1、江苏省无锡市2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.）1.函数的定义域是 【答案】【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足，因此定义域为考点：函数定义域2.已知向量与向量共线，则_.【答案】4【解析】【分析】由向量共线的条件求解.【详解】共线，.故答案为4.【点睛】本题考查向量共线的条件，属于基础题.3.若角的终边过点，则_.【答案】-2【解析】【分析】由正切函数定义计算.详解】根据正切函数定义：.故答案为2.【点睛】本题考查三角函数的定义，掌握三角函数定义是解题基础.4.在等比数列中，已知，则_.【答案】-81【解析】【分析】先求公比，
2、再求.【详解】由题意，.故答案为81.【点睛】本题考查求等比数列中项，可根据等比数列的通项公式求出公比，然后再求某一项.5.已知集合，集合，若中恰好含有一个整数，则的值为_.【答案】-1【解析】【分析】根据集合，的形式，它们交集中只有一个整数，必定是2【详解】由题意，又为整数，故答案为1【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集定义是解题基础6.函数y=x2sinx在（0，2）内的单调增区间为_【答案】【解析】对函数求导可得，其单调增区间满足，得，即增区间为，限定在范围内，则有故本题应填7.偶函数在上单调递减，且满足，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】利用偶函数的性质把不等式化为，然后利
3、用单调性求解【详解】是偶函数，原不等式可化为，又在上单调递减，解得故答案为【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，解这类函数不等式，需要利用奇偶性把不等式化为的形式，其中在的同一单调区间内，再由单调性去函数符号“”后求解8.函数在点处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】求出导函数，得，即切线斜率，然后可得切线方程【详解】由题意，又，所求切线方程为，即故答案为【点睛】本题考查导数的几何意义，函数在点处的切线方程是9.已知，则_.【答案】【解析】【分析】由已知求出，由二倍角公式得，把它转化为关于的代数式【详解】，故答案为【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式解题中注意“1”的
4、代换，利用“1”的代换可化的二次式为二次齐次式，从而可化为的代数式，这样解题可减少计算量10.若函数的图象关于点对称，也关于直线：对称，且的最小值为.已知函数的图象过点，则_.【答案】【解析】【分析】由两个对称性可得函数的周期，从而可求得的值，再由函数图象过点，求得，最终可求【详解】函数的图象关于点对称，也关于直线：对称，且的最小值为.，即，故答案为【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查三角函数的解析式属于基础题11.一家饮料厂生产甲、乙两种冲果汁饮料，甲种饮料的主要配方是每3份李子汁加1份苹果汁，乙种饮料的主要配方是李子汁和苹果汁各一半.该厂每天能获得的原料是李子汁和苹果汁，又厂方的利润
5、是生产甲种饮料得3元，生产乙种饮料得4元，那么厂方获得的最大利润是_元.【答案】10000【解析】【分析】设生产甲和饮料，生产乙种饮料，根据题意列出满足的不等关系，然后求【详解】设生产甲和饮料，生产乙种饮料，生产甲种饮料需要，李子汁和苹果汁，生产乙种饮料需要，李子汁和苹果汁，则，.利润，由，解得，作出可行域，如图四边形内部（含边界），作直线，平移直线，当点时，取得最大值10000故答案为10000.【点睛】本题考查简单的线性规划，解题时设出两个变量，列出满足的不等关系，即约束条件，同时表示目标函数，再根据线性规划的解题方法求得最优解12.在直角中，是斜边上的两个三等分点，已知的面积为2，则的最
6、小值为_.【答案】【解析】【分析】以为坐标原点，分别以，为、轴建立直角坐标系，设，由面积求得，即点坐标，计算出的坐标，再计算，最后利用基本不等式可得最小值【详解】如图，以为坐标原点，分别以，为、轴建立直角坐标系，设，当且仅当即时取“”，.故答案为.【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查基本不等式求最小值由于题中图形是直角三角形，因此建立平面直角坐标系，用坐标运算表示平面向量数量积可以减小思维量，减小难度13.若数列和满足，且数列中存在三个数经过适当排列后可以构成公比为的等数列，则_.【答案】【解析】【分析】由求出的可能值，然后再检验哪三个数可能构成等比数列，从而确定【详解】，则，可取18，-1
7、2，8这三项，.故答案为.【点睛】本题考查等比数列的性质，三个数非零实数成等比数列的充要条件是14.已知函数，则方程恰好有6个不同的解，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】令，作出图象，作出图像，通过图象分析解的各种情况【详解】令，作出图象，作出图像，时，有两根，设为，则，即，此时有2个根，此时有2个根，共4个根，不满足条件.时，解得或或6，即，无解，2解，2解，共4个解，不满足条件.时，有四个根，设为，其中，即，无解，无解，2解，2解，共4个解，不满足条件.时，有4个根，0，2，（），1解，1解，2解，2解，共6解，满足条件时，有3个根，设为，其中，即有2解，有2解，有2解，共6解
8、，满足条件.时，有两根和3，有2个根，有2个根，共4个根，不满足条件，综上.故答案为.【点睛】本题考查函数与方程根的分布问题，解题时可把复杂的方程简单化，如设，方程化为，这样可作出两个函数和的图象，由图象分析方程根的所有可能情形，从而得出结论数形结合思想是解这类问题的重要思想方法二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.如图，在直四棱柱中，点为的中点，点为的中点.求证：（1）平面；（2）.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由中位线定理证明即可；（2）直四棱柱中平面，从而，再由平行线的性质得.【详解】证明：（1）连接，四棱柱
9、为直四棱柱，四边形为平行四边形，为的中点，又为的中点，平面，平面，平面.（2）四棱柱为直四棱柱，平面，又平面，.又，.【点睛】本题考查线面平行的证明，以及线线垂直的证明.属于基础题.16.如图，设，是平面内相交成角的两数轴，分别与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.（1）设，求值；（2）若，计算的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量数量积的定义计算.（2）把模的运算转化为向量的平方，即向量的数量积计算.【详解】解：（1）.（2）.【点睛】本题考查向量数量积和向量的模.求向量的模一般可利用转化为向量的数量积运算.17.如图，在中，角，所对的
10、边分别为，于，点在边上（不与端点重合），且.（1）若，求的值.（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）把面积用两种方法表示出来建立边之间的关系，然后用正弦定理转化为角的关系后，可求得；（2）同（1）把面积用两种方法表示出来建立边之间的关系，得，再由余弦定理得，求出，用两角和的正弦公式化为一个角的一个三角函数，再由正弦函数性质得最大值，由基本不等式得最小值.【详解】解：（1）为边上的高，中由正弦定理得，.（2），当时取最大值，当且仅当时“”即的取值范围是.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查两角和的正弦公式、正弦函数的性质，基本不等式等知识，考查知识较多
11、，要求较高，属于中档题型.18.如图，在中，角，所对的边分别为，于，点在边上（不与端点重合），且.（1）若，求的值.（2）求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）把面积用两种方法表示出来建立边之间的关系，然后用正弦定理转化为角的关系后，可求得；（2）同（1）把面积用两种方法表示出来建立边之间的关系，得，再由余弦定理得，求出，用两角和的正弦公式化为一个角的一个三角函数，再由正弦函数性质得最大值，由基本不等式得最小值.【详解】解：（1）为边上的高，中的正弦定理可得.（2），当时取最大值，当且仅当时“”即，的取值范围是.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查两角和的
12、正弦公式、正弦函数的性质，基本不等式等知识，考查知识较多，要求较高，属于中档题型.19.为了丰富学生活动，在体育课上，体育教师设计了一个游戏，让甲、乙、丙三人各抓住橡皮带的一端，甲站在直角斜边的中点处，乙站在处，丙站在处.游戏开始，甲不动，乙、丙分别以和的速度同时出发，匀速跑向终点和，运动过程中绷紧的橡皮带围成一个如图所示的.（规定：只要有一人跑到终点，游戏就结束，且）.已知长为，长为，记经过后的面积为.（1）求关于的函数表示，并求出的取值范围；（2）当游戏进行到时，体育教师宣布停止，求此时的最小值.【答案】（1），其中时，时，.（2）最小值为【解析】【分析】（1）求出路程，从而可得，由勾股定
13、理得，以为轴建立平面直角坐标系，可得直线的方程，求出到直线的距离，即的高，从而可表示出其面积.计算两人分别走到所用时间，比较它们的大小，可得的取值范围.（2）由（1）得，利用导数求出其最小值.【详解】解：以为坐标原点，分别以、为、轴建立直角坐标系，则，则，为中点，则，秒后，直线方程为：，到距离，即，则，即，则，当时，当时，其中时，时，.（2），令得，当时，为单调递减，当时，为单调递增，当时取最小值，此时，答：此时最小值为.【点睛】本题考查函数的应用，解题关键是列出函数式，本题通过建立坐标系用解析法求点到直线的距离即三角形的高，这在图形是有垂直的直线时较方便，在求函数最值时，如果函数较复杂，可用
14、导数求最值.20.已知数列的前项和为，当时，满足.（1）求证：；（2）求证：数列为等差数列；（3）若，公差，问是否存在，使得？如果存在，求出所有满足条件的，如果不在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在，或.【解析】【分析】（1）已知条件是时，令可证结论；（2）已知条件变形，用累加的方法得，从而，把此式再写一次：当时，两式相减得：时，同时也适合此式，从而证明是等差数列；（3）由求得，让从2开始一一检验，看是否有，当然时，有，.【详解】（1）证明：时，令得，.（2）由，各式相加得，当时，由时，而，也满足上式，为等差数列.（3），公差为，当时，当时，当时，（舍），时，（舍
15、），当时，（舍），时，（舍），当时，（舍），当时，（舍），综上或.【点睛】本题考查等差数列的证明，由的递推关系证明数列是等差数列，由于已知式较复杂，因此关键是第一步的变形：，这样可用累加法求得，再由得（），然后说明前3项也适合此表示法，完成证明.这里涉及到与的关系，要注意在推理过程中的取值范围.21.已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）当,时，记的最小值为，求的最大值.【答案】（1）的单增区间为：，单减区间为.（2）【解析】【分析】（1）求导数，由导数确定函数的单调区间；（2）求导数，变形为：，令，在上单调递增，由，存在使.这个就是的最小值点，由，得，代入，即化为的函数，再用导数可求得得其最大值.【详解】解：（1）当时，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.综上可得：的单增区间为：，单减区间为.（2）令，在上单调递增，且，存在使.且当时，单调递减；当时，单调递增.，而，令，在上单调递增，当，时取到.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，研究函数的最值.单调性较方便，由确定增区间，由确定减区间.求最值时，由于有参数，因此需定性分析.对变形为，令，再用导数研究的单调性，确定它有零点，同时建立与的关系.表示出最小值，利用前面与的关系把此函数式化为一个变量，即可求得最大值.本题难度很大，对学生的分析问题解决问题的能力，对运算能力的要求都较高，属于困难题.
