1、目标导航1了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；2体会导数的思想及其内容，并能运用其解决问题1 新知识预习探究知识点一 瞬时速度 做变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度用数学语言可描述为：若物体运动的位移与时间的关系是sf(t)，当t趋近于0时，函数f(t)在t0到t0t之间的平均变化率stft0tft0t趋近于常数，我们就把这个常数称为t0时刻的瞬时速度【练习1】一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s 18 t2，则t2 s时，此木块在水平方向的瞬时速度为()A2 B1C.12D.14解析：vli mt
2、0182t21822tli mt0 18t12 12，故选C.答案：C知识点二 导数 一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是li mt0yxli mt0fx0 xfx0 x.我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)，或y|0 xx，即f(x0)li mx0yxli mx0fx0 xfx0 x.【练习2】设函数f(x)1x，则li mxafxfaxa()A1a B.2aC 1a2 D.1a2解析：li mxafxfaxali mxa1x1axali mxaaxxaxali mxa1ax 1a2.答案：C2 新视点名师博客1.了解导数的概念需注意(1)x是自变量x在x0处的
3、改变量，所以x可正、可负，但不能为零当x0(或x0)时，x0表示x0 x从右边(或从左边)趋近于x0，y是相应函数的改变量，y可正、可负，也可以为零(2)导数是一个局部概念，它只与函数yf(x)在xx0处及其附近的函数值有关，与x无关(3)f(x0)是一个常数，即当x0时，存在一个常数与fx0 xfx0 x无限接近如果当x0时，limx0yx不存在，则称函数f(x)在xx0处不可导2求函数yf(x)在点x0处的导数的步骤(1)求函数值的增量yf(x0 x)f(x0)；(2)求平均变化率yxfx0 xfx0 x；(3)取极限，得y|0 xx f(x0)limx0yx.3 新课堂互动探究考点一 求
4、物体的瞬时速度 例1 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式为h(t)4.9t26.5t10，求运动员在t6598 s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况解析：令t06598，t为增量则ht0tht0t4.96598t 26.56598t 104.9659826.5659810t4.9t6549t 6.5tt4.96549t 6.5limt0ht0tht0tlimt0 4.96549t 6.5 0即运动员在t06598 s时的瞬时速度为0 m/s.说明运动员处于跳水运动中离水面最高点处点评：运动物体瞬时速度问题实际上是函数平均变化率在物理知识
5、上的一个深入的应用事实上，瞬时速度就是位移函数相对于时间的瞬时变化率这里需强调的是：依题意在求完平均变化率stst0tst0t后需对st求极限，只有当limt0st为一个常数时，此常数才称为物体在tt0时的瞬时速度变式探究1 如果质点M按照规律s(t)2t21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)求该质点在t3 s时的瞬时速度解析：令t03，t为增量，则st0tst0t23t212321t12t2t2t122t.limt0st0tst0tlimt0(122t)12，即质点在t3s时的瞬时速度为12 m/s.考点二 求函数在某点处的导数例2利用导数的定义，求函数y1x2在x1处的导数解析：y1
6、1x2 11211x21x2 2xx21x2，yx2x1x2，y|x1limx0yxlimx02x1x22.函数在x1处的导数为2.点评：yx 的最终结果要先化简约分，再令x0代入求出导数值变式探究2 若函数yx2ax在x2处的导数为8，求a的值解析：f(2)limx0f2xf2xlimx02x2a2x222axlimx0(x4a)4a.由题意知f(2)8，4a8.解得a4.考点三 导数定义的应用例3设函数yf(x)在xx0处可导，则li mx0fx0 xfx0 x()Af(x0)Bf(x0)Cf(x0)Df(x0)解析：li mx0fx0 xfx0 xli mx0fx0 xfx0 xli m
7、x0fx0 xfx0 x.由于函数yf(x)在xx0处可导，所以由导数的定义得li mx0fx0 xfx0 xf(x0)，故li mx0fx0 xfx0 xf(x0)答案：C点评：在导数的定义中，自变量的增量x有多种表达形式，不论采用哪种表达形式，y中自变量的增量x都必须用相应的形式，如将x变为mx，则yf(x0mx)f(x0)，只有这样，才有li mx0fx0mxfx0mxf(x0)变式探究3 若f(x0)2，则li mk0fx0kfx02k_.解析：根据导数定义，得f(x0)li mk0fx0kfx0k(这时xk)，li mk0fx0kfx02kli mk0 12fx0kfx0k12li
8、mk0fx0kfx0k12f(x0)1221.答案：14 新思维随堂自测1.设函数f(x)在xx0附近有定义，且有f(x0 x)f(x0)axb(x)2(a，b为常数)，则()Af(x)a Bf(x)bCf(x0)aDf(x0)b解析：f(x0)limx0fx0 xfx0 xlimx0(abx)a.答案：C2若函数yx1，则y|x0_.解析：y|x0limx0yxlimx00 x101xlimx011.答案：13设函数f(x)可导，则limx0f1xf13x_.解析：limx0f1xf13x13limx0f1xf11x1 13f(1)答案：13f(1)4已知函数f(x)在x0处的导数为f(x0)a，则li mx0fx0fx03x4x()A.43a B43aC.34a D34a解析：li mx0fx0fx03x4x34li mx0fx03xfx03x34f(x0)34a.答案：C
