1、单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编 专题十二 空间向量与立体几何 状元桥高考总复习（第二轮）理数 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第
2、三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编专题十二 空间向量与立体几何(见学生用书 P74)单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编(见学生用书 P74)1(1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a、b(b0)ab 的充要条件是存在实数，使 ab.(2)共面向量定理：如果两个向量 a、b 不共线，则向量 c 与向量 a、b 共面
3、的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使 cxayb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对于空间任意一个向量 p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使 pxaybzc.其中不共面的三个向量 a、b、c 叫做空间的一个基底，每一个向量 a、b、c 叫做基向量2若向量 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则有：(1)ab(a1b1，a2b2，a3b3)；单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击
4、此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编(2)ab(a1b1，a2b2，a3b3)；(3)ka(ka1，ka2，ka3)；(4)aba1b1a2b2a3b3；(5)距离公式：|a|a2 a21a22a23；(6)夹角公式：cosa，ba1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23；(7)aba1b1，a2b2，a3b3(R)或a1b1a2b2a3b3(b1b2b30)；(8)aba1b1a2b2a3b303异面直线所成的角直线 a、b 是异面直线，经过空间任意一点 O，分别引直线 aa，bb，则 a与 b所成的锐角或直角叫异面直线
5、所成的角4直线与平面所成的角平面的一条斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编5二面角从一条直线出发引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角，在两个半平面内分别作垂直于二面角 l 的棱 l 的射线 OA、OB，O 为垂足，则AOB叫做二面角 l 的平面角(见学生用书 P75)考点一 利用
6、空间向量证明空间线面关系考点精析直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线 l，m 的方向向量分别为 a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c3)，平面、的法向量分别为(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同)单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编(1)线面平行：l aa0a1a3b1b3c1c30.(2)线面垂直l
7、 aaka1ka3，b1kb3，c1kc3.(3)面面平行 v kva3ka4，b3kb4，c3kc4.(4)面面垂直 v v0a3a4b3b4c3c40.例 11 在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形，ACB90，EA平面 ABCD，EFAB，FGBC，EGAC，AB2EF.若 M 是线段AD 的中点，求证：GM平面 ABFE.单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级
8、 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编考点：直线与平面平行的判定分析：本题可利用条件中的平行和垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，然后用向量法证明证明：由四边形 ABCD 为平行四边形，ACB90，EA平面 ABCD，可得以点 A 为坐标原点，AC，AD，AE 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设 ACa，ADb，AEc，则 A(0，0，0)，C(a，0，0)，D(0，b，0)，M0，12b，0，B(a，b，0)，E(0，0，c)单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第
9、二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编由 EGAC 可得 EGAC(R)，GMGEEAAMa，12b，c，由 FGBC 可得 FGBC AD(R)，GM GFFEEAAM AD 12BA EA12AD 12a，（1）b，c，则 12，GM12BAEA，而 GM平面 ABFE，所以 GM平面 ABFE.点评：本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时，一是要熟记线面，面面垂直与平行的基本定理，同时，应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题单击此处编
10、辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编规律总结利用空间向量证明空间线面关系，在高考中，一般没有单独考查，往往将立体几何的解答题设置成一题两问或一题三问，其中有一问或两问为证明空间的线面关系，且没有明确规定要用空间向量方法求解，一般设置“一题两法”，即运用几何综合法和空间向量法都可以求解变式训练【11】如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E
11、、F 分别是 BB1、CD 的中点，求证：(1)AED1F；(2)D1F平面 ADE.单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编证明：不妨设已知正方体的棱长为 1 个单位长度，且以 DA，DC，DD1 所在射线为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系 Dxyz，则 D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，1)，F0，12，0，E1，1，12
12、.(1)AE0，1，12，D1F 0，12，1，AED1F 0，1，12 0，12，1 0，AED1F，即 AED1F.单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编(2)方法一 AD(1，0，0)，D1F 0，12，1，ADD1F(1，0，0)0，12，1 0，ADD1F，即 D1FAD.结合(1)得 D1F平面 ADE.方法二 AD(1，0，0
13、)，AE0，1，12，设平面 ADE 的法向量为 n(x，y，z)，则由nAD0，nAE0，得x0，y12z0，令 z2，可得 n(0，1，2)D1F 0，12，1 12n，D1F n，D1F平面 ADE.单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编考点二 空间角的计算考点精析1两条异面直线所成角设直线 a，b 的方向向量为 a，b，其夹角为，则
14、 cos|cos|ab|a|b|(其中 为异面直线 a，b 所成的角)2直线和平面所成角如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 的法向量为 n，直线 l 与平面 所成的角为，两向量 e 与 n 的夹角为，则有 sin|cos|en|e|n|.单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编3二面角(1)利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，
15、如图所示，m，n即为所求二面角的平面角(2)对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求如图所示，二面角 l，平面 的法向量为 n1，平面 的法向量为 n2，n1，n2，则二面角 l 的大小为 或.单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编例 21(2015福建卷)如图，在几何体 ABCDE 中，四
16、边形 ABCD 是矩形，AB平面 BEC，BEEC，ABBEEC2，G，F 分别是线段 BE，DC 的中点(1)求证：GF平面 ADE；(2)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值考点：直线与平面平行的判定，用空间向量求二面角分析：(1)考虑到 G 为 BE 中点，可取 AE 中点 H，证四边形 GFDH 为平行四边形，从而 GFDH.也可取 AB 中点 M.证平面 MGF平面 ADE，从而 GF平面 ADE.(2)本题不易作出二面角，故应建立空间直角坐标系，由向量法计算即可单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式
17、 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编解析：(方法 1)(1)证明：如图，取 AE 的中点 H，连结 HG，HD.又 G 是 BE 的中点，所以 GHAB，且 GH12AB.又 F 是 CD 的中点，所以 DF12CD.由四边形 ABCD 是矩形得，ABCD，ABCD，所以 GHDF，且 GHDF.从而四边形 HGFD 是平行四边形，所以 GFDH.又 DH平面 ADE，GF平面 ADE，所以 GF平面 ADE.单击此处编辑母版标题样式 单击此
18、处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编(2)如图，在平面 BEC 内，过 B 点作 BQEC.因为 BECE，所以 BQBE.又因为 AB平面 BEC，所以 ABBE，ABBQ.以 B 为原点，分别以BE，BQ，BA 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 A(0，0，2)，B(0，0，0)，E(2，0，0)，F(2，2，1)因为 AB平面 BEC
19、，所以BA(0，0，2)为平面 BEC 的法向量 设 n(x，y，z)为平面 AEF 的法向量又AE(2，0，2)，AF(2，2，1)，由nAE 0，nAF0，得2x2z0，2x2yz0，单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编取 z2，得 n(2，1，2)从而 cosn，BA nBA|n|BA|43223，所以平面 AEF 与平面 BEC
20、所成锐二面角的余弦值为23.(方法 2)(1)如图，取 AB 的中点 M，连结 MG、MF.又 G 是 BE 的中点，可知 GMAE.又 AE平面 ADE，GM平面 ADE，所以 GM平面 ADE.在矩形 ABCD 中，由 M，F 分别是 AB，CD 的中点得 MFAD.又 AD平面 ADE，MF平面 ADE，所以 MF平面 ADE.单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考
21、总复习数学(理科)LOGO第一编又因为 GMMFM，GM平面 GMF，MF平面 GMF，所以平面 GMF平面 ADE.因为 GF平面 GMF，所以 GF平面 ADE.(2)同方法 1.点评：建立合适的空间直角坐标系并准确求出相关点的坐标是解决问题的关键，属中档题规律总结高考立体几何的解答题，一般设置成一题两问(或三问)，第一问一般为空间线面关系的证明，在这里用几何综合法可能比空间向量法简洁，而第二问，一般为空间角的计算(主要是直线与平面所成角和二面角)，且一般设置为“一题两法”由于在新课标中，空间向量为理科必学内容，因此在这里有意向空间向量倾斜，即使用空间向量更为简单，更容易得分，而异面直线所
22、成角一般宜用空间向量方法求解，且主要以选择、填空题形式呈现单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编变式训练【21】(2015陕西卷)如图 1，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BAD2，ABBC1，AD2，E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点，将ABE沿 BE 折起到A1BE 的位置，如图 2.(1)证明：CD平面 A1OC
23、；(2)若平面 A1BE平面 BCDE，求平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角的余弦值解析：(1)在题图 1 中，因为 ABBC1，AD2，E 是 AD 的中点，BAD2，所以 BEAC.即在题图 2 中，BEOA1，BEOC，从而 BE平面 A1OC，又 CDBE，所以 CD平面 A1OC.单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编(2)因
24、为平面 A1BE平面 BCDE，又由(1)知，BEOA1，BEOC，所以A1OC 为二面角 A1BEC 的平面角，所以A1OC2.如图，以 O 为原点，建立空间直角坐标系，因为 A1BA1EBCED1，BCED，所以 B22，0，0，E 22，0，0，A10，0，22，C0，22，0，得BC 22，22，0，A1C 0，22，22，CD BE(2，0，0)设平面 A1BC 的法向量 n1(x1，y1，z1)，平面 A1CD 的法向量 n2(x2，y2，z2)，平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角为，单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑
25、母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编则n1BC 0，n1A1C 0，得x1y10，y1z10，取 n1(1，1，1)；n2CD 0，n2A1C 0，得x20，y2z20，取 n2(0，1，1)，从而 cos|cosn1，n2|23 2 63，即平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角的余弦值为 63.考点三 利用向量解决探索性问题考点精析探索性问题的解决办法一般是：假设存在，然后运用条件推理计算，若求出，且没有矛盾，则存在，问题解决
26、；若导出矛盾，则否定假设，说明不存在，单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编导出矛盾的过程就是说明理由的过程对于立体几何中的探索性问题，特别适合建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算进行求解例 31(2014湖北卷)如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F，M，N 分别是棱 AB，AD，A1B1，A1D1 的中点
27、，点 P，Q 分别在棱 DD1，BB1上移动，且 DPBQ(02)(1)当 1 时，证明：直线 BC1平面 EFPQ；(2)是否存在，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编考点：直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题分析：(1)建立坐标
28、系，求出BC1 2FP，可得 BC1FP，利用线面平行的判定定理，可以证明直线 BC1平面 EFPQ.(2)求出平面 EFPQ 的一个法向量、平面 MNPQ 的一个法向量，利用面 EFPQ与面 PQMN 所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论解析：(1)证明：以 D 为原点，射线 DA，DC，DD1 分别为 x，y，z 轴的正半轴，建立坐标系，如图所示 则 B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，)，单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级
29、第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编BC1(2，0，2)，FP(1，0，)，FE(1，1，0)当 1 时，BC1(2，0，2)，FP(1，0，1)，BC1 2FP，BC1FP.FP平面 EFPQ，BC1平面 EFPQ，直线 BC1平面 EFPQ.(2)设平面 EFPQ 的一个法向量为 n(x，y，z)，则FEnxy0，FPnxz0，取 z1，则 n(，1)同理可得平面 MNPQ 的一个法向量为 m(2，2，1)，若存在，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角，则
30、 nm(2)(2)10，1 22.存在 1 22，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查存在性问题，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用规律总结立体几何的探索性问题是近几年高考命题的热点问题，也是难点问题，且是区分度较大的问题
31、，因而是我们二轮复习重点突破的地方，这类问题往往伴随立体几何的动态问题变式训练【31】(2015湖北卷)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马 PABCD 中，侧棱 PD底面 ABCD，且 PDCD，过棱 PC单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编点评：本题考
32、查直线与平面平行的证明，考查存在性问题，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用规律总结立体几何的探索性问题是近几年高考命题的热点问题，也是难点问题，且是区分度较大的问题，因而是我们二轮复习重点突破的地方，这类问题往往伴随立体几何的动态问题变式训练【31】(2015湖北卷)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马 PABCD 中，侧棱 PD底面 ABCD，且 PDCD，过棱 PC单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母
33、版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编的中点 E，作 EFPB 交 PB 于点 F，连结 DE，DF，BD，BE.(1)证明：PB平面 DEF.试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为3，求DCBC的值解析：(方法 1)(1)因为 PD底面 ABCD，所以 PDBC.由底面 ABCD 为长方形，有 BCCD，而 PDCDD，所以 BC平面 PCD，而
34、DE平面 PCD，所以 BCDE.又因为 PDCD，点 E 是 PC 的中点，所以 DEPC.而 PCBCC，所以 DE平面 PBC.而 PB平面 PBC，所以 PBDE.又 PBEF，DEEFE，所以 PB平面 DEF.由 DE平面 PBC，PB平面 DEF，可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形，单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第
35、一编即四面体 BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB，DEF，EFB，DFB.(2)如图，在面 PBC 内，延长 BC 与 FE 交于点 G，则 DG 是平面 DEF 与平面 ABCD 的交线 由(1)知，PB平面 DEF，所以 PBDG.又因为 PD底面 ABCD，所以 PDDG，而 PDPBP，所以 DG平面PBD.故BDF 是面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的平面角 设 PDDC1，BC，有 BD 12，在 RtPDB 中，由 DFPB，得DPFFDB3，单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编
36、辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编而 tan3 tanDPFBDPD12 3，解得 2.所以DCBC 1 22.故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为3 时，DCBC 22.(方法 2)(1)如图，以 D 为原点，射线 DA，DC，DP 分别为 x，y，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 设 PDDC1，BC，则 D(0，0，0)，P(0，0，1)，B(，1，0)，C(0，1，0)，PB(，1，1)，因为点 E 是 PC 的中点，所以 E0
37、，12，12，DE 0，12，12，于是PBDE 0，即 PBDE.又已知 EFPB，而 DEEFE，单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编所以 PB平面 DEF.因PC(0，1，1)，DE PC0，所以 DEPC，所以 DE平面 PBC.由 DE平面 PBC，PB平面 DEF，可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体 BDE
38、F 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB，DEF，EFB，DFB.(2)由 PD平面 ABCD，知DP(0，0，1)是平面 ABCD 的一个法向量 由(1)知，PB平面 DEF，所以BP(，1，1)是平面 DEF 的一个法向量 若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为3，则 cos3 BPDP|BP|DP|122 12，解得 2，所以DCBC 1 22.故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为3 时，DCBC 22.单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第
39、五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编(见学生用书 P78)例 1 如图，在四棱锥 VABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD底面 ABCD.(1)证明：AB平面 VAD；(2)求二面角 AVDB 的余弦值的大小考场错解：(2)过 V 作 VOAD 于 O，过 O 作 OEAB 交 BC 于 E，由已知平面 VAD底面 ABCD，单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式
40、 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编VO底面 ABCD.以 OA、OV 分别为 x、z 轴建立空间坐标系，则分别算出 VAD 与 VBD 的法向量n1(0，1，0)，n21，1，33，cosn1n2 217.二面角的余弦值为 217.专家把脉：认为两平面的法向量的夹角等于二面角的大小，这是错误的，实际上法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补本题中 AVDB 为锐二面角，故它的余弦值为正对症下药：(1)平面 VAD平面 ABCD，ABAD，根据两面垂直的性质知 AB平面
41、 VAD.单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编(2)过 V 作 VOAD 于 O，过 O 作 DEAB 交 BC 于 E，由平面 VAD平面 ABCD，得 VO底面 ABCD.以 O 为原点，OA，DE，OV 为 x，y，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形 ABCD 的边长为 1，则 A12，0，0、B12，1，0、C1
42、2，1，0、D12，0，0、V0，0，32.由(1)知AB(0，1，0)为平面 VAD 的一个法向量，VB 12，1，32，BD(1，1，0)，单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编设 n(x，y，z)为平面 VDB 的一个法向量，由 nVB，得12xy 32 z0，由 nBD，得，xy0，令 x1，得 y1，z 33.cos AB，nAB
43、 n|AB|n|217.又由图形知二面角 AVDB 为锐二面角，所以二面角的余弦值为217.专家会诊：利用空间向量求二面角，先求两平面的法向量，利用向量的夹角公式求出两法向量的夹角，二面角的平面角与法向量的夹角相等或互补，具体是哪一种，一般有两种判断方法：(1)根据图形判断二面角是锐角还是钝角；(2)根据两法向量的方向判断实际上很多求二面角的题目，还是传统方法(如三垂线定理作出二面角的平面角)简单，或传统方法与空间向量相结合来解单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击
44、此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编例 2 如图，在三棱锥 PABC 中，ABBC，ABBCkPA，点 O、D 分别是 AC、PC 的中点，OP底面 ABC.(1)当 k12时，求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值的大小；(2)当 k 取何值时，O 在平面 PBC 内的射影恰好为PBC 的重心？考场错解：(1)PO底面 ABC，POOC，POOB，又 ABBC，O 为 AC 的中点，BOOC.以 O 为坐标原点，OB、OC、OP 所在直线为 x、y、z 轴建立如图空间直角坐标系，单击此处编辑母版
45、标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编设 AC2a，则 O(0，0，0)，C(0，a，0)，A(0，a，0)，P(0，0，7a)，B(a，0，0)，PA(0，a，7a)，PB(a，0，7a)，PC(0，a，7a)设 n(x，y，z)为平面 PBC 的一个法向量，由 nPB，得 ax 7az0，由 nPC，得 ay 7az0，令 x1，得 z 77，y1，n
46、1，1，77 为平面 PBC 的一个法向量，设 PA 与平面 PBC 所成的角为，则 cos|PAn|PA|n|21030.单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编专家把脉：公式记忆错误，其实质是未能把直线与平面所成的角与向量的夹角联系上，|PAn|PA|n|应为直线与平面所成角的正弦值对症下药：(1)由错解和错因知，设 PA 与平面 PBC
47、 所成的角为，则 sin|PAn|PA|n|21030，PA 与平面 PBC 所成的角的正弦值为 21030.(2)设 P(0，0，b)，则PB(a，0，b)，PC(0，a，b)，设 G 为PBC 的重心，则由重心坐标公式得 Ga3，a3，b3.由已知可知 OG平面 PBC，OG PC，OG PB，得 ab，即 POa，在 RtPOA 中，PA 2a，又 AB 2a，k1.当 k1 时，O 在平面 PBC 内的射影为PBC 的重心单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单
48、击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编专家会诊：求直线与平面所成角的公式为：sin|an|a|n|，其中 a 为直线上某线段所确定的一个向量，n 为平面的一个法向量，这个公式很容易记错，关键是理解有些学生从数形结合来看，认为 n 应过直线上某个点，这是错误的，这里 n 是平面的任意一个法向量，而且一个向量过某一个具体的点这种说法也是错误的单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级单击此处编辑书眉单.tif母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级高考总复习数学(理科)LOGO第一编专题十二 专题冲刺训练
