1、高二年级下学期第四次月考数学试卷（理科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】本题选择D选项.2.命题“若，则”的逆否命题为（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】A【解析】由逆否命题的定义知，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”.本题选择A选项.3.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】本题选择D选项.4.已知是等比数列，则公比等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】本题选择B选项.点睛：等
2、比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程5.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A. 46 B. 48 C. 50 D. 52【答案】B【解析】该几何体是如图所示的一个四棱锥P-ABCD，所以表面积为本题选择B选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注
3、意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和6.定义集合运算：，.设集合，则集合的所有元素的平均数为（ ）A. 14 B. 15 C. 16 D. 17【答案】A【解析】当x=0时，z=0；当x=3,y=1时，z=12；当x=3,y=2时，z=30.所以，集合中所有元素是平均数为本题选择A选项.7.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位【答案】A【解析】，即把的图象向左平移个单位即可得到.本题选择A选项.8.若实数，满足，且
4、，则的最大值为（ ）A. B. C. 9 D. 【答案】C【解析】画出可行域，知直线 过点 时有最大值，且 . 故选C.9.设是定义在上的函数，它的图象关于点对称，当时，（为自然对数的底数），则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】的图象关于点对称，令本题选择D选项.10.下图是函数求值的程序框图，若输出函数的值域为，则输入函数的定义域不可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得，当时，只有；当时，由可得，故所给函数的定义域可以为或或.本题选择C选项.点睛：解决程序框图问题要注意的三个常用变量计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如ii1.累加变量：用来计算
5、数据之和，如SSi；累乘变量：用来计算数据之积，如ppi.11.已知点是抛物线（）上一点，为其焦点，以为圆心，以为半径的圆交准线于，两点，为正三角形，且的面积是，则抛物线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意，如图可得及，可得，从而，由抛物线的定义知点A到准线的距离也为，又因为ABC的面积为，所以，解得p=8，故抛物线的方程为.本题选择C选项.12.设、分别是曲线（）与（）上一点，是以为直角顶点的直角三角形（其中为坐标原点），且斜边的中点恰好在轴上，则实数的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点恰好在y轴上，M
6、,N两点的横坐标互为相反数，设，由题意知有，整理得，易之是增函数，解得第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若且，则_【答案】11【解析】14.有6个人排成一排照相，要求甲、乙、丙三人站在一起，则不同的排法种数为_【答案】144【解析】把甲、乙、丙三人当做一个整体，与其他三个人进行排列有种排法，再把甲乙丙进行全排列有种排法，因此，不同的排法种数为.点睛：排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏15.设的内角，的对边分别为，已知的面积
7、为，且，则_【答案】2或【解析】由得由得或16.设函数，若恰有2个零点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：当时，函数没有零点由于至多有一个零点，的零点为，当时，这两个零点都不在上，所以不符合当时，有一个零点，所以，即；当时，有两个零点，所以的零点要大于或等于，即，综上所述，考点：分段函数图象与性质【思路点晴】本题主要是讨论分段函数零点的问题当时，这是一个单调递增的函数，所以至多有一个零点，所以对于时，至少要有一个零点，也即两个零点至少有一个是在上对参数分成三类进行分类讨论，求得的取值范围转化为指数式就是，要熟悉指数式和对数式互化三、解答题 （本大题共6小题，共70分解答应写出文字说
8、明、证明过程或演算步骤） 17.已知公差不为零的等差数列满足：，且是与的等比中项，（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，的前项和为，求证：.【答案】（1）.（2）见解析【解析】试题分析：(1)由题意得到关于首项、公差的方程组，求解方程组结合数列的通项公式可得.(2)裂项求和可得.试题解析：（1）解：设数列的公差为，由已知得即.（2）证明： ， .点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的18.据统计，截至2016年底全国微信注册用户数量已经突破9.27亿.为调查大学生这个微
9、信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从某市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：（1）求，的值及样本中微信群个数超过12的概率；（2）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过12的概率；（3）以（1）中的频率作为概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记表示抽到的是微信群个数超过12的人数，求的分布列及数学期望.【答案】（1）.（2）.（3）见解析【解析】试题分析：(1)利用频率分布表可得，.则微信群个数超过12的频率为.(2)由题意可得2人中恰有1人微信群个数超过12的概率为.(3)由题意可得的所有可能取值0，1，2，3.结合概率公式和二项分布的公式即可
10、求得分布列，然后求解数学期望可得. 试题解析：（1）在0至4个这一段，对应的频数为15，由已知得：，解得，.微信群个数超过12的频率为.（2）记“2人中恰有1人微信群个数超过12”为事件，则.所以，2人中恰有1人微信群个数超过12的概率为.（3）依题意可知，微信群个数超过12的概率为.的所有可能取值0，1，2，3.则，.其分布列如下：所以， ，或.19.如图，已知直三棱柱的底面是边长为4的正三角形，分别是，的中点，且.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）.【解析】试题分析：(1)由题意结合几何关系可证得平面，利用线面垂直的定义可证得.(2)建立空间直角坐标系，结合半
11、平面的法向量可求得二面角的余弦值是.试题解析：（1）证明：分别取，的中点，连结，是直三棱柱，且底面是正三角形，从而平面，又，分别是、和的中点，从而，为平行四边形，从而，平面，又，平面，从而.（2）解：由（1）知平面，由题意，设，则，代入得，设线段的中点为，以为坐标原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，得，则，面，平面的法向量为，设平面的法向量为，则，得，取，得，设二面角的平面角为，二面角的余弦值为.20.已知椭圆：（）经过点，离心率为，点为坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的左焦点任作一直线，交椭圆于，两点，求的取值范围.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分
12、析：(1)由题意利用待定系数法可得椭圆的标准方程是.(2)当直线的斜率不存在时；当直线的斜率存在时，联立直线与椭圆的方程，结合根与系数的关系和平面向量数量积的坐标运算可得，据此可得的取值范围是.试题解析：（1）因为，所以，从而，椭圆的方程为.（2），当直线的斜率不存在时，可得，此时；当直线的斜率存在时，设：,联立与，可得，所以， ，所以 ，因为，所以，从而，综上可得的取值范围是.21.已知函数，其中，曲线在点处的切线方程为.（1）求，的值；（2）设，求证：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)由题意得到关于实数a,b的 方程组，求解方程组可得；(2)结合(1)的结论，构造新函
13、数，利用新函数的特征即可证得题中的结论.试题解析：（1）因为，所以，解得.（2）证明：由（1）知，要证，即要证.设，则.设，则.令，得；令，得，所以，函数在上递减，在上递增.设曲线与轴的交点为，又，所以，且.因为当时，；当时，所以，.由于，所以，即.点睛：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，
14、圆的极坐标方程为.（1）写出直线的普通方程及圆的直角坐标方程；（2）点是直线上的点，求点的坐标，使到圆心的距离最小.【答案】（1），；（2）.【解析】试题分析：（1）由已知得，从而，由此能求出直线的普通方程；由，得，由此能求出圆的直角坐标方程；（2）圆圆心坐标，设，由此利用两点间距离公式能求出点的坐标，使到圆心的距离最小.试题解析：（1）由消去参数，得直线的普通方程为，由得，即圆的直角坐标方程为.（2），时最小，此时.考点：参数方程化为普通方程；简单曲线的极坐标方程.【方法点晴】本题考查直线的普通方程及圆的直角坐标方程的求法，考查直线上的点到圆心的距离最小的点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用；参数方程和普通方程的互化，由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等，利用将极坐标方程与直角坐标方程之间互化.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）设函数.,求的取值范围.【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：（1）当 时， ，得到不等式的解集；（2）不等式等价于 恒成立，根据三角不等式 ，即 求的取值范围.试题解析：（1）当时，等价于，即，解得，所以解集为. （2）当时，所以当时，等价于， 当时，等价于 ，无解 ；当时， 等价于 ，解得，所以的取值范围是.
