1、江苏省扬州市邗江中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，每题只有一个选项符合要求）1.设集合，则= ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据并集的定义求解即可【详解】由题,则,故选：D【点睛】本题考查并集的定义,考查列举法表示集合,属于基础题2.函数（且）的图象恒过定点( )A. （0，4）B. （1，2）C. （-1，4）D. （-1，2）【答案】C【解析】【分析】令,可得,代入中,可得,即可求得定点【详解】由题,令,可得,则,所以定点为故选：C【点睛】本题考查指数型函数图象恒过定点问题,属于基础题3.若
2、函数 则f(log43)等于( )A. B. 3C. D. -3【答案】B【解析】【分析】可判断,代入即可【详解】由题,因为,所以故选：B【点睛】本题考查对数运算性质的应用,考查分段函数求值4.函数f（x）=lnx+2x-6的零点x0所在区间是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判断函数是连续增函数，利用函数的领导品牌定理，从而得到函数f（x）=lnx+2x-6的零点所在的区间【详解】连续函数f（x）=lnx+2x-6是增函数，f（2）=ln2+4-6=ln2-20，f（3）=ln30， f（2）f（3）0，故函数f（x）=lnx+2x-6的零点所在的区间为（2，3）， 故选
3、C【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题5.设，则( )A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】借助特殊值,利用指数函数,对数函数的单调性判断即可【详解】由题,则,故选：A【点睛】本题考查指数,对数比较大小问题,考查借助中间值比较大小,考查指数函数,对数函数的单调性的应用6.函数在区间上的最大值是5，最小值是1，则m的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用配方法可得,则,根据二次函数的对称性即可判断的范围【详解】由题,因为,且对称轴为,所以,因为在区间上的最大值是5,最小值是1,所以故选：B【点睛】本题考查已知二次函数最值求参数问题,
4、属于基础题7.是定义域为上的奇函数，当时，为常数），则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：因为是定义域为且是奇函数，所以，所以，故选D.考点：1、函数的奇偶性；2、分段函数的解析式.8.已知函数，则的递减区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】令，则是上的减函数，而的递增区间是，根据复合函数的同增异减原则知，的递减区间是，故选C.9.若，且角的终边与角的终边垂直，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先得到角的终边相同的角的集合为,因为角的终边与角的终边垂直,所以角的终边相同的角的集合为或,再根据确定角的值【详解】由题,设角的终边相同的角
5、的集合为,因为角的终边与角的终边垂直,则或所以角的终边相同的角的集合为或,因为,所以当时,或,故选：D【点睛】本题考查终边相同的角的应用,考查角的终边的位置关系10.某厂原来月产量为，一月份增产，二月份比一月份减产，设二月份产量为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因为一月份增产，所以一月份的产量为，又因为二月份比一月份减产，所以二月份产量为，故选C.考点： 阅读能力及数学建模思想的应用.11.已知幂函数，对任意，且，有，若函数（其中且）在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由幂函数定义及函数单调性可解得,即,则
6、,又由于在R上单调递增,可得,解出不等式即可【详解】因幂函数,所以,解得或,因为对任意,且,有,所以在单调递增,则,即,所以,则,所以,又因为在R上单调递增,所以,解得故选：A【点睛】本题考查幂函数的定义及幂函数的单调性的应用,考查分段函数已知单调性求参问题12.已知定义在上的函数 和的图象如图给出下列四个命题：方程有且仅有个根；方程有且仅有个根；方程有且仅有个根；方程有且仅有个根；其中正确命题的序号是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据图象可得 ，由于满足方程的有三个不同值，由于每个值对应了2个值，故满足的值有6个，即方程有且仅有6个根，故正确由于满足方程的有2个不同的值，从
7、图中可知， 一个的值在上，令一个的值在上当的值在上时，原方程有一个解；当的值在上时，原方程有3个解故满足方程的值有4个，故不正确由于满足方程 的有3个不同的值，从图中可知，一个等于0，一个，一个而当 时对应3个不同的x值；当时，只对应一个值；当时，也只对应一个值故满足方程的值共有5个，故正确由于满足方程的值有2个，而结合图象可得，每个值对应2个不同的值，故满足方程 的值有4个，即方程有且仅有4个根，故正确故选 D二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为_【答案】【解析】扇形的圆心角为，半径为，扇形的面积故答案为14.已知，则幂函数的图象不
8、可能经过第_象限【答案】二、四【解析】当或时，图象经过一、三象限，当时，图象经过第一象限，幂函数的图象不可能经过第二、四象限，故答案为二、四15.若，则的最大值是_【答案】【解析】【详解】对，等号两边同时取对数，得，即，利用换元法，令，则，代入，由二次函数的配方，即的最大值是，故答案为16.已知，函数在区间上的最大值是，则的取值范围是_【答案】【解析】由题意知，故，时，故符合题意；时 ，且， 故，故符合题意；时 ，且，故，故不符合题意；时，故不符合题意综上所述：的取值范围是，故答案为.【方法点睛】本题主要考查函数的解析式和函数的最值、以及分类讨论思想的应用.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问
9、题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.三、解答题（本大题共6小题，共70分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）利用指数幂的性质运算即可；（2）利用对数的性质运算即可详解】解：（1） （2）【点睛】本题考查利用指数幂,对数性质的运算问题,考查运算能力18.设全集，集合
10、，.（1）求和；（2）若，求实数的取值范围.【答案】(1) ， (2) 或【解析】【分析】（1）先解出A，然后进行交集、补集的运算即可；（2）根据题意可得CA可讨论C是否为空集，从而可求出实数a取值范围【详解】（1），（2）由知当时，即时，满足条件；当时，即时，且，综上，或【点睛】本题考查描述法定义，分式不等式的解法，交集、补集的运算，以及子集的定义考查了分类讨论的数学思想，属于中档题.19.已知角的终边上有一点P(x，1)(x0)，且tan x，求sin cos .【答案】或0【解析】【分析】利用三角函数的定义可得,则,分别讨论当和两种情况,再利用三角函数定义求解即可【详解】由题,因为,所以
11、,当时,为,则；当时,为,则,综上,或0【点睛】本题考查三角函数定义的应用,考查已知终边上一点求三角函数值,考查运算能力20.某辆汽车以千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求）时,每小时的油耗（所需要的汽油量）为升,其中为常数,且（1）若汽车以千米/小时的速度行驶时,每小时的油耗为升,欲使每小时的油耗不超过升,求的取值范围；（2）求该汽车行驶千米的油耗的最小值【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）将x=120代入每小时的油耗，解方程可得k=100，由题意可得，解不等式可得x的范围；（2）设该汽车行驶100千米油耗为y升，由题意可得换元令化简整理可得t的二次
12、函数，讨论t的范围和对称轴的关系，即可得到所求最小值【详解】（1）由题意可得当时,解得,由,即,解得,又,可得,每小时的油耗不超过9升,的取值范围为； （2）设该汽车行驶100千米油耗为升,则令,则，即有，对称轴为,由,可得,若即,则当,即时,；若即,则当,即时,答：当,该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升；当,该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升【点睛】本题考查函数模型在实际问题中的运用，考查函数的最值求法，注意运用换元法和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题21.已知函数为上的偶函数，为上的奇函数，且.（1）求的解析式；（2）若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围.【答案】（
13、1）；（2）.【解析】【分析】（1）由解之即可；（2）将函数的解析式代入化简，把函数在上只有一个零点的问题转化成方程的根的问题，然后利用指数、对数的运算性质进一步转化为方程，再通过换元法可变为方程只有一个正根的问题，最后分成方程有两相等正根、一正跟一负根和方程为一次方程三种情况讨论即可.【详解】（1） 因为，所以，即，由解之得：.（2） 进一步化简得，令得：，化简得：，令，则，即方程只有一个正根，当时，满足题意；当方程有一正一负两根时，满足条件，则，所以；当方程有两个相等的正根时，则，所以或（舍），时，满足条件.综上，实数的取值范围为：.【点睛】本题主要考查利用消元法求函数的解析式及指数、对数
14、方程根的问题通过换元法转化为整式方程根的问题，试题综合性较强，对运算能力要求较高，难度中等偏上.22.定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”增函数（1）若，(0，)，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；（2）若，R是“a距”增函数，求a的取值范围；（3）若，(1，)，其中kR，且为“2距”增函数，求的最小值【答案】（1）见解析； （2）； （3）.【解析】【分析】（1）利用“1距”增函数的定义证明即可；（2）由“a距”增函数的定义得到在上恒成立，求出a的取值范围即可；（3）由为“2距”增函数可得到在恒成立，从而得到恒成立，分类讨论可得到的取值范围，再由，可讨论出的最小值【详解】（1）任意,因为, 所以，所以，即是“1距”增函数（2）.因为是“距”增函数，所以恒成立，因为,所以在上恒成立，所以，解得，因为,所以.（3）因为，且为“2距”增函数，所以时，恒成立，即时，恒成立，所以，当时，即恒成立，所以, 得;当时，得恒成立，所以,得,综上所述，得.又，因为,所以，当时，若，取最小值为；当时，若，取最小值.因为在R上是单调递增函数，所以当，的最小值为；当时的最小值为，即 .【点睛】本题考查了函数的综合知识，考查了函数的单调性与最值，考查了恒成立问题，考查了分类讨论思想的运用，属于中档题
