1、目标导航1了解数学归纳法的原理及一般步骤；2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；3能通过“归纳猜想证明”解决一些数学问题1 新知识预习探究 知识点一 数学归纳法概念一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：(1)归纳奠基：证明当 n 取第一个值 n0(n0N*)时命题成立；(2)归纳递推：假设 nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当 nk1 时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数n 都成立上述证明方法叫做数学归纳法.知识点二 图形表示 2 新视点名师博客数学归纳法证题的三个关键点1验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数
2、n0，这个 n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点2递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的过程中，要正确分析式子项数的变化关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由nk 到 nk1 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项3利用假设是核心在第二步证明 nk1 成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“nk 时命题成立”作为条件来导出“nk1”，在书写f(k1)时，一定要把包含 f(k)的式子写出来，尤其是 f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.3新课堂互动
3、探究考点一 用数学归纳法证明等式 例 1 用数学归纳法证明：1213 2235n22n12n1 nn122n1解析：(1)当 n1 时 12131223成立(2)假设当 nk 时等式成立即有 1213 2235k22k12k1 kk122k1，则 1213 2235k22k12k1k122k12k3 kk122k1k122k12k3k1k222k3，即当 nk1 时等式也成立由(1)(2)可得对于任意的 nN*等式都成立点评：用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，关键在于先“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关，由 nk 到 nk1 时，等式两边
4、会增加多少项；再“两凑”，将 nk1 时的式子转化成与归纳假设的结构相同的形式凑假设，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需的形式凑结论变式探究 1 用数学归纳法证明：112131412n1 12n 1n1 1n2 12n.证明：(1)当 n1 时，左边11212，右边12，命题成立(2)假设当 nk 时命题成立，即112131412k1 12k 1k1 1k2 12k，那么当 nk1 时，112131412k1 12k12k112k2 1k1 1k2 12k12k112k2 1k2 1k312k112k2.上式表明当 nk1 时命题也成立由(1)(2)知，等式对任意正整数 n 都成立.
5、考点二 用数学归纳法证明不等式例 2 证明不等式 1 12 13 1n2 n(nN*)解析：(1)当 n1 时，左边1，右边2.左边右边，不等式成立(2)假设当 nk(k1 且 kN*)时，不等式成立，即 1 12 13 1k2 k.则当 nk1 时，1 12 13 1k1k12 k1k12 k k11k1 k2 k121k12k1k1 2 k1.当 nk1 时，不等式成立由(1)(2)可知，原不等式对任意 nN*都成立点评：用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知 f(k)g(k)，求证f(k1)g(k1)时应注意灵活运用证明不等式的
6、一般方法(比较法、分析法、综合法)具体证明过程中要注意以下两点：(1)先凑假设，作等价变换；(2)瞄准当 nk1 时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论变式探究 2 用数学归纳法证明：122 132 142 1n211n(n2，nN*)证明：(1)当 n2 时，左式 12214，右式11212.因为1412，所以不等式成立(2)假设 nk(k2，kN*)时，不等式成立即 122 132 1421k211k，则当 nk1 时，122 132 1421k21k1211k1k121k2k1kk12 1 kk1kk121 1k1，所以当 nk1 时，不等式也成立综上所述，对任意 n2 的正整数，
7、不等式都成立.考点三 用数学归纳法证明整除问题例 3 证明：对任意 nN*，x2n1y2n1 能被 xy 整除证明：(1)当 n1 时，x211y211xy，能被 xy 整除，结论成立(2)假设 nk 时，x2k1y2k1 能被 xy 整除，则当 nk1时，x2k1y2k1x2k1x2y2k1x2y2k1y2k1x2(x2k1y2k1)(x2y2)y2k1，由归纳假设知 x2k1y2k1 能被 xy 整除，而 x2y2 也能被 xy 整除，所以 x2k1y2k1 能被 xy 整除，即当 nk1 时命题也成立由(1)和(2)知，命题对任意 nN*都成立点评：在推证 nk1 时，为了凑出归纳假设，
8、采用了“增减项”技巧，所以证明整除性问题的关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出 nk 时的情形，从而利用归纳假设使问题得证变式探究 3 已知 f(n)(2n7)3n9(nN*)，用数学归纳法证明 f(n)能被 36 整除证明：(1)当 n1 时，f(1)(27)3936，能被 36 整除(2)假设当 nk(kN*)时，f(k)(2k7)3k9 能被 36 整除，则当 nk1 时，f(k1)2(k1)73k19(2k7)3k123k19(2k7)3k323k193(2k7)3k92723k193(2k7)3k918(3k11)由于 3k11 是 2 的倍数，故18(3k11
9、)能被 36 整除，这就是说，当 nk1 时，f(n)也能被 36 整除根据(1)和(2)，可知对一切正整数 n，都有 f(n)(2n7)3n9能被 36 整除.考点四 用数学归纳法证明几何问题例 4 证明凸 n 边形的对角线的条数 f(n)12n(n3)(n4，nN*)解析：(1)当 n4 时，f(4)124(43)2，凸四边形有两条对角线，命题成立(2)假设 nk(k4 且 kN*)时命题成立即凸 k 边形的对角线的条数 f(k)12k(k3)(k4)，当 nk1 时，凸(k1)边形是在 k 边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设为 Ak1，增加的对角线是顶点Ak1 与不相邻顶点的连线再
10、加上原 k 边形一边 AiAk，共增加了对角线的条数为 k21k1.f(k1)12k(k3)k112(k2k2)12(k1)(k2)12(k1)(k1)3故当 nk1 时命题成立由(1)(2)知，对任意 n4，nN*，命题成立点评：(1)用数学归纳法证明几何问题时一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明(2)证明时的关键是确定由 nk 到 nk1 时对角线条数的增加量，解题时可先用 f(k1)f(k)得出结果，再结合图形给予严谨的说明变式探究 4 平面内有 n(nN*)个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这 n 个圆把平面分成 n2n2 个部分证明：(1)当 n
11、1 时，n2n22，即一个圆把平面分成两部分，故结论成立(2)假设当 nk(k1，kN*)时命题成立，即 k 个圆把平面分成 k2k2 个部分则当 nk1 时，这 k1 个圆中的 k 个圆把平面分成 k2k2个部分，第 k1 个圆被前 k 个圆分成 2k 条弧，这 2k 条弧中的每一条把所在的部分分成了 2 块，这时共增加 2k 个部分，故 k1 个圆把平面分成 k2k22k(k1)2(k1)2 个部分，即当 nk1 时命题也成立综上所述，对一切 nN*，命题都成立.考点五 归纳、猜想、证明例 5 数列an中，a11，a214，且 an1n1annan(n2)，求 a3，a4，猜想 an 的表
12、达式，并加以证明解析：a214，且 an1n1annan(n2)a3 a22a21421417，a4 2a33a3217317 110.猜想：an13n2(nN*)下面用数学归纳法证明猜想正确(1)当 n1,2 易知猜想正确(2)假设当 nk(k2，kN*)时猜想正确，即 ak13k2.当 nk1 时，ak1k1akkak k113k2k13k2k13k23k22k13k2k13k22k1k13k1k113k113k12nk1 时猜想也正确由(1)(2)可知，猜想对任意 nN*都正确点评：本题考查观察、分析、归纳、发现规律的能力，考查数学归纳法在等式证明中的应用这类题的基本思路是：在探讨某些问
13、题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，以形成解决问题的初步思路，然后用归纳的方法进行试探，提出猜想，最后用数学归纳法给出证明变式探究5 已知Sn为数列 114，147，1710，13n23n1的前 n 项和，计算 S1，S2，S3，根据计算结果，猜想 Sn 的表达式，并用数学归纳法进行证明解析：S1 11413114；S2 114 14713114 1417 13117；S3 114 147171013114 1417 17 110 131 110.猜想 Sn13113n1(nN*)下面用数学归纳法证明(1)当 n1 时，易知猜想正确(2)假设当 nk(k1，kN*)时猜想成立，即 Sk13
14、113k1.当 nk1 时，Sk1 114 147171013k23k113k13k413113k1 13k13k413113k1 1313k113k413113k4 13113k11当 nk1 时猜想也成立根据(1)、(2)，可知对 nN*，Sn13113n1 都成立.4 新思维随堂自测1.设 Sk 1k1 1k2 1k3 12k，则 Sk1 为()ASk12k2 BSk12k112k2CSk12k112k2DSk12k212k1解析：因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由Sk 1k1 1k2 12k，得 Sk1 1k2 1k3 12k12k112k1.由，得 Sk1Sk12k112k1 1k112k112k1.故 Sk1Sk12k112k1.答案：C2利用数学归纳法证明不等式 1121312n11324.证明：(1)当 n2 时，121 122 7121324，即不等式成立(2)假设当 nk(k2，且 kN*)时不等式成立，即 1k1 1k2 12k1324，则当 nk1 时，1k2 1k3 12k12k112k2 1k1 1k1132412k112k2 1k1132412k112k21324122k1k11324.当 nk1(k2，kN*)时不等式成立由(1)，(2)知，当 n2，且 nN*时，不等式成立.
