1、专题 3.2 导数与函数的单调性、极值与最值【考情分析】1.了解函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；4.会用导数求函数的极大值、极小值；5.会求闭区间上函数的最大值、最小值。【重点知识梳理】知识点一 函数的单调性与导数的关系 函数 yf(x)在某个区间内可导，则：(1)若 f(x)0，则 f(x)在这个区间内单调递增；(2)若 f(x)0，则 f(x)在这个区间内单调递增；(2)若 f(x)0，右侧f(x)0 x0附近的左侧 f(x)0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小
2、值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 知识点四 函数的最值与导数(1)函数 f(x)在a，b上有最值的条件 如果在区间a，b上函数 yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求 yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤 求函数 yf(x)在(a，b)内的极值；将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【特别提醒】1.函数 f(x)在区间(a，b)上递增，则 f(x)0，“f(x)0 在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数 f(x)，“f(x
3、0)0”是“函数 f(x)在 xx0处有极值”的必要不充分条件.3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.【典型题分析】高频考点一 求函数的单调区间 例 1.【2019天津卷】设函数()e cos,()xf xxg x为 f x 的导函数，求 f x 的单调区间。【解析】由已知，有()e(cossin)xf xxx因此，当52,244xkk ()k Z 时，有sincosxx，得()0fx，则 f x 单调递减；当32,244xkk ()k Z
4、时，有sincosxx，得()0f x，则 f x 单调递增所以，f x 的单调递增区间为32,2(),()44kkkf x Z的单调递减区间为52,2()44kkk Z 【答案】()f x 的单调递增区间为32,2(),()44kkkf xZ的单调递减区间为52,2()44kkkZ.【方法技巧】利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式 f(x)0 或 f(x)0 求出单调区间(2)当方程 f(x)0 可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分成若干个区间，确定各区间 f(x)的符号，从而确定单调区间(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据 f(x)的结构特征，
5、利用其图象与性质确定 f(x)的符号，从而确定单调区间【变式探究】【2019浙江卷】已知实数0a，设函数()=ln1,0.f xaxxx，当34a 时，求函数()f x 的单调区间。【解析】当34a 时，3()ln1,04f xxx x 31(12)(2 11)()42 141xxf xxxxx，所以，函数()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）。【答案】f x 的单调递增区间是3,单调递减区间是0,3；高频考点二 判断函数的单调性 例 2【2020全国卷】已知函数2()exf xaxx.（1）当 a=1 时，讨论 f（x）的单调性；（2）当 x0 时，f（x）12x3
6、+1，求 a 的取值范围.【解析】（1）当a=1时，f（x）=ex+x2x，则()f x=ex+2x1 故当x（，0）时，()f x0所以f（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增（2）31()12f xx 等价于321(1)e12xxaxx.设函数321()(1)e(0)2xg xxaxxx，则 32213()(121)e22xg xxaxxxax 21(23)42e2xx xaxa 1(21)(2)e2xx xax.（i）若2a+10，即12a ，则当x（0，2）时，()g x0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）=1，故当x（0，2）时，g（x）1，不合题意.（ii）若0
7、2a+12，即1122a，则当x(0，2a+1)(2，+)时，g(x)0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)1当且仅当g(2)=(74a)e21，即a27e4.所以当27e142a时，g(x)1.（iii）若2a+12，即12a，则g(x)31(1)e2xxx.由于27e10,)42，故由（ii）可得31(1)e2xxx1.故当12a 时，g(x)1.综上，a的取值范围是27e,)4.【举一反三】【2019全国卷】已知函数32()2f xxaxb，讨论()f x 的单调性；【解析】2()622(3)fxxaxxxa 令
8、()0fx，得 x=0 或3ax.若 a0，则当(,0),3ax 时，()0fx；当0,3ax时，()0fx故()f x 在(,0),3a单调递增，在 0,3a单调递减；若 a=0，()f x 在(,)单调递增；若 a12，则当 x1a，2 时，f(x)0.所以 f(x)在 x2 处取得极小值.若 a12，则当 x(0，2)时，x20，ax112x10.所以 2 不是 f(x)的极小值点.综上可知，a 的取值范围是12，.【方法技巧】已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为 0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于 0 不是此点为极
9、值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.【变式探究】(2020河北承德一中模拟)若函数 f(x)x33a2x2x1 在区间12，3 上有极值点，则实数 a 的取值范围是 【答案】2，103 【解析】函数 f(x)在区间12，3 上有极值点等价于 f(x)0 有 2 个不相等的实根且在12，3 内有根，由 f(x)0 有 2 个不相等的实根，得 a2 或 a2.由 f(x)0 在12，3 内有根，得 ax1x在12，3 内有解，又 x1x2，103，所以 2a103，综上，a 的取值范围是2，103.高频考点六 利用导数研究函数的最值 例 6.(2019全国卷)已知函数 f(x)2x3a
10、x2b.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)是否存在 a，b，使得 f(x)在区间0,1的最小值为1 且最大值为 1？若存在，求出 a，b 的所有值；若不存在，说明理由【解析】(1)f(x)6x22ax2x(3xa)令 f(x)0，得 x0 或 xa3.若 a0，则当 x(，0)a3，时，f(x)0；当 x0，a3 时，f(x)0.故 f(x)在(，0)，a3，单调递增，在0，a3 单调递减 若 a0，f(x)在(，)单调递增 若 a0，则当 x，a3(0，)时，f(x)0；当 xa3，0 时，f(x)0.故 f(x)在，a3，(0，)单调递增，在a3，0 单调递减(2)满足题设条件的 a，b
11、 存在()当 a0 时，由(1)知，f(x)在0,1单调递增，所以 f(x)在区间0,1的最小值为 f(0)b，最大值为 f(1)2ab.此时 a，b 满足题设条件当且仅当 b1，2ab1，即 a0，b1.()当 a3 时，由(1)知，f(x)在0,1单调递减，所以 f(x)在区间0,1的最大值为 f(0)b，最小值为 f(1)2ab.此时 a，b 满足题设条件当且仅当 2ab1，b1，即 a4，b1.()当 0a3 时，由(1)知，f(x)在0,1的最小值为 fa3 a327b，最大值为 b 或 2ab.若a327b1，b1，则 a33 2，与 0a3 矛盾 若a327b1,2ab1，则 a
12、3 3或 a3 3或 a0，与 0a3 矛盾 综上，当且仅当 a0，b1 或 a4，b1 时，f(x)在0,1的最小值为1，最大值为 1.【方法技巧】(1)求函数在(a，b)内的极值(2)求函数在区间端点的函数值 f(a)，f(b)(3)将函数 f(x)的极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值【变式探究】(2018全国卷)已知函数 f(x)2sin xsin 2x，则 f(x)的最小值是_【解析】f(x)2cos x2cos 2x2cos x2(2cos2x1)2(2cos2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1)cos x10，当 cos x12时，f
13、(x)0，f(x)单调递减；当 cos x12时，f(x)0，f(x)单调递增 当 cos x12，f(x)有最小值 又 f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)，当 sin x 32 时，f(x)有最小值，即 f(x)min2 32112 3 32.【答案】3 32 高频考点七 利用导数研究生活中的优化问题 例 7.(2020浙江省海盐高级中学模拟)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 yax310(x6)2，其中 3x6，a 为常数已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克(1)求
14、 a 的值；(2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大【解析】(1)因为当 x5 时，y11，所以a21011，解得 a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为 y 2x310(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3x6.则 f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0 f(x)极大值 42 由上表可得，当 x4 时，函数 f(x)取得极大值，也是最大值 所以，当 x4 时
15、，函数 f(x)取得最大值且最大值等于 42.即当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大【方法技巧】(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 yf(x)(2)求函数的导数 f(x)，解方程 f(x)0.(3)比较函数在区间端点和 f(x)0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值(4)回归实际问题，结合实际问题作答【变式探究】(2020辽宁省抚顺市第十中学模拟)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成
16、本为 100 元/平方米，底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000 元(为圆周率)(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域(2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大【解析】(1)因为蓄水池侧面的总成本为 1002rh200rh 元，底面的总成本为 160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意得 200rh160r212 000，所以 h 15r(3004r2)，从而 V(r)r2h5(300r4r3)由 h0，且 r0 可得 0r5 3，故函数 V(r)的定义域为(0,5 3)(2)因为 V(r)5(300r4r3)，所以 V(r)5(30012r2)令 V(r)0，解得 r15，r25(因为 r25 不在定义域内，舍去)当 r(0,5)时，V(r)0，故 V(r)在(0,5)上为增函数；当 r(5,5 3)时，V(r)0，故 V(r)在(5,5 3)上为减函数 由此可知，V(r)在 r5 处取得最大值，此时 h8，即当 r5，h8 时，该蓄水池的体积最大