1、数学试题（文）第I卷一、选择题1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将分式不等式化为整式不等式得到求解集，即为A的集合，进而求A在R上的补集【详解】由，有可得：或故，或故选：C【点睛】本题考查了补集，将分式不等式转化为整式不等式求解集，结合补集运算得到解集的补集2. 直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由直线方程为，可得斜率，设倾斜角，再根据即可得解.【详解】由直线方程为，可得斜率，设倾斜角，由可得：，又因为，可得：，故选：A.【点睛】本题考查了斜率和倾斜角的关系，考查了利用斜率求倾斜角，计算量不大，属于基础题.3. 若，则
2、的最大值为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】利用均值不等式即可得到结果【详解】解：02x3，32x0，x0，（32x）x（32x）2x，当且仅当32x2x，即x时取等号，的最大值为故选D【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属基础题4. 三国时期赵爽在勾股方圆图注中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如下图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（ ）.A. 如果，那么B. 如果，那么C. 对任意实数和，有，当且仅当时等号成立D. 如果，那么【答案】C【解析】【分析】将赵爽弦图中的直角三角形的两直角边长度取作，分别求出正方形的面积，以及四个直角三角形的
3、面积，即可得出结果.【详解】将赵爽弦图中的直角三角形的两直角边长度取作，斜边为，则外围的正方形的面积为，即；四个阴影部分面积之和刚好为，对任意的正实数和，有，当且仅当时等号成立.故选：C.【点睛】本题主要考查基本不等式的推导，熟记基本不等式即可，属于常考题型.5. 已知圆的方程为，则圆的半径为（ ）A. 3B. C. D. 4【答案】B【解析】【分析】把圆的一般方程化为标准方程，即可得出圆的半径.【详解】将一般方程化为标准方程得， 圆的半径为：.故选：B.【点睛】本题考查了圆的方程，通过配方把一般式化为标准式即可得出圆的圆心和半径.6. 已知直线与直线平行，则实数的值是（ ）A. 0B. C.
4、 1D. 【答案】C【解析】【分析】进行和讨论，若，则，解得：或，再进行检验即可得解.详解】若，显然两直线不平行，若，则解得：或，经检验时，两直线重合，故.故选：C.【点睛】本题考查了两直线的平行，考查了直线平行公式，其中关键点是检验两直线是否重合，本题计算量不大，属于基础题.7. 若图中的直线、的斜率分别为、则（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由直线的倾斜角与斜率的变化关系可得选项.【详解】由于直线的倾斜角为钝角，所以；由于直线的倾斜角为锐角，且的倾斜角小于的倾斜角，所以，所以.故选：A.【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题.8. 已知：点，则线段的中垂线
5、方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出的中点坐标，及直线的斜率可得中垂线的斜率，然后可得中垂线方程【详解】由已知中点坐标为，即，线段中垂线方程为，化简得故选：A【点睛】本题考查求直线方程，考查两直线垂直的条件，掌握两直线垂直的条件是解题关键9. 若，为正实数，直线与直线互相垂直，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，求得，化简，结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意，正实数，直线与直线互相垂直，可得，即，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：D【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系，以及利用基本不等式求最小
6、值，其中解答中结合“1”的代换，熟练利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10. 已知直线xmy1m0在两坐标轴上的截距相等，则实数m（ ）A. 1B. 1C. 1D. 1或0【答案】C【解析】分析】根据题意，可分直线过原点和不过原点，两种情况讨论，即可求解.【详解】由题意，直线在两坐标轴上的截距相等，当直线过原点时，此时在坐标轴上的截距都为零，则，解得；当直线不过原点时，要使得在坐标轴上的截距相等，此时直线的斜率为，即，解得，综上可得，实数.故选：C.【点睛】本题主要考查了直线方程，以及直线的截距的概念及应用，其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距的概念，列出相应的方程是解答的
7、关键，着重考查运算与求解能力.11. 已知直线：，：，以下结论不正确是（ ）A. 不论为何值时，与都互相垂直B. 当变化时，与分别经过定点和C. 不论为何值时，与都关于直线对称D. 如果与交于点M，则的最大值是【答案】C【解析】【分析】利用直线垂直，系数满足即可判断A；根据直线过定点与系数无关即可判断B； 在上任取点，关于直线对称的点的坐标为，代入，左边可得不恒为，从而可判断C；将两直线联立求出交点，在利用两点间的距离公式即可求解.【详解】对于A，恒成立，与都互相垂直恒成立，故A正确；对于B，直线，当变化时，恒成立，所以恒过定点；，当变化时，恒成立，所以恒过定点，故B正确.对于C，在上任取点，
8、关于直线对称的点的坐标为，代入，得，不满足不论为何值时，成立，故C不正确；对于D，联立，解得，即，所以，所以的最大值是，故D正确.故选：C.【点睛】本题考查了直线垂直时系数之间的关系、直线过定点问题、直线关于直线对称问题、两直线的交点、两点间的距离公式，考查了考生的计算求解能力，综合性比较强，属于中档题.12. 已知两点，动点在直线上运动，则的最小值为（ ）A. B. C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形求出点关于直线的对称点，则即为的最小值.【详解】根据题意画出图形，如图所示：设点关于直线的对称点，连接，则即为的最小值，且.故选：.【点睛】本题考查了动点到定点
9、距离之和最小值问题，解题方法是求出定点关于直线对称的点坐标，然后运用两点之间的距离公式求出最值.第II卷二、填空题13. 已知实数x，y满足不等式组，则zx+y的最小值为_【答案】【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的及其内部，再将目标函数对应的直线进行平移，可得当时，取得最小值【详解】解：作出不等式组表示的平面区域：得到如图的阴影部分，由解得设，将直线进行平移，当经过点时，目标函数达到最小值，故答案为：【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题14. 已知直线过点且与以，为端点的线段有公共
10、点，则直线倾斜角的取值范围为_【答案】【解析】【分析】结合函数的图像，求出端点处的斜率，从而求出斜率的范围，进而求出倾斜角的范围即可.【详解】解：如图所示：设直线过点时直线的斜率为，直线过点时直线的斜率为，则，所以要使直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为：,所以倾斜角的取值范围.故答案为：.【点睛】本题考查了求直线的斜率问题，斜率与倾斜角的关系，考查数形结合的思想，是一道基础题.15. 已知直线的方程为，直线的方程为，则直线与的距离为_.【答案】【解析】【分析】化简直线的方程为，结合两平行线间的距离公式，即可求解.【详解】由题意，直线的方程，可化为，根据两平行线间的距离公式，可得直线与
11、的距离为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了两平行线间的距离公式及其应用，其中解答中合理化简直线方程，熟记两平行线间的距离公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.16. 经过二次函数与坐标轴的三个交点的圆的方程为_.【答案】【解析】【分析】求出二次函数与坐标轴的三个交点，设圆的方程为，由三个交点在圆上列出方程组求解a、b、r，即可写出圆的方程.【详解】令，则；令，则或，所以二次函数与坐标轴的三个交点为、，设圆的方程为，则，减得，减得，代入得，代入可得，所以，则圆的方程为.故答案为：【点睛】本题考查圆的方程，根据圆过的点求解圆的方程，属于基础题.三、解答题17. 已知和.（1）求过点A且与直线
12、l平行的直线方程；（2）求点A关于直线的对称点B的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设所求直线的方程为，再把代入即可. （2）由及线段的中点在直线上可得方程组，解方程组即可.【详解】解：（1），将点代入，得，故所求直线的方程为. （2）设，直线的斜率为2，线段的中点，则由及线段的中点在直线上可得，解得，所以点的坐标为.【点睛】考查与已知直线平行的直线的求法以及求已知点的轴对称点的坐标的方法，中档题.18. 已知圆，直线（1）求圆的圆心坐标和半径；（2）若直线与圆相切，求实数的值【答案】（1）圆心坐标为，半径为；（2）或.【解析】【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，可得出圆的
13、圆心坐标和半径；（2）利用圆心到直线的距离等于半径，可得出关于的等式，进而可解得实数的值.【详解】（1）圆的方程化为标准方程为：，故圆的圆心坐标为，半径为;（2）圆心到直线的距离为，整理得，解得，故实数的值为或【点睛】本题考查圆心坐标与半径的求解，同时也考查了利用直线与圆相切求参数，考查计算能力，属于基础题.19. 已知点，求（1）过点A,B且周长最小的圆的方程； （2）过点A,B且圆心在直线上的圆的方程【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)当为直径时，过的圆的半径最小，从而周长最小，进而求得圆心的坐标和圆的半径，即可得到圆的方程 (2) 解法1：的斜率为时，则的垂直平分线的方程，进而求
14、得圆心坐标和圆的半径，得到圆的标准方程；解法2：设圆的方程为：，列方程组，求得的值，即可得到圆的方程【详解】(1)当AB为直径时，过A、B的圆的半径最小，从而周长最小即AB中点(0,1)为圆心，半径r|AB|.则圆的方程为：x2(y1)210.(2) 解法1：AB的斜率为k3，则AB的垂直平分线的方程是y1x.即x3y30由圆心在直线上得两直线交点为圆心即圆心坐标是C(3,2)r|AC|2.圆的方程是(x3)2(y2)220.解法2：待定系数法设圆的方程为：(xa)2(yb)2r2.则圆的方程为：(x3)2(y2)220.【点睛】本题主要考查了圆的标准方程的求解，其中熟记圆的标准方程和根据题设
15、条件，求解圆的圆心坐标和圆的半径是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力20. 已知直线：（1）求证：不论m为何实数，直线恒过一定点M；（2）过定点M作一条直线，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线的方程【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）将直线l整理得：，由题意得出，得出定点的坐标；（2）设出直线的方程，求出其与坐标轴的交点坐标，结合题意，列出方程，即可得出直线的方程.【详解】（1）证明：直线l整理得：令解得：则无论m为何实数，直线l恒过定点 （2）由题意可知，当直线的斜率不存在或等于零时，显然不合题意设直线的方程为令，则；令，则即直线与坐
16、标轴的交点为由于过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间线段被M点平分则点为线段中点，即，解得则直线l1的方程为，即【点睛】本题主要考查了求直线过定点以及求直线方程，属于中档题.21. 已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为，且被直线截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）过点作圆的切线，求切线方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）设圆心坐标，表示出圆心到直线距离，根据弦长公式，列方程求解；（2）分类讨论当斜率不存在和斜率存在两种情况结合圆心到直线距离等于半径，分别求切线方程.【详解】解：（1）设圆心则圆心到直线的距离.因为圆被直线截得的弦长为.解得或（舍），圆.（2）当切线斜率不存
17、在时，直线方程为：，与圆相切，满足题意；当切线斜率存在时，设直线方程为：，即：则：解得：此时，切线方程为：，即：所以，所求切线方程为：或【点睛】此题考查根据圆的几何特征，根据弦长关系求解圆的方程，过圆外一点圆的切线方程，易错点在于漏掉考虑斜率不存在的情况.22. 记关于x的不等式的解集为P.(1)若，求P；(2)若，求实数a的取值范围.【答案】(1)；(2) .【解析】【分析】(1)解分式不等式可得,注意分母不为0;(2) 转化为或后可解得.【详解】(1)当时, 化为,即且,所以,故.(2)因为,所以或,解得或或,故实数a的取值范围是.【点睛】本题考查了一元二次不等式以及分式不等式的解法,注意分母不为0,属于基础题.
