1、课时跟踪检测(三十五) 高考基础题型得分练1已知数列an的前n项和为Sn,且对任意的nN*有anSnn.(1)设bnan1,求证:数列bn是等比数列;(2)设c1a1且cnanan1(n2),求cn的通项公式(1)证明:由a1S11及a1S1得a1.又由anSnn及an1Sn1n1,得an1anan11,2an1an1.2(an11)an1,即2bn1bn.数列bn是b1a11为首项,为公比的等比数列(2)解:由(1)知2an1an1,2anan11(n2)2an12ananan1(n2),即2cn1cn(n2),又c1a1,2a2a11,a2.c2,即c2c1.数列cn是首项为,公比为的等比
2、数列cnn1.2已知数列an与bn,若a13且对任意正整数n满足an1an2,数列bn的前n项和Snn2an.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)求数列的前n项和Tn.解:(1)因为对任意正整数n满足an1an2,所以an是公差为2的等差数列又因为a13,所以an2n1.当n1时,b1S14;当n2时,bnSnSn1(n22n1)(n1)22(n1)12n1,对b14不成立所以数列bn的通项公式为bn(2)由(1)知,当n1时,T1;当n2时,所以Tn.当n1时仍成立,所以Tn.32017山东青岛模拟已知数列an是等差数列,Sn为an的前n项和,且a1028,S892;数列bn对任意nN*
3、,总有b1b2b3bn1bn3n1成立(1)求数列an,bn的通项公式;(2)记cn,求数列cn的前n项和Tn.解:(1)设等差数列an的公差为d,则解得所以an13(n1)3n2.因为b1b2b3bn1bn3n1,所以b1b2b3bn13n2(n2),两式相除得bn(n2)因为当n1时,b14适合上式,所以bn(nN*)(2)由(1)知cn,则Tn,Tn,所以Tn2,从而Tn23,即Tn7.42017山西太原一模已知数列an和bn满足a12,b11,2an1an,b1b2b3bnbn11(nN*)(1)求an与bn;(2)记数列anbn的前n项和为Tn,求Tn.解:(1)由a12,2an1a
4、n,得an2.由题意知,当n1时,b1b21,故b22;当n2时,bnbn1bn,即,所以bnn(nN*),当n1时也符合(2)由(1)知,anbn,Tn,Tn,Tn,故Tn8.冲刺名校能力提升练1设数列an的前n项和为Sn,且满足Sn2an3(nN*),设数列bn满足b1a1,bn(n2)(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设cn,求数列cn的前n项和Tn.解:(1)Sn2an3(nN*),当n2时,Sn12an13,两式相减得3an2an1,即.又当n1时,a12a13,a11,数列an是首项为1,公比为的等比数列,且ann1.当n2时,bn,两边取倒数得,b1a11,数列是首项为1,
5、公差为的等差数列,且1(n1),bn.(2)由(1)可知cnnn1,Tn123243(n1)n2nn1,Tn2233(n1)n1nn,得Tn12n1nn2(2n)n,Tn42(n2)n.22017山东临沂八校联考已知数列an是公差不为零的等差数列,a12,且a2,a4,a8成等比数列(1)求数列an的通项公式;(2)若bn(1)nan是等比数列,且b27,b571,求数列bn的前n项和Tn.解:(1)设数列an的公差为d(d0),因为a12,且a2,a4,a8成等比数列,所以(3d2)2(d2)(7d2),可得d2,故ana1(n1)d22(n1)2n.(2)令cnbn(1)nan,设数列cn
6、的公比为q,因为b27,b571,an2n,所以c2b2a2743,c5b5a5711081,所以q327,故q3,所以cnc2qn233n23n1,即bn(1)nan3n1,所以bn3n1(1)n2n.故Tnb1b2b3bn(30313n1)246(1)n2n,当n为偶数时,Tn2;当n为奇数时,Tn22n.所以Tn3函数f(x)对任意xR都有f(x)f(1x).(1)数列an满足:anf(0)ffff(1),数列an是等差数列吗?请给予证明;(2)令bn,Tnbbbb,Sn32,试比较Tn与Sn的大小解:(1)数列an是等差数列,证明如下:令x,得ff,即ff.anf(0)fff(1)又a
7、nf(1)fff(0),两式相加2anf(0)f(1)f(1)f(0),所以an,nN*.又an1an,故数列an是等差数列(2)bn,Tnbbb1616161632Sn,所以TnSn.42017云南第一次检测已知等比数列an的前n项和是Sn,S18S978.(1)求证:S3,S9,S6依次成等差数列;(2)a7与a10的等差中项是不是数列an中的项?如果是,是an中的第几项,如果不是,请说明理由(1)证明:设等比数列an的公比为q,若q1,则S1818a1,S99a1,S18S92178,q1.S18(1q18),S9(1q9),S18S91q9.1q9,解得q2.S3,S6,S9.S9S3,S6S9,S9S3S6S9.S3,S9,S6依次成等差数列(2)解:a7与a10的等差中项等于,设a7与a10的等差中项是数列an中的第n项,则a1(2)n1,所以4,解得n13.a7与a10的等差中项是数列an中的第13项