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果i（）A6B7C8D9解：模拟程序的运行，可得a3，i1，a为奇数，a10，i2，a为偶数，a5，i3，a为奇数，a16，i4，a为偶数，a8，i5，a为偶数，a4，i6，a为偶数，a2，i7，a为偶数，a1，i8，跳出循环，输出i的值为8故选：C10现有语文、数学、英语、物理、化学、生物各1本书，
13、把这6本书分别放入3个不同的抽屉里，要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学放在同一个抽屉里，则不同的放法总数为（）A78B126C148D150解：根据题意，分2步进行分析：将6本书分为3组，要求语文和数学在同一组，若分为2、2、2的三组，有C423种分组方法，若分为3、2、1的三组，有C41+C41C3216种分组方法，若分为4、1、1的三组，有C426种分组方法，则有3+16+625种分组方法；将分好三组全排列，放入三个不同的抽屉，有A336种情况，则有256150种安排方法；故选：D11已知函数f（x）sinx（sinx+cosx）（0）在区间（0，）上恰有2个最大值点，则的取值范围是（）
14、A（，B，）C，D（，解：f（x）sinx（sinx+cosx）sin2x+sinxcosx+sin（2x）+，x（0，），2x（，2），函数f（x）在区间（0，）上恰有2个最大值点，2，的取值范围是（，故选：A12数列an是以a为首项，q为公比的等比数列，数列bn满足bn1+a1+a2+an（n1，2，），数列cn满足cn2+b1+b2+bn（n1，2，）若cn为等比数列，则a+q（）AB3CD6解：数列an是以a为首项，q为公比的等比数列，anaqn1，则bn1+a1+a2+an1+1+，则cn2+b1+b2+bn2+（1+）n2+n+，要使cn为等比数列，则，解得：，a+q3，故选：B二
15、、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分。请把答案填在答题卡上。13已知（1，2），（0，1），则在方向上的投影为2解：因为（1，2），（0，1），则在方向上的投影2故答案为：214设等差数列an的前n项和为Sn，若a5+a6a2+5，则S1785解：由an是等差数列，得a5+a6a2+a9，又a5+a6a2+5，所以a95，所以S17（a1+a17）17a917585故答案为：8515已知函数f（x）定义域为R，满足f（x）f（2x），且对任意1x1x2，均有0，则不等式f（2x1）f（3x）0解集为（，0，+）解：因为函数f（x）定义域为R，满足f（x）f（2x），所以函数f（x）关
16、于直线 x1对称，因为对任意1x1x2均有0成立，所以函数f（x）在1，+）上单调递增，由对称性可知f（x）在（，1上单调递减，因为f（2x1）f（3x）0，即f（2x1）f（3x），所以|2x11|3x1|，即|2x2|2x|，解得x或x0故答案为：（，0，+）16某中学张燕同学不仅学习认真，而且酷爱体育运动，经过艰苦的训练，终于在校运会的投铅球比赛中创造佳绩已知张燕所投铅球的轨迹是一段抛物线（人的身高不计，铅球看成一个质点），如图所示，设初速度为定值v0，且与水平方向所成角为变量，已知张燕投铅球的最远距离为10m当她投得最远距离时，铅球轨迹抛物线的焦点到准线的距离为5m（空气阻力不计，重力
17、加速度为10m/s2）解：设铅球运动时间为t0，t时刻的水平方向位移为x，则xv0tcos，由知，故当时，v010m/s，如图建立平面直角坐标系，P（5，2.5），设抛物线方程为x22py，则抛物线的焦点到准线的距离为故答案为：5三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17已知在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，（sinAsinB）2sin2C3sinAsinB（1）求角C的大小；（2）若a2b，求cos（B+）的值解：（1）因为（sinAsinB）2sin2C3sinAsinB，由正弦定理得（ab）2c23ab，即a2+b2c2ab，由余弦定
18、理得cosC，由C为三角形内角可得C；（2）因为a2b，由正弦定理得sinA2sinB，所以sin（）2sinB，所以2sinB，所以tanB，所以B（0，），cosB，sinB，所以cos（B+）cos（B+）18如图1，在梯形ABCD中，ADBC，ABAD，ADABBC2，将ABD沿BD折起，使得A到P的位置，且二面角PBDC是直二面角，如图2（1）求证：CDPB（2）求二面角PBCD的余弦值解：（1）证明：在梯形ABCD中，ADBC，ABAD，ADABBC2，BDCD2，BC4，BD2+CD2BC2，BDCD，将ABD沿BD折起，使得A到P的位置，且二面角PBDC是直二面角，CD平面PB
19、D，PB平面PBD，CDPB（2）取BD中点O，BC中点E，连接OP，OE，由题意得OB，OP，OE两两垂直，以O为原点，OB为x轴，OE为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，B（，0，0），C（，2，0），D（，0，0），P（0，0，），（），（，2，），设平面PBC的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，1，1），平面BCD的法向量（0，0，1），设二面角PBCD的平面角为，则二面角PBCD的余弦值为：cos19上饶市正在开展2021年“阳光护苗”文明校园创建行动，分为“清网”护苗、“培根”护苗、“关爱”护苗、“雨露”护苗、“法治”护苗五个专项行动在“培根”护苗方面，为庆祝中国共产党
20、成立100周年，某校计划举行以“唱支山歌给党听”为主题的红歌合唱比赛活动，现有高一1、2、3、4班准备从唱支山歌给党听、没有共产党就没有新中国、映山红、十送红军、歌唱祖国5首红歌中选取一首作为比赛歌曲，设每班只选择其中一首红歌，且选择任一首红歌是等可能的（1）求“恰有2个班级选择唱支山歌给党听”的概率；（2）记随机变量X表示这4个班级共选择红歌的个数（相同的红歌记为1个），求X的分布列与数学期望解：（1）4个班每个班各选一首红歌的试验有54625个基本事件，它们是等可能的，记“恰有2个班级选择唱支山歌给党听”为事件A，包含96个基本事件，从而“恰有2个班级选择唱支山歌给党听”概率为P（A）；（
21、2）随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P（X1），P（X2），P（X3），P（X4），故X的分布列为 X 1 2 3 4 P 所以X的数学期望E(X)1+2+3+420已知椭圆1（ab0）的两个顶点在直线x+y1上，直线l经过椭圆的右焦点F，与椭圆交于A、B两点，点P（1，）（P不在直线l上）（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l与x2交于点M设PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3试问：是否存在常数使得k1+k2k3？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由解：（1）直线x+y1与坐标轴的交点为，椭圆方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：yk（x1），则M（2
22、，k），联立直线AB及椭圆方程得，消去y并整理可得，（1+2k2）x24k2x+2k220，由韦达定理有，又，存在2，使得k1+k22k321设函数f（x）ex+axb+1（a，bR）（1）若b1，f（x）有两个零点，求a的取值范围；（2）若f（x）0，求ba的最大值解：（1）b1时，f（x）ex+ax，f（x）ex+a，当a0时，f（x）0，则f（x）在R上单调递增，不满足题意；当a0时，令f（x）0，解得xln（a），则f（x）在（，ln（a）上单调递减，在（ln（a），+）上单调递增，要使f（x）有两个零点，只需f（ln（a）0，即a+aln（a）0，解得ae，即a的取值范围是（，e）（
23、2）函数f（x）ex+axb+1，f（x）ex+a，由（1）知，当a0时，f（x）在R上单调递增，当x时，f（x），与f（x）0矛盾，所以a0，由（1）知，f（x）minf（ln（a）a+aln（a）b+10，所以ba+aln（a）+1，ba2a+aln（a）+1，令g（a）2a+aln（a）+1，g（a）2+ln（a）+11+ln（a），令g（a）0，可得ae，令g（x）0，可得ea0，所以g（a）在（，e）上单调递增，在（e，0）上单调递减，所以g（a）maxg（e）e+1，所以bae+1，所以ba的最大值为e+1请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，
24、用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1是过点P（3，0）且倾斜角为的直线，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4cos2sin（1）求曲线C1的参数方程及曲线C2的直角坐标方程；（2）设曲线C1、C2交于A，B两点，求当最大时，曲线C的直角坐标方程解：（1）曲线C1是过点P（3，0）且倾斜角为的直线，转换为参数方程为（为参数）曲线C2的极坐标方程为4cos2sin根据，转换为直角坐标方程为（x2）2+（y+1）25（2）把直线的参数方程代入（x2）2+（y+1）25，得到t2+2（cos+s
25、in）t30，故t1+t22（sin+cos），t1t23，所以，当时，选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x+2|x2|（1）解不等式f（x）2；（2）若_，求a的最小值不等式f（x）a2+3a有解；不等式f（x）a2+5a恒成立请从上述两种情形中任选一种作答解：（1）f（x），因为f（x）2，当x2时，42不成立，解得x；当2x2时，由2x2，得1x2；当x2时，由42恒成立，解得当x2；综上，f（x）2解集为1，+）；（2）若选不等式f（x）a2+3a有解，则f（x）maxa2+3a，由（1）知，f（x）max4，所以a2+3a40，解得4a1；所以amin4；若选不等式f（x）a2+5a恒成立，则f（x）mina2+3a，由（1）知，f（x）min4，所以a2+5a+40，解得4a1；所以amin4
