1、专题 3.2 导数与函数的单调性、极值与最值【考情分析】1.了解函数的单调性与导数的关系;2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间。3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;4.会用导数求函数的极大值、极小值;5.会求闭区间上函数的最大值、最小值。【重点知识梳理】知识点一 函数的单调性与导数的关系 函数 yf(x)在某个区间内可导,则:(1)若 f(x)0,则 f(x)在这个区间内单调递增;(2)若 f(x)0,则 f(x)在这个区间内单调递增;(2)若 f(x)0,右侧f(x)0 x0附近的左侧 f(x)0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小
2、值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 知识点四 函数的最值与导数(1)函数 f(x)在a,b上有最值的条件 如果在区间a,b上函数 yf(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求 yf(x)在a,b上的最大(小)值的步骤 求函数 yf(x)在(a,b)内的极值;将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.【特别提醒】1.函数 f(x)在区间(a,b)上递增,则 f(x)0,“f(x)0 在(a,b)上成立”是“f(x)在(a,b)上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数 f(x),“f(x
3、0)0”是“函数 f(x)在 xx0处有极值”的必要不充分条件.3.求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时,需要分类讨论,不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极小值之间没有必然的大小关系.【典型题分析】高频考点一 求函数的单调区间 例 1.【2019天津卷】设函数()e cos,()xf xxg x为 f x 的导函数,求 f x 的单调区间。【解析】由已知,有()e(cossin)xf xxx因此,当52,244xkk ()k Z 时,有sincosxx,得()0fx,则 f x 单调递减;当32,244xkk ()k Z
4、时,有sincosxx,得()0f x,则 f x 单调递增所以,f x 的单调递增区间为32,2(),()44kkkf x Z的单调递减区间为52,2()44kkk Z 【答案】()f x 的单调递增区间为32,2(),()44kkkf xZ的单调递减区间为52,2()44kkkZ.【方法技巧】利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时,解不等式 f(x)0 或 f(x)0 求出单调区间(2)当方程 f(x)0 可解时,解出方程的实根,按实根把函数的定义域划分成若干个区间,确定各区间 f(x)的符号,从而确定单调区间(3)若导函数的方程、不等式都不可解,根据 f(x)的结构特征,
5、利用其图象与性质确定 f(x)的符号,从而确定单调区间【变式探究】【2019浙江卷】已知实数0a,设函数()=ln1,0.f xaxxx,当34a 时,求函数()f x 的单调区间。【解析】当34a 时,3()ln1,04f xxx x 31(12)(2 11)()42 141xxf xxxxx,所以,函数()f x 的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+)。【答案】f x 的单调递增区间是3,单调递减区间是0,3;高频考点二 判断函数的单调性 例 2【2020全国卷】已知函数2()exf xaxx.(1)当 a=1 时,讨论 f(x)的单调性;(2)当 x0 时,f(x)12x3
6、+1,求 a 的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=ex+x2x,则()f x=ex+2x1 故当x(,0)时,()f x0所以f(x)在(,0)单调递减,在(0,+)单调递增(2)31()12f xx 等价于321(1)e12xxaxx.设函数321()(1)e(0)2xg xxaxxx,则 32213()(121)e22xg xxaxxxax 21(23)42e2xx xaxa 1(21)(2)e2xx xax.(i)若2a+10,即12a ,则当x(0,2)时,()g x0.所以g(x)在(0,2)单调递增,而g(0)=1,故当x(0,2)时,g(x)1,不合题意.(ii)若0
7、2a+12,即1122a,则当x(0,2a+1)(2,+)时,g(x)0.所以g(x)在(0,2a+1),(2,+)单调递减,在(2a+1,2)单调递增.由于g(0)=1,所以g(x)1当且仅当g(2)=(74a)e21,即a27e4.所以当27e142a时,g(x)1.(iii)若2a+12,即12a,则g(x)31(1)e2xxx.由于27e10,)42,故由(ii)可得31(1)e2xxx1.故当12a 时,g(x)1.综上,a的取值范围是27e,)4.【举一反三】【2019全国卷】已知函数32()2f xxaxb,讨论()f x 的单调性;【解析】2()622(3)fxxaxxxa 令
8、()0fx,得 x=0 或3ax.若 a0,则当(,0),3ax 时,()0fx;当0,3ax时,()0fx故()f x 在(,0),3a单调递增,在 0,3a单调递减;若 a=0,()f x 在(,)单调递增;若 a12,则当 x1a,2 时,f(x)0.所以 f(x)在 x2 处取得极小值.若 a12,则当 x(0,2)时,x20,ax112x10.所以 2 不是 f(x)的极小值点.综上可知,a 的取值范围是12,.【方法技巧】已知函数极值,确定函数解析式中的参数时,要注意:(1)根据极值点的导数为 0 和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解;(2)因为导数值等于 0 不是此点为极
9、值点的充要条件,所以用待定系数法求解后必须检验.【变式探究】(2020河北承德一中模拟)若函数 f(x)x33a2x2x1 在区间12,3 上有极值点,则实数 a 的取值范围是 【答案】2,103 【解析】函数 f(x)在区间12,3 上有极值点等价于 f(x)0 有 2 个不相等的实根且在12,3 内有根,由 f(x)0 有 2 个不相等的实根,得 a2 或 a2.由 f(x)0 在12,3 内有根,得 ax1x在12,3 内有解,又 x1x2,103,所以 2a103,综上,a 的取值范围是2,103.高频考点六 利用导数研究函数的最值 例 6.(2019全国卷)已知函数 f(x)2x3a
10、x2b.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)是否存在 a,b,使得 f(x)在区间0,1的最小值为1 且最大值为 1?若存在,求出 a,b 的所有值;若不存在,说明理由【解析】(1)f(x)6x22ax2x(3xa)令 f(x)0,得 x0 或 xa3.若 a0,则当 x(,0)a3,时,f(x)0;当 x0,a3 时,f(x)0.故 f(x)在(,0),a3,单调递增,在0,a3 单调递减 若 a0,f(x)在(,)单调递增 若 a0,则当 x,a3(0,)时,f(x)0;当 xa3,0 时,f(x)0.故 f(x)在,a3,(0,)单调递增,在a3,0 单调递减(2)满足题设条件的 a,b
11、 存在()当 a0 时,由(1)知,f(x)在0,1单调递增,所以 f(x)在区间0,1的最小值为 f(0)b,最大值为 f(1)2ab.此时 a,b 满足题设条件当且仅当 b1,2ab1,即 a0,b1.()当 a3 时,由(1)知,f(x)在0,1单调递减,所以 f(x)在区间0,1的最大值为 f(0)b,最小值为 f(1)2ab.此时 a,b 满足题设条件当且仅当 2ab1,b1,即 a4,b1.()当 0a3 时,由(1)知,f(x)在0,1的最小值为 fa3 a327b,最大值为 b 或 2ab.若a327b1,b1,则 a33 2,与 0a3 矛盾 若a327b1,2ab1,则 a
12、3 3或 a3 3或 a0,与 0a3 矛盾 综上,当且仅当 a0,b1 或 a4,b1 时,f(x)在0,1的最小值为1,最大值为 1.【方法技巧】(1)求函数在(a,b)内的极值(2)求函数在区间端点的函数值 f(a),f(b)(3)将函数 f(x)的极值与 f(a),f(b)比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值【变式探究】(2018全国卷)已知函数 f(x)2sin xsin 2x,则 f(x)的最小值是_【解析】f(x)2cos x2cos 2x2cos x2(2cos2x1)2(2cos2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1)cos x10,当 cos x12时,f
13、(x)0,f(x)单调递减;当 cos x12时,f(x)0,f(x)单调递增 当 cos x12,f(x)有最小值 又 f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x),当 sin x 32 时,f(x)有最小值,即 f(x)min2 32112 3 32.【答案】3 32 高频考点七 利用导数研究生活中的优化问题 例 7.(2020浙江省海盐高级中学模拟)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位:元/千克)满足关系式 yax310(x6)2,其中 3x6,a 为常数已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克(1)求
14、 a 的值;(2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大【解析】(1)因为当 x5 时,y11,所以a21011,解得 a2.(2)由(1)可知,该商品每日的销售量为 y 2x310(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6.则 f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是,当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(3,4)4(4,6)f(x)0 f(x)极大值 42 由上表可得,当 x4 时,函数 f(x)取得极大值,也是最大值 所以,当 x4 时
15、,函数 f(x)取得最大值且最大值等于 42.即当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大【方法技巧】(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式 yf(x)(2)求函数的导数 f(x),解方程 f(x)0.(3)比较函数在区间端点和 f(x)0 的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值(4)回归实际问题,结合实际问题作答【变式探究】(2020辽宁省抚顺市第十中学模拟)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成
16、本为 100 元/平方米,底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12 000 元(为圆周率)(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域(2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大【解析】(1)因为蓄水池侧面的总成本为 1002rh200rh 元,底面的总成本为 160r2元,所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意得 200rh160r212 000,所以 h 15r(3004r2),从而 V(r)r2h5(300r4r3)由 h0,且 r0 可得 0r5 3,故函数 V(r)的定义域为(0,5 3)(2)因为 V(r)5(300r4r3),所以 V(r)5(30012r2)令 V(r)0,解得 r15,r25(因为 r25 不在定义域内,舍去)当 r(0,5)时,V(r)0,故 V(r)在(0,5)上为增函数;当 r(5,5 3)时,V(r)0,故 V(r)在(5,5 3)上为减函数 由此可知,V(r)在 r5 处取得最大值,此时 h8,即当 r5,h8 时,该蓄水池的体积最大