1、2014-2015学年江苏省无锡市梅村高中高二（上）第一次段考数学试卷一、填空题：（共14题，每题5分）1经过点（2，3）且与直线2x+y5=0垂直的直线方程为2y=4x2的焦点坐标为3椭圆+=1的右准线方程为4已知双曲线的渐近线方程为y=x，实轴长为12，它的标准方程为5已知直线l：y1=（x2），则过点P（2，1）且与直线l所夹的锐角为30的直线方程为6过原点及A（1，1），且在x轴上截得的线段长为3的圆方程为7三条直线xy+1=0，2x+y4=0，axy+2=0共有两个交点，则a=8求圆x2+y24x2y+3=0上到xy5=0的距离最近的点的坐标9已知F1、F2是椭圆C：（ab0）的两个
2、焦点，P为椭圆C上一点，且若PF1F2的面积为9，则b=10若圆O1：x2+y2=5，圆O2：（ xm）2+y2=5（mR）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为11已知点A的坐标是（1，1），F是椭圆+=1的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+|PF|的最小值为12直线y=k（x+1）与曲线y=5+有公共点，求k取值范围13椭圆的焦点F1、F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是14已知双曲线（a0，b0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是二解答题：（15，16每题1
3、4分；17，18每题15分； 19，20每题16分）15已知直线l：（2+m）x+（1+2m）y+43m=0（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；（2）过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程16已知方程x2+y22（m+3）x+2（14m2）y+16m4+9=0表示一个圆（1）求实数m的取值范围；（2）求该圆半径r的取值范围17已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a）（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；（2）若a=，求过点M的最短弦AC与最长弦BD所在的直线方程并求此时的SABCD18在平面直角坐标系xOy中，
4、平行于x轴且过点A的入射光线l1被直线l：反射，反射光线l2交y轴于B点圆C过点A且与l1、l2相切（1）求l2所在的直线的方程和圆C的方程；（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标19如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，短轴长是2（1）求a，b的值；（2）设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N设l1的斜率为k（k0），DMN的面积为S，当时，求k的取值范围20已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t0）在直线x=（a为长半轴，c为半焦
5、距）上（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线3x4y5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值2014-2015学年江苏省无锡市梅村高中高二（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（共14题，每题5分）1经过点（2，3）且与直线2x+y5=0垂直的直线方程为x2y+8=0考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系专题： 计算题分析： 设与直线2x+y5=0垂直的直线方程为 x2y+m=0，把点（2，3）代入可得 m 值，从而得到所求的直线方程解答： 解：设与直线2x+y
6、5=0垂直的直线方程为 x2y+m=0，把点（2，3）代入可得26+m=0，m=8，故所求的直线的方程为 x2y+8=0，故答案为：x2y+8=0点评： 本题考查用待定系数法求直线的方程，两直线垂直，斜率之积等于1，设出与直线2x+y5=0垂直的直线方程为 x2y+m=0 是解题的关键2y=4x2的焦点坐标为考点： 抛物线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 把y=4x2，化为，可得，即可得到焦点坐标解答： 解：y=4x2，解得因此抛物线的焦点为故答案为点评： 熟练掌握抛物线的标准方程及其性质是解题的关键3椭圆+=1的右准线方程为x=考点： 椭圆的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、
7、性质与方程分析： 由方程可得a2和b2，进而可得c值，右准线的方程为x=，代入化简可得解答： 解：由题意可得a2=25，b2=9，c=4，右准线的方程为：x=，故答案为：x=点评： 本题考查椭圆的准线方程的求解，属基础题4已知双曲线的渐近线方程为y=x，实轴长为12，它的标准方程为或考点： 双曲线的标准方程；双曲线的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 利用分类讨论思想和双曲线的性质求解解答： 解：双曲线的渐近线方程为y=x，实轴长为12，当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为=1，a0，b0，此时，解得a=6，b=4，双曲线方程为当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为=1，a
8、0，b0，此时，解得a=6，b=4，双曲线方程为故答案为：或点评： 本题考查双曲线的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用5已知直线l：y1=（x2），则过点P（2，1）且与直线l所夹的锐角为30的直线方程为x=2或xy2+=0考点： 直线的点斜式方程专题： 直线与圆分析： 当所求直线斜率存在时，直线l：y1=（x2），过点P（2，1）且与直线l所夹的锐角为30的直线的斜率k满足=tan30解出k，利用点斜式即可得出当所求直线斜率不存在时，直线x=2也满足条件解答： 解：当所求直线斜率存在时，直线l：y1=（x2），过点P（2，1）且与直线l所夹的锐角为30的直线
9、的斜率k满足=tan30解得k=此时直线的方程为：，化为xy2+=0当所求直线斜率不存在时，直线x=2也满足条件综上可得：直线方程为x=2或xy2+=0故答案为：x=2或xy2+=0点评： 本题考查了“到角公式”、点斜式、分类讨论思想方法，属于基础题6过原点及A（1，1），且在x轴上截得的线段长为3的圆方程为x2+y23x+y=0，或x2+y2+3x5y=0考点： 圆的标准方程专题： 计算题；直线与圆分析： 根据圆过原点设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey=0再由点A在圆上，可得D+E+2=0 再由0和3是x2+Dx=0的两个根、或者0和3是x2+Dx=0的两个根求得D=3，或D=3 再结合求得
10、对应的E的值，从而求得圆的方程解答： 解：根据圆过原点故可设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey=0再由点A在圆上，可得D+E+2=0 再由圆在x轴上截得的线段长为3，可得0和3是x2+Dx=0的两个根、或者0和3是x2+Dx=0的两个根求得D=3，或 D=3 ，由可得E=1，或E=5故所求的圆的方程为x2+y23x+y=0，或x2+y2+3x5y=0故答案为：x2+y23x+y=0，或x2+y2+3x5y=0点评： 本题主要考查用待定系数法求圆的方程，属于基础题7三条直线xy+1=0，2x+y4=0，axy+2=0共有两个交点，则a=1或2考点： 两条直线的交点坐标专题： 计算题分析： 由三条直
11、线共有两个交点，得到三线中有一定有两条平行，而xy+1=0与2x+y4=0不平行，得到xy+1=0和axy+2=0平行，或2x+y4=0和axy+2=0平行，由xy+1=0及2x+y4=0的斜率，即可得到a的值解答： 解：由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，而xy+1=0和 2x+y4=0不平行，xy+1=0和axy+2=0平行，或2x+y4=0和axy+2=0平行，xy+1=0的斜率为1，2x+y4=0的斜率为2，axy+2=0的斜率为a，a=1或a=2，故答案为：1或2点评： 本题考查两直线平行的性质，以及两直线的交点坐标，其中根据题意得出三线中一定有两直线平行，进而根据两直线平行，
12、得到其斜率相等是解题的关键8求圆x2+y24x2y+3=0上到xy5=0的距离最近的点的坐标（3，0）考点： 直线与圆的位置关系专题： 直线与圆分析： 把圆的方程化为标准形式，求得过圆心且与xy5=0垂直的直线的方程，再把此直线方程和圆的方程联立方程组，求得此直线和圆的交点的坐标，数形结合可得结论解答： 解：圆x2+y24x2y+3=0 即 （x2）2+（y1）2=2，圆心为C（2，1），半径为求得过圆心C且与xy5=0垂直的直线的方程为 y1=1（x2），即 x+y3=0由，求得，如图所示：故圆x2+y24x2y+3=0上到xy5=0的距离最近的点的坐标为（3，0），故答案为：（3，0）点评
13、： 本题主要考查直线和圆的位置关系，用点斜式去直线的方程，求两条曲线的交点坐标的方法，属于基础题9已知F1、F2是椭圆C：（ab0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且若PF1F2的面积为9，则b=3考点： 椭圆的应用；椭圆的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 利用PF1F2的面积=求解，能得到b的值解答： 解：由题意知PF1F2的面积=，b=3，故答案为3点评： 主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识10若圆O1：x2+y2=5，圆O2：（xm）2+y2=5（mR）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为考点： 圆与圆的位置关系及其判定专题： 直线与圆
14、分析： 由题意结合圆的切线性质可得O1AAO2，由勾股定理可得m的值，再用勾股定理求得AB的长度解答： 解：由题 O1（0，0）与O2：（m，0），根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得0|m|2再根据题意可得O1AAO2，m2=+=10，m=，AB=2=，故答案为：点评： 本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，圆的切线性质，属于基础题11已知点A的坐标是（1，1），F是椭圆+=1的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+|PF|的最小值为考点： 椭圆的简单性质专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 由椭圆方程求得椭圆的离心率和左准线方程，把|PF|转化为椭圆上的点到左准线的距离
15、，过A作左准线的垂线AB，则AB的长度即为所求解答： 解：由椭圆方程+=1作出椭圆如图，由a2=9，b2=5，得c2=4，c=2，由椭圆的第二定义可得，椭圆上的点到左焦点的距离|PF|与到左准线的距离的比值为e=，|PF|为椭圆上的点到左准线的距离，过A作AB左准线l与B，交椭圆于P，则P点为使|PA|+|PF|最小的点，最小值为A到l的距离，等于1+故答案为：点评： 本题考查了椭圆的第二定义，考查了椭圆的简单几何性质，体现了数学转化思想方法，是中档题12直线y=k（x+1）与曲线y=5+有公共点，求k取值范围1，5考点： 直线与圆的位置关系专题： 直线与圆分析： 直线y=k（x+1）经过定点
16、M（1，0），曲线即 （x2）2+（y5）2=4（y5），求得MA和MB的斜率，数形结合求得直线的斜率k的范围解答： 解：直线y=k（x+1）经过定点M（1，0），曲线y=5+，即 （x2）2+（y5）2=4（y5），表示一个半圆有公共点，如图所示：由于MA的斜率为=5，MB的斜率为=1，故直线y=k（x+1）的斜率k满足1k5，故答案为：1，5点评： 本题主要考查直线和圆的位置关系，直线过定点问题，直线的斜率公式，体现了数形结合的数学思想，属于基础题13椭圆的焦点F1、F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是考点： 椭圆的简单性质；椭圆的应用专题： 计算题分析：
17、设p（x，y），根据椭圆方程求得两焦点坐标，根据F1PF2是钝角推断出PF12+PF22F1F22代入p坐标求得x和y的不等式关系，求得x的范围解答： 解：如图，设p（x，y），则，且F1PF2是钝角x2+5+y210故答案为：点评： 本题主要考查了椭圆的简单性质和解不等式属基础题14已知双曲线（a0，b0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是2，+）考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题；压轴题分析： 若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率根据这个结论可以求出双
18、曲线离心率的取值范围解答： 解：已知双曲线 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ，离心率e2=，e2，故答案为：2，+）点评： 本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件二解答题：（15，16每题14分；17，18每题15分；19，20每题16分）15已知直线l：（2+m）x+（1+2m）y+43m=0（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；（2）过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程考点： 恒过定点的直线专题： 直线与圆分析： （1）将直线的方程：（2+
19、m）x+（1+2m）y+43m=0是过某两直线交点的直线系，故其一定通过某个定点，将其整理成直线系的标准形式，求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点（2）当斜率不存在时，不合题意；当斜率存在时，设所求的直线方程为y=k（x+），列出方程，进而得出交点解答： 解：（1）证明：m（x+2y3）+2x+y+4=0，由题意得直线l恒过定点M（）（2）解：设所求直线l1的方程为y=k（x+），直线l1与x轴、y轴交于A、B两点，则A（，0）B（0，）AB的中点为M，解得k=所求直线l1的方程为y=（x+），即：10x11y+77=0所求直线l1的方程为10x11y+77=0点评： 本题给出动直线恒过定点
20、，要我们求直线恒过的定点坐标，中点的坐标，着重考查了直线的方程及点与直线位置关系等知识，属于基础题16已知方程x2+y22（m+3）x+2（14m2）y+16m4+9=0表示一个圆（1）求实数m的取值范围；（2）求该圆半径r的取值范围考点： 二元二次方程表示圆的条件专题： 计算题分析： （1）将方程化为标准方程的形式，要得到方程为圆，则方程的右边大于0，可得不等式，解之可得到m的范围（2）可设r2=7m2+6m+1，在（1）求出的m的范围中，利用二次函数求最值的方法，可确定函数的值域解答： 解：（1）由方程x2+y22（m+3）x+2（14m2）y+16m4+9=0变形得：x（m+3）2+y+
21、（14m2）2=7m2+6m+1，当且仅当7m2+6m+10，即7m26m10时方程表示圆；所以m1时，该方程表示一个圆；（2）在m1时，设r2=7m2+6m+1，为开口向下的抛物线，r2=7m2+6m+1=点评： 本题以二元二次方程为载体，考查方程表示圆的条件，考查配方法求二次函数的最值，正确配方是关键17已知圆O：x2+y2=4和点M（1，a）（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；（2）若a=，求过点M的最短弦AC与最长弦BD所在的直线方程并求此时的SABCD考点： 圆的切线方程；直线与圆的位置关系专题： 计算题；直线与圆分析： （1）要求过点M的切线方程
22、，关键是求出切点坐标，由M点也在圆上，故满足圆的方程，则易求M点坐标，然后代入圆的切线方程，整理即可得到答案（2）当a=时，M（1，）在圆x2+y2=4内，由于圆内弦最长的即是圆的直径即BD为直径，而AC是过M且与BD垂直的弦，此时DB=4，圆心（0，0）到直线AC的距离d=，从而可得，AC=2，即可求出此时的SABCD解答： 解：（1）由条件知点M在圆O上，1+a2=4a=当a=时，点M为（1，），kOM=，此时切线方程为：y=（x1）即：x+y4=0；当a=时，点M为（1，），kOM=，此时切线方程为：y+=（x1）即：xy4=0所求的切线方程为：x+y4=0或即：xy4=0（2）当a=时
23、，M（1，）在圆x2+y2=4内，由于圆内弦最长的即是圆的直径即BD为直径，而AC是过M且与BD垂直的弦此时DB=4，圆心（0，0）到直线AC的距离d=，从而可得，AC=2，S=4点评： 本题考查的是圆的切线方程，即直线与圆方程的应用（求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点是否在圆上若在圆上，则该点为切点，若点P（x0，y0）在圆（xa）2+（yb）2=r2（r0）上，则 过点P的切线方程为（xa）（x0a）+（yb）（y0b）=r2（r0）；若在圆外，切线应有两条一般用“圆心到切线的距离等于半径长”来解较为简单若求出的斜率只有一个，应找出过这一点与x轴垂直的另一条切线18在平面直角坐标系
24、xOy中，平行于x轴且过点A的入射光线l1被直线l：反射，反射光线l2交y轴于B点圆C过点A且与l1、l2相切（1）求l2所在的直线的方程和圆C的方程；（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标考点： 直线和圆的方程的应用专题： 综合题分析： （）直线l1：y=2，设设l1交l于D，则D（2，2）由l的倾斜角为30知反射光线l2所在的直线方程为已知圆C与l1切于点A，设C（a，b），圆心C在过点D且与l垂直的直线上，知由此能求出圆C的方程（）设点B（0，4）关于l的对称点B（x0，y0），则，得固定点Q可发现，当B、P、Q共线时，PB+PQ最小，故PB+PQ
25、的最小值为BC3由此能求出 PB+PQ的最小值及此时点P的坐标解答： 解：（）直线l1：y=2，设l1交l于D，则D（2，2）l的倾斜角为30，l2的倾斜角为60，（2分），反射光线l2所在的直线方程为y2=（x2）即（4分）已知圆C与l1切于点A，设C（a，b），圆心C在过点D且与l垂直的直线上，（6分）又圆心C在过点A且与l1垂直的直线上，由得，圆C的半径r=3故所求圆C的方程为 （10分）（）设点B（0，4）关于l的对称点B（x0，y0），则，（12分）得固定点Q可发现，当B、P、Q共线时，PB+PQ最小，故PB+PQ的最小值为为BC3 （14分），得，最小值 （16分）点评： 本题主要
26、考查圆标准方程，简单几何性质，直线与圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想19如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，短轴长是2（1）求a，b的值；（2）设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N设l1的斜率为k（k0），DMN的面积为S，当时，求k的取值范围考点： 直线与圆锥曲线的综合问题专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）根据椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，短轴长是2，结合a2=b2+c2，即可求出a，b的值；（2）
27、设l1的方程为y=kx1，代入+y2=1，求出M的坐标，可得DM，用代k得DN，求出DMN的面积，可得=，利用，可得，从而可求k的取值范围解答： 解：（1）设椭圆C的半焦距为c，则由题意得，又a2=b2+c2，联立解得a=2，b=1 （4分）（2）由（1）知，椭圆C的方程为+y2=1，所以椭圆C与y轴负半轴交点为D（0，1）因为l1的斜率存在，所以设l1的方程为y=kx1，代入+y2=1，得M（，），从而DM= （6分）用代k得DN=所以DMN的面积S= （8分）则=，因为，即，整理得4k4k2140，解得k22所以0k22，即k0或0k从而k的取值范围为（，0）（0，）点评： 本题考查椭圆的
28、方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于中档题20已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M（2，t）（t0）在直线x=（a为长半轴，c为半焦距）上（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线3x4y5=0截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值考点： 圆与圆锥曲线的综合专题： 综合题；压轴题分析： （1）把M的横坐标代入准线方程得到一个关系式，然后由短半轴b和c表示出a，代入关系式得到关于c的方程，求出方程的解得到c的值，进而得
29、到a的值，由a和b的值写出椭圆的标准方程即可；（2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径，由以OM为直径的圆被直线3x4y5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x4y5=0的距离d，根据勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可确定出所求圆的方程；（3）设出点N的坐标，表示出，及，由，得到两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则表示出一个关系式，又，同理根据平面向量的数量积的运算法则得到另一个关系式，把前面得到的关系式代
30、入即可求出线段ON的长，从而得到线段ON的长为定值解答： 解：（1）又由点M在准线上，得故，c=1，从而所以椭圆方程为；（2）以OM为直径的圆的方程为x（x2）+y（yt）=0即其圆心为，半径因为以OM为直径的圆被直线3x4y5=0截得的弦长为2所以圆心到直线3x4y5=0的距离=所以，解得t=4所求圆的方程为（x1）2+（y2）2=5（3）设N（x0，y0），则，2（x01）+ty0=0，2x0+ty0=2，又，x0（x02）+y0（y0t）=0，x02+y02=2x0+ty0=2，所以为定值点评： 此题综合考查了椭圆的简单性质，垂径定理及平面向量的数量积的运算法则要求学生掌握平面向量垂直时满足的条件是两向量的数量积为0，以及椭圆中长半轴的平方等于短半轴与半焦距的平方和
