1、2015-2016学年江苏省无锡市江阴市青阳中学高一（下）期中数学试卷一填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分不需写出解答过程请把答案直接填写在答题纸相应位置上1直线x+y+1=0的倾斜角是2在ABC中，A=60，AC=3，AB=2，那么BC的长度为3数列an的前n项和Sn=2n23n（nN*），则a4=4若点（1，3）和（4，2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m的取值范围是5在平面直角坐标系xOy中，直线x+（m+1）y=2m与直线mx+2y=8互相垂直，则实数m=6数列an满足a1=3，=5（nN+），则an=7若数列an的通项公式为an=（1）n+1n，Sn是其前n项的和，则S
2、100=8已知x+2y=6，则2x+4y的最小值为9在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，B=30，b=2，则ABC的面积是10若公比不为1的等比数列an满足log2（a1a2a13）=13，等差数列bn满足b7=a7，则b1+b2+b13的值为11设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则的最小值为12ABC中，若sin（A）=，tan（+B）=，则cosC=13对于正项数列an，定义为an的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列an的通项公式为14设an是等比数列，公比，Sn为an的前n项和记设为数列Tn的最大项，则n0=二、解答
3、题：本大题共6小题，共90分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15设不等式x25x4的解集为A（）求集合A；（）设关于x的不等式x2（a+2）x+2a0的解集为M，若MA，求实数a的取值范围16在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+bc=b2+c2（1）求A的大小；（2）若b=2，a=，求边c的大小；（3）若a=，求ABC面积的最大值17已知直线l1：3x+2y1=0和l2：5x+2y+1=0的交点为A（1）若直线l3：（a21）x+ay1=0与l1平行，求实数a的值；（2）求经过点A，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程18设数列an的前n项
4、和为Sn，且满足Sn=2an，n=1，2，3，（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足b1=1，且bn+1=bn+an，求数列bn的通项公式；（3）设cn=n（3bn），求数列cn的前n项和为Tn19如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米观察者从距离墙x（x1）米，离地面高a（1a2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角ACB=（1）若a=1.5，问：观察者离墙多远时，视角最大？（2）若tan=，当a变化时，求x的取值范围20已知数列an满足an+1=an+t，a1=（t为常数，且t）（1）证明：an2t为等比数列；（2）当t=时，求数列an的前几项和最大？（3）当t=0
5、时，设cn=4an+1，数列cn的前n项和为Tn，若不等式2n7对任意的nN*恒成立，求实数k的取值范围2015-2016学年江苏省无锡市江阴市青阳中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分不需写出解答过程请把答案直接填写在答题纸相应位置上1直线x+y+1=0的倾斜角是【考点】直线的倾斜角【分析】利用倾斜角与斜率的关系即可得出【解答】解：设直线x+y+1=0的倾斜角为，（0，），tan=，故答案为：2在ABC中，A=60，AC=3，AB=2，那么BC的长度为【考点】余弦定理【分析】由已知及余弦定理即可求值【解答】解：在ABC中，A=60，AC=
6、3，AB=2，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB22ACABcosA=9+4232cos60=7BC=故答案为：3数列an的前n项和Sn=2n23n（nN*），则a4=【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式【分析】由题设条件，利用公式求解即可【解答】解：前n项和，a4=S4S3=（21634）（2933）=209=11故答案为：114若点（1，3）和（4，2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m的取值范围是5m10【考点】简单线性规划【分析】将点（1，3）和（4，2）的坐标代入直线方程，使它们异号，建立不等关系，求出参数m即可【解答】解：将点（1，3）和（4，2）的坐标代入直线方程，可
7、得两个代数式，在直线2x+y+m=0的两侧（5+m）（10+m）0解得：5m10，故答案为5m105在平面直角坐标系xOy中，直线x+（m+1）y=2m与直线mx+2y=8互相垂直，则实数m=【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】由两直线ax+by+c=0与mx+ny+d=0垂直am+bn=0解得即可【解答】解：直线x+（m+1）y=2m与直线mx+2y=8互相垂直m+2（m+1）=0m=故答案为：6数列an满足a1=3，=5（nN+），则an=【考点】数列递推式；等差数列的通项公式【分析】根据所给的数列的递推式，看出数列是一个等差数列，根据所给的原来数列的首项看出等差数列的首项，根
8、据等差数列的通项公式写出数列，进一步得到结果【解答】解：根据所给的数列的递推式数列是一个公差是5的等差数列，a1=3，=，数列的通项是故答案为：7若数列an的通项公式为an=（1）n+1n，Sn是其前n项的和，则S100=50【考点】数列递推式【分析】an=（1）n+1n，可得a2k1+a2k=（2k1）（2k）=1利用分组求和方法即可得出【解答】解：an=（1）n+1n，a2k1+a2k=（2k1）（2k）=1则S100=（a1+a2）+（a99+a100）=150=50故答案为：508已知x+2y=6，则2x+4y的最小值为16【考点】基本不等式【分析】根据基本不等式的性质，有2x+4y2
9、=2，将已知条件x+2y=6代入可得答案【解答】解：根据基本不等式的性质，有2x+4y2=2=2=16，当且仅当2x=4y即x=2y=3时取等号，2x+4y的最小值为16故答案为：169在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，B=30，b=2，则ABC的面积是【考点】解三角形【分析】根据正弦定理化简，得到a与c的关系式，由余弦定理表示出b2，把b和cosB以及a与c的关系式的值代入，得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值，进而得到a的值，利用三角形的面积公式，由a，c和sinB的值，即可求出ABC的面积【解答】解：由，根据正弦定理得：a=c，由余弦定理得：b2=a2+c22a
10、ccosB，即4=4c23c2=c2，解得c=2，所以a=2，则ABC的面积S=acsinB=22=故答案为：10若公比不为1的等比数列an满足log2（a1a2a13）=13，等差数列bn满足b7=a7，则b1+b2+b13的值为26【考点】等比数列的通项公式【分析】由题意和对数的运算可得a7，再由等差数列的性质可得答案【解答】解：公比不为1的等比数列an满足log2（a1a2a13）=13，log2（a1a2a13）=log2（a7）13=13log2a7=13，解得a7=2，b7=a7=2，由等差数列的性质可得b1+b2+b13=13b7=26故答案为：2611设x，y满足约束条件，若目
11、标函数z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则的最小值为【考点】简单线性规划的应用；基本不等式在最值问题中的应用【分析】先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a0，b0）过直线xy+2=0与直线3xy6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=故答案为：12ABC中
12、，若sin（A）=，tan（+B）=，则cosC=【考点】两角和与差的正弦函数【分析】由同角三角函数的基本关系可sinA和cosA，sinB和cosB，而cosC=cos（A+B）=sinAsinBcosAcosB，代值计算可得【解答】解：由题意可得sin（A）=sinA=，cosA=，又可得tan（+B）=tanB=sinB=，cosB=当cosA=时，cosC=cos（A+B）=sinAsinBcosAcosB=当cosA=时，A（，），由tanB=1可得B（，），此时两角之和就大于了，应舍去，故答案为：13对于正项数列an，定义为an的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列an的通
13、项公式为【考点】数列递推式【分析】根据“光阴”值的定义，及，可得a1+2a2+nan=，再写一式，两式相减，即可得到结论【解答】解：a1+2a2+nan=a1+2a2+nan=a1+2a2+（n1）an1=得=故答案为：14设an是等比数列，公比，Sn为an的前n项和记设为数列Tn的最大项，则n0=4【考点】等比数列的前n项和；等比数列的性质【分析】首先用公比q和a1分别表示出Sn和S2n，代入Tn易得到Tn的表达式再根据基本不等式得出n0【解答】解：=因为8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时Tn有最大值故答案为：4二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题纸指定区域内作答，
14、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15设不等式x25x4的解集为A（）求集合A；（）设关于x的不等式x2（a+2）x+2a0的解集为M，若MA，求实数a的取值范围【考点】一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用【分析】（I）求出不等式x25x4的解集确定出集合A，（II）若BA，求实数m的取值范围进要注意B是空集的情况，故此题分为两类求，是空集时，不是空集时，比较两个集合的端点即可【解答】解：（）原不等式即为x25x+4=（x1）（x4）0，所以1x4所以不等式的解集A=x|1x4（）不等式等价于（xa）（x2）0若a2，则M=a，2，要MA，只需1a2若a2，则M=2，a，要MA
15、，只需2a4若a=2，则M=2，符合MA综上所述，a的取值范围为1，416在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+bc=b2+c2（1）求A的大小；（2）若b=2，a=，求边c的大小；（3）若a=，求ABC面积的最大值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由已知及余弦定理可得cosA=，即可解得A（2）由（1）及余弦定理即可得解（3）由余弦定理可得：3=b2+c22bccosA=b2+c2bc，从而解得bc3，利用三角形面积公式即可得解【解答】解：（1）a2+bc=b2+c2，cosA=，A=（2）由（1）可得： =，整理可得：c22c+1=0，解得：c=1（3）a=，A=由
16、余弦定理可得：3=b2+c22bccosA=b2+c2bc，解得：bc3，=17已知直线l1：3x+2y1=0和l2：5x+2y+1=0的交点为A（1）若直线l3：（a21）x+ay1=0与l1平行，求实数a的值；（2）求经过点A，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的截距式方程【分析】（1）利用直线平行求出a，然后验证即可（2）求出A的坐标，设出方程，求出截距，化简求解即可【解答】解：（1）当a=2时，l3：3x+2y1=0，与l1重合，不合题意，舍去 （多一解扣1分）（2）由题知直线l的斜率存在且不为0，设l方程为y2=k（x+1）解得k=1或
17、k=2l的方程为y=x+1或y=2x（用截距式做漏解扣3分）18设数列an的前n项和为Sn，且满足Sn=2an，n=1，2，3，（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足b1=1，且bn+1=bn+an，求数列bn的通项公式；（3）设cn=n（3bn），求数列cn的前n项和为Tn【考点】数列的求和；数列的函数特性；等比数列的通项公式【分析】（1）利用数列中an与 Sn关系解决（2）结合（1）所求得出bn+1bn=利用累加法求bn（3）由上求出cn=n （3bn）=，利用错位相消法求和即可【解答】解：（1）因为n=1时，a1+S1=a1+a1=2，所以a1=1因为Sn=2an，即an+Sn
18、=2，所以an+1+Sn+1=2两式相减：an+1an+Sn+1Sn=0，即an+1an+an+1=0，故有2an+1=an因为an0，所以=（ nN*）所以数列an是首项a1=1，公比为的等比数列，an=（ nN*）（2）因为bn+1=bn+an（ n=1，2，3，），所以bn+1bn=从而有b2b1=1，b3b2=，b4b3=，bnbn1=（ n=2，3，）将这n1个等式相加，得bnb1=1+=2又因为b1=1，所以bn=3（ n=1，2，3，）（3）因为cn=n （3bn）=，所以Tn= = ，得=故Tn=8=8（ n=1，2，3，）19如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离
19、地面2米观察者从距离墙x（x1）米，离地面高a（1a2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角ACB=（1）若a=1.5，问：观察者离墙多远时，视角最大？（2）若tan=，当a变化时，求x的取值范围【考点】解三角形的实际应用【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围【解答】解：（1）如图，作CDAF于D，则CD=EF，设ACD=，BCD=，CD=x，则=，在RtACD和RtBCD中，tan=，tan=，则tan=tan（）=（x0），令u=，则ux22x+1.25u=0，上述方程有大于0
20、的实数根，0，即441.25u20，u，即（tan）max=，正切函数y=tanx在（0，）上是增函数，视角同时取得最大值，此时，x=，观察者离墙米远时，视角最大；（2）由（1）可知，tan=，即x24x+4=a2+6a4，（x2）2=（a3）2+5，1a2，1（x2）24，化简得：0x1或3x4，又x1，3x420已知数列an满足an+1=an+t，a1=（t为常数，且t）（1）证明：an2t为等比数列；（2）当t=时，求数列an的前几项和最大？（3）当t=0时，设cn=4an+1，数列cn的前n项和为Tn，若不等式2n7对任意的nN*恒成立，求实数k的取值范围【考点】数列递推式；数列的函数
21、特性【分析】（1）由已知得，由此能证明an2t是以为首项，以为公比的等比数列（2）当t=时，an+是以为首项，以为公比的等比数列，求出，由此能求出数列an的前几项和最大（3）当t=0时，an=，cn=4an+1=+1，从而Tn=4+n，由不等式2n7对任意的nN*恒成立，得到3k对任意的nN*恒成立，由此能求出实数k的取值范围【解答】证明：（1）数列an满足an+1=an+t，a1=（t为常数，且t），=，又a12t=，an2t是以为首项，以为公比的等比数列解：（2）当t=时，an+是以为首项，以为公比的等比数列，由0，解得n2数列an的前2项和最大（3）当t=0时，an是以为首项，以为公比的等比数列，an=，cn=4an+1=+1，数列cn的前n项和：Tn=4+n，不等式2n7对任意的nN*恒成立，3k对任意的nN*恒成立，设，由dn+1dn=，当n4时，dn+1dn，当n4时，dn+1dn，3k，解得k实数k的取值范围是）2016年7月23日
