1、高三年级第四次高考适应性考试数学（理科）能力测试命题人： 2019.12 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A=x|y=lg(x-3)，B=y|y=2x，xR，则AB等于（）A. B. RC. D. 2. 设，则（ ）ABCD3. 在中，则（ ）A 1BCD24.在等差数列中，若，是方程的两根，则的前11项的和为()A. 22B. C. D. 115. 若，则cos+sin的值为（）A. B. C. D. 6.设函数f（x）=ln（1+|x|）-，则使得f（x）f（2x-1）成立的x的取值范围是（ ）A. B. C. D. 7.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学
2、，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ）A. 48 B. 72 C. 90 D. 968.（x+y）（2x-y）5的展开式中的x3y3系数为（）A. B. C. 40D. 809.若双曲线C：（a0，b0）的一条渐近线被圆（x-2)2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A. 2B. C. D. 10. 直线与曲线有两个不同的交点,则实数的k的取值范围是 A. B. C. D. 11. 已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，=2（其中O为坐标原点），则ABO与AFO面积之和的最小值是（）A. 2B. 3C. D. 12. 设函数
3、f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)0，则a的取值范围是( )A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 采集到两个相关变量x，y的四组数据发别为（3，2.5），（4，m）（5，4），（6，4.5），根据这些数据，求得y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则m=_14. 函数f（x）的图象在x=2处的切线方程为2x+y-3=0，则f（2）+f（2）=_15. 已知A,B,C,D是同一球面上的四个点,其中是正三角形,平面ABC,则该球的体积为_ 16. 下列共有四个命题：（1）命题“”的否定是“xR，x2+13x”；（2
4、）在回归分析中，相关指数R2为0.96的模型比R2为0.84的模型拟合效果好；（3）a，bR，则p是q的充分不必要条件；（4）已知幂函数f（x）=（m2-3m+3）xm为偶函数，则f（-2）=4 其中正确的序号为_（写出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知函数f（x）=cos2x-sin2x+，x（0，）（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求ABC的面积18.某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法
5、，收集300名学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）（）应收集多少位女生的样本数据？（）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为： 0，2，（2，4，（4，6，（6，8，（8，10，（10，12，估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时每周平均体育运动时间超过4小时总计P（K2k0）0.10
6、0.05 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 附：K2=19.已知数列,满足,其中（I）求证：数列是等差数列,并求出数列的通项公式；（II）设,求数列的前n项和为20.如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD，且BAP=CDP=90（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，APD=90，求二面角A-PB-C的余弦值21. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（ab0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A （1）求该椭圆的方程： （2）过点D（，-）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值22.
7、 设，函数 时，求函数的单调区间； 若函数在区间上有唯一零点，试求a的值答案和解析选择题1.【答案】D 2.【答案】B 3.【答案】B 4.【答案】D 5.【答案】C 6 B 7. 【答案】D 8.【答案】C 9.【答案】A 10.【答案】A 11. B 12.D部分题目答案解析6 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键，属于中档题.根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论【解答】解：f(x)的定义域为R，,函数f（x）=ln（1+|x|）-为偶函数，且在x0时，f（x）=ln（1+x）-，而为x0时的单调递增函数，且
8、为x0时的单调递增函数，函数f（x）在0，+）单调递增，f（x）f（2x-1）等价为f（|x|）f（|2x-1|），即|x|2x-1|，平方得3x2-4x+10，解得：x1，所求x的取值范围是（，1）故选B.9.【答案】A本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力，属于基础题通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可解：曲线C：-=1（a0，b0）的一条渐近线不妨为：bx-ay=0，圆（x-2)2+y2=4的圆心（2，0），半径为2，由双曲线C：-=1（a0，b0）的一条渐近线被圆（x-2)2+y2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为h
9、=，又c2=a2+b2,解得：，可得e2=4，即e=2故选A10.【答案】A解：根据题意画出图形，如图所示：由题意可得：直线l过A（2，4），又曲线y=1+图象为以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d=r，即=2，解得：k=；当直线l过B(-2，1)点时，直线l的斜率为=，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为故选A11.【答案】B本题考查直线与抛物线关系及利用基本不等式求最值，属于基础题.可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题解：设直线AB
10、的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），由y2-ty-m=0，根据韦达定理有y1y2=-m，=2，x1x2+y1y2=2，结合及，得，点A，B位于x轴的两侧，y1y2=-2，故m=2不妨令点A在x轴上方，则y10，又，SABO+SAFO=2（y1-y2）+y1，=当且仅当，即时，取“=”号，ABO与AFO面积之和的最小值是3.故选B12.【D 【解答】解：设g（x）=ex（2x-1），y=ax-a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax-a的下方，g（x）=ex（2x-1）+2ex=ex（2x+1），当时，g（x）0，当
11、时，g（x）0，当时，g（x）取最小值，当x=0时，g（0）=-1，当x=1时，g（1）=e0，直线y=ax-a恒过定点（1，0）且斜率为a，故-ag（0）=-1且g（-1）=-3e-1-a-a，解得，故选D .填空题13.【答案】714. 【答案】-315.【答案】16.【答案】（2）（4）【解析】解：（1）命题“”的否定是“xR，x2+13x”，故错误；（2）在回归分析中，由定义可知，相关指数绝对值越接近1，相关性越强，相关指数R2为0.96的模型比R2为0.84的模型拟合效果好，故正确；（3）a，bR，则p是q的必要不充分条件，故错误；（4）已知幂函数f（x）=（m2-3m+3）xm为偶
12、函数，m2-3m+3=1，m=2，或m=1（舍去）则f（-2）=4故正确故答案为（2），（4）（1），（2）根据定义判断即可；（3）a，bR，p：ab，q：1b1a0，q能推出p，反之不行，则p是q的必要不充分条件；（4）根据幂函数的定义求出m值即可本题考查了存在命题，相关指数，幂函数，四种命题的定义，属于基础题型，应熟练掌握简答题17. 【答案】解：（1）函数f（x）=cos2x-sin2x+=cos2x+，x（0，），由2k-2x2k，kZ，解得k-xk，kZ，当k=1时，x，可得f（x）的单调递增区间为，）；（2）设ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，即
13、有cos2A+=0，解得2A=，即A=，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，化为c2-5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cosB=0，即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，ABC的面积为S=bcsinA=53=18 【答案】解：（）300=90，应收集90位女生的样本数据；（）由频率分布直方图可得1-2（0.100+0.025）=0.75，该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75；（）由（）知，300位学生中有3000.75=225人每周平均体育运动时间超过4小时，75人每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生
14、的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300K2=4.7623.841，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”19【答案】（I）证明：=，数列bn是公差为2的等差数列，又，bn=2+（n-1）2=2n，解得，（II）解：由（I）可得，数列cncn+2的前n项和为=，20【答案】解：（1）证明：BAP=CDP=90，PAAB，PDCD，ABCD，ABPD，又PAPD=P，且PA平面PAD，PD平面PAD，AB平面PAD，又AB平面PAB，平面PAB平
15、面PAD；（2）解：ABCD，AB=CD，四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB平面PAD，ABAD，则四边形ABCD为矩形，在APD中，由PA=PD，APD=90，可得PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，AB平面PAD，ADAB，ABOE，OE平面PAD，OEAD以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（），设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得AB平面PAD，AD平面PAD，ABPD，又PDPA，PAAB=A，PA平面PAB，AB平面PAB，
16、PD平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，cos=由图可知，二面角A-PB-C为钝角，二面角A-PB-C的余弦值为21 解：（1）由题意可知：椭圆+=1（ab0），焦点在x轴上，2c=2，c=1，椭圆的离心率e=，则a=，b2=a2-c2=1，则椭圆的标准方程：；（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（，0），当斜率不存在时，x=与椭圆只有一个交点，不合题意.由题意PQ的方程：y=k（x-）-，则联立方程，整理得：（2k2+1）x2-（4k2+4k）x+4k2+8k+2=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，则y1+y2=k（x1+x2）-2k-2=，则kAP+kAQ=
17、+=，由y1x2+y2x1=k（x1-）-x2+k（x2-）-x1=2kx1x2-（k+）（x1+x2）=-，kAP+kAQ=1，直线AP，AQ的斜率之和为定值1【解析】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆位置关系，韦达定理及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题（1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e=，求得a=，则b2=a2-c2=1，即可求得椭圆的方程；（2）则直线PQ的方程：y=k（x-）-，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的斜率之和为定值22 【答案】解：（1）函数f（x）=x2-2ax-2alnx，当a=1时，f（
18、x）=x2-2x-2lnx，（其中x0）；f（x）=2x-2-=，令f（x）=0，即x2-x-1=0，解得x=或x=（小于0，应舍去）；x（0，）时，f（x）0，x（，+）时，f（x）0；f（x）的单调减区间是（0，），单调增区间是（，+）；（2）f（x）=x2-2ax-2alnx，则f（x）=2x-2a-=，令f（x）=0，得x2-ax-a=0，a0，=a2+4a0，方程的解为x1=0（舍），x2=0；函数f（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+）上单调递增，f（x）的大致图象如图所示，则f（x）min=f（x2），若函数y=f（x）在区间（0，+）上有唯一零点，则f（x2）=0，而x2满足x22=ax2+a，f（x2）=ax2+a-2ax2-2alnx2=a（x2+1-2x2-2lnx2）=0，得1-x2-2lnx2=0，g（x）=2lnx+x-1在是单调递增的，g（x）至多只有一个零点，而g（1）=0，用x2=1代入x22-ax2-a=0，得1-a-a=0，解得a=【解析】（1）求出a=1时的f（x），利用导数f（x）判断f（x）的单调性，并求出单调区间；（2）求f（x）的导数f（x），利用导数判断f（x）的单调性，求出最值，利用最值等于0，求出a的值
