1、绝密启用前2017年全国高等学校统一招生考试仿真模拟（二）数学试卷（理科）命题教师：周前珍 审题教师：袁芳考试时间：2017年5月24日15:0017:00 试卷满分：150分注意事项：1. 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.第卷1至3页，第卷3至6页.2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.若集合，则满足的集合的个数为（ ）A.
2、1 B. 2 C. 3 D. 42.若为实数且，则（ ）A B C. D. 3已知角终边与单位圆的交点为，则（ ） 4.已知数列的首项为1，公差为的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差不可能是（ ） A. 2 B 3 C. 4 D. 55若定义域为的函数不是奇函数，则下列命题中一定为真命题的是（ ） A B C D6.记不等式所表示的平面区域为D，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D.7.某程序框图如图所示，该程序运行结束时输出的S的值为 ( ) A. 1007 B. 1008 C.2016 D. 30248. 在体积为的球内有一个多面体，该多面体的三视图是如
3、图所示的三个斜边都是的等腰直角三角形，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 9.点在双曲线的右支上，其左、右焦点分别为，直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点，线段的垂直平分线恰好过点，则该双曲线的离心率为( )A.B.C.D.10.已知定义在区间上的单调函数满足：对任意的，都有，则在上随机取一个实数，使得的值不小于4的概率为（ ）A.B.C.D.11.过正方体的顶点A作平面，使棱所在直线与平面所成角都相等，则这样的平面可以作( ) A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个12.已知的内角，面积满足所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D. 第卷（非选择题共90分
4、）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，则 .14.若，则 .15.已知，若向量满足，则的取值范围是 .16定义：如果函数在定义域内给定区间 上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”， 是它的一个均值点如是上的平均值函数，就是它的均值点现有函数是区间上的平均值函数，则实数的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知数列是公差为的等差数列，数列满足若时，.（）求的通项公式；（）设，求的前项和.18.（本题满分12分）某种产品的质量以其质量指标衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：从某企业生产的
5、这种产品中抽取200件，检测后得到如下的频率分布直方图：（1）根据以上抽样调查的数据，能否认为该企业生产这种产品符合“一、二等品至少要占到全部产品的92的规定”？(2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（3）该企业为提高产品的质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值近似满足，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？19.（本小题满分12分）如图，在三棱台中，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）若平面，求平面与平面所成的角（锐角）的大小.20（本小题满分12分
6、）已知点在椭圆上，设分别为椭圆的左顶点、上顶点、下顶点，且点到直线的距离为（I）求椭圆的方程；（II）设为椭圆上的两点，且满足，求证：的面积为定值，并求出这个定值21.（本小题满分12分）已知函数，其中.(I)讨论的单调性；(II)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；(III)若关于的方程有两个正实根，求证：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线是以 为圆心，为半径的圆以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线（1）求曲线的参数方程与直
7、线的直角坐标方程；（2）直线与曲线相交于两点，求的周长.23. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数（1）若对任意的恒成立，求实数的最小值；（2）若函数求函数的值域.理科数学参考答案（二）DBABD DBBCC DA13.3 14.251 15. 17 解：（）由数列满足，当时，即，又因为数列是公差为2的等差数列，所以 . 3分 所以. . 6分（），.8分，整理（裂项） . 12分.19.证明：（1）在三棱台中，由为的中点可得 所以四边形为平行四边形，可得 在 中， 为的中点， 为的中点，所以 又 ，所以平面 平面 因为 平面 ，所以 平面 . 5分 （2）设 ，则 ，在三棱台中
8、，为的中点由 ，可得四边形 为平行四边形，因此 又平面 所以平面 在中，由 ，是中点，所以 因此 两两垂直,以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 . 7分所以 可得 故 设 是平面 的一个法向量，则由 可得 可得平面 的一个法向量因为 是平面 的一个法向量，. 10分所以 所以平面与平面所成的角(锐角)的大小为 . 12分 20【解析】 （1）由题意，得直线的方程为，点，点到直线的距离，整理，得 又点在椭圆上，所以 联立解得，所以椭圆的的方程为 (4分 )（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，并整理得， (6分 )又，则由题意，得，整理，得，则，整理，得（满足） （8分）又点到直线的距离，
9、 (10分 )（定值） (12分 )21(2)当为偶数时，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减.所以，在上单调递增，在上单调递减.4分(II)证明：设点的坐标为，则，曲线在点处的切线方程为，即，令，即，则由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为，所以当时，当时，所以在内单调递增，在内单调递减，所以对任意的正实数都有，即对任意的正实数，都有. 8分(III)证明：不妨设，由(II)知，设方程的根为，可得，当时，在上单调递减，又由(II)知可得.类似的，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，即对任意，设方程的根为，可得，因为在上单调递增，且，因此.由此可得.因为，所以，故，所以. 12分 22. 【解析】 （1）因为曲线C1是以C1(3，1)为圆心，以为半径的圆，所以曲线C1的参数方程为 (为参数).（3分）由直线C2的极坐标方程化为直角坐标方程得，即（5分）（2）因为圆心C1(3，1)到直线的距离为，（7分）所以直线C2被曲线C1截得的弦长AB|= . （9分）所以ABC1的周长为（10分）23. 【解析】 （1）对任意的x0恒成立，等价于对任意的x0恒成立，等价于对任意的x0.（2分）因为，当且仅当时取等号，所以，得所以实数的最小值为1. （5分）（2）因为，所以（7分）当时， 当时，.综上，.所以函数的值域为（10分）
