1、第十节 函数图像基础梳理1.函数作图的最基本途径：描点法描点法作图象分三步：_、_、_.即根据函数的定义域适当取值与函数值对应列出表格，而后在平面直角坐标系中描出相关点，再用平滑的曲线顺次连结，从而作出图象2.图象的变换(1)平移变换水平平移：y=f(xa)(a0)的图象，可由y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移_个单位得到；竖直平移：y=f(x)b(b0)的图象，可由y=f(x)的图象向_(+)或向_(-)平移_个单位得到连线列表描点ba上下(2)对称变换y=f(x)与y=f(-x)的图象关于_对称；y=-f(x)与y=f(x)的图象关于_对称；y=-f(-x)与y=f(x)的图象关
2、于_对称；y=f-1(x)与y=f(x)的图象关于_对称；y=|f(x)|的图象可由y=f(x)的图象在x轴下方的部分以_为对称轴翻折，其余部分_得到；y=f(|x|)的图象可将y=f(x)(x0)的部分作出，x0)的图象，可将y=f(x)的图象上的所有的点的横坐标_，纵坐标变为原来的_倍得到；y=f(ax)(a0)的图象，可将y=f(x)的图象横坐标变为原来的_倍，纵坐标不变得到A不变1a基础达标1.f(x)=x2+(a+2)x+3，xa，b的图象关于x=1对称，则a=_，b=_.2.为了得到函数的图象，可以把的图象向_平移_个单位12 2xy12xy-46解析：由题意知21426.12aa
3、abb 右1解析：1112 22xxy，故向右平移1个单位4.y=log3(x-1)的图象向右平移个单位，再把横坐标变为原来的，则函数表达式为_12123.函数y=f(x)的图象过点(1,1)，则函数f(4-x)的图象一定过定点_解析：由题意知f(1)=1，则f(4-3)=1，图象过点(3,1)(3,1)33log22yx解析：y=log3(x-1)y=log3=log3y=log3112x32x322x5.(2011无锡一中模拟)设函数y=f(x)的定义域在实数集上，则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于直线_对称.解析：因为y=f(x)，xR，而f(x-1)的图象是f(x)的图
4、象向右平移1个单位而得到的，又f(1-x)=f-(x-1)的图象是f(-x)的图象也向右平移1个单位而得到的，因为f(x)与f(-x)的图象是关于y轴(即直线x=0)对称，因此，f(x-1)与f-(x-1)的图象关于直线x=1对称x=1经典例题【例1】作出下列函数的图象(1)y=2x+1-1；(2)y=；(3)y=sin|x|；(4)y=|log2(x+1)|.题型一 作图23xx分析：(1)利用基本函数的图象进行变换作图，首先应将原函数式变形解析：(1)y=2x+1-1的图象可由y=2x的图象向左平移1个单位，得y=2x+1的图象，再向下平移一个单位得到y=2x+1-1的图象，如图1.(2)
5、，可见，原函数可由向左平移3个单位再向上平移1个单位而得，如图2.21133xyxx 1yx(3)当x0时，y=sin|x|与y=sin x的图象完全相同，又y=sin|x|为偶函数，其图象关于原点对称，如图3.(4)首先作出y=log2x的图象C1，然后将C1向左平移1个单位，得到y=log2(x+1)的图象C2，再把C2在x轴下方的图象作关于x轴对称的图象，即为所求图象C3：y=|log2(x+1)|，如图4.变式1-1 作出下列函数的图象(1)；(2)；(3)y=|log2x-1|；(4)y=2|x-1|.3|xyx21xyx解析：(1)首先化简解析式得利用二次函数的图象作出其图象，如图
6、.(2)，先作出的图象，将其图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即得到的图象，如图.(3)先作出y=log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y=|log2x-1|的图象，如图.22,0,0 xxyxx 311yx 3yx21xyx(4)先作出y=2x的图象，再将其图象在y轴左边的部分去掉，并作出y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y=2|x|的图象，再将y=2|x|的图象向右平移一个单位，即得y=2|x-1|的图象，如图.题型二 识图【例2】已知f(x)=ax-2，g(x)=loga|x|(a0且a1)，若f(4)g(-4)
7、0，则y=f(x)，y=g(x)在同一坐标系内的大致图象是_(填序号)分析：从条件f(4)g(-4)0上挖掘f(x)，g(x)在同一坐标系内的图象特征解：方法一：g(x)=loga|x|，g(-4)=g(4)，f(4)g(-4)0即f(4)g(4)0.观察图形发现、中f(4)，g(4)同号，而、中f(4)，g(4)异号故排除、.而图中，f(x)的底数a1，g(x)的底数0a1，故排除，所以答案为.方法二：由f(4)g(-4)0得f(4)g(4)0，f(4)=a20，g(4)=loga40，0a1.中f(x)的底a1，、中g(x)的底a1，故填.变式2-1(2011浙江杭州模拟)函数f(x)=l
8、oga|x|+1(0a1)的图象大致为_ 解析：作出函数y=logax(0a1)的图象，然后保留y轴右侧不变，再将y轴右侧对称到左侧，得y=loga|x|，再将所得图象向上平移一个单位，点(1,0)和(-1,0)变化为(1,1)和(-1,1)，故正确题型三 用图【例3】已知函数f(x)=|x2-4x+3|.(1)试写出函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；(2)求集合M=m|方程f(x)=mx有四个不相等的实根分析：由函数图象可以确定函数的单调性及单调区间，所以我们作出函数图象，利用图象来解决(1)；由方程、函数、不等式三者之间的关系可以结合函数图象很好地解决(2)解：当x2-4x+30，即
9、x3或x1时，f(x)=x2-4x+3；当x2-4x+30，即1x3时，f(x)=-x2+4x-3.所以则f(x)=|x2-4x+3|的图象如图1，由图知，函数f(x)在区间(-，1)、(2,3)上单调递减，在区间(1,2)、(3，+)上单调递增，即函数f(x)的单调减区间为(-，1)、(2,3)；单调增区间为(1,2)、(3，+)2221,1()21,13.xxf xxx (2)在同一坐标系中作出函数y=f(x)与y=mx的图象，由图2知：当直线y=mx与f(x)=-x2+4x-3(1x3)有两个公共点时，方程f(x)=mx有四个不同的实数根，下面求直线与y=-x2+4x-3(1x3)相切时
10、的m值：由mx=-x2+4x-3，即x2+(m-4)x+3=0，=(m-4)2-43=0，结合图象得m=4-2 ，所以当0m4-2 时，函数y=f(x)与y=mx的图象有四个不同的公共点，故M=m|0m4-2 333变式3-1(2011广东调研)若不等式|2x-m|3x+6|恒成立，求实数m的值解析：在同一坐标系中分别画出函数y=|2x-m|及y=|3x+6|(如图)由于不等式|2x-m|3x+6|恒成立，所以函数y=|2x-m|的图象应总在函数y=|3x+6|图象的下方，因此函数y=|2x-m|的图象也必经要过点(-2,0)，故m=-4.易错警示【例】把函数y=log2(3x-1)的图象先向
11、右平移 个单位，再把横坐标变为原来的，所得函数解析式为_1212错解1：把函数y=log2(3x-1)的图象向右平移 个单位得：再把横坐标变为原来的得：122215log31log(3)22yxx 1223log62yx错解2：把函数y=log2(3x-1)的图象向右平移 个单位得：再把横坐标变为原来的得：122215log3()1log(3)22yxx12225log2(3log(65)2yxx正解：把函数y=log2(3x-1)的图象向右平移个单位得：再把横坐标变为原来的 得：y=log2 .122215log31log322yxx562x121.(2010湖南改编)用mina，b表示a，
12、b两数中的最小值，若函数f(x)=min|x|，|x+t|的图象关于直线x=对称，则t的值为_知识准备：1.会作出y=|x|、y=|x+t|的图象；2.对函数图象画法、对称性要理解并掌握链接高考121解析：如图，要使f(x)=min|x|，|x+t|的图象关于直线x=-对称，则t=1.122.(2010山东改编)函数y=2x-x2的图象大致是_知识准备：函数y=2x与y=x2的图象和性质，知道y=2x增长的速度要快于y=x2增长的速度；2.函数y=2x-x2的零点可转化为y=2x与y=x2图象的交点 解析：在同一坐标系下画出y=2x与y=x2的图象，如图由图知，当x0时，有一个交点，当x0时，由于y=2x的增长速度要远远快于y=x2的增长速度，所以可看出在x0时有两个交点故y=2x-x2有三个零点，且每个零点两侧的函数值异号，于是排除，填.
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