1、预习梳理1平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定度量单位和这两条直线的方向，就建立了_它使平面上任一点P都可以由_实数对(x，y)确定2坐标法根据几何对象的特征，选取适当的_，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系，这就是研究几何问题的_3伸缩变换设P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的_，简称伸缩变换预习思考1到直角坐标系两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是_2将点(2，3)变成点(3，2)的伸缩变换是_, 预习梳理1平面直角坐标系唯一的2坐标系坐标法3坐标伸缩变换预习思考
2、1yx或yx2.1点(2，3)经过伸缩变换后得到点的坐标为_1解析：由伸缩变换公式得即变换后点的坐标为(1，9)答案：(1，9)2到两定点的距离之比等于常数k(k0)的点的轨迹是_2直线或圆3将椭圆1按：变换后的曲线围成图形的面积为_3解析：设椭圆1上任意一点的坐标为P(x，y)，按变换后的对应的坐标为P(x，y)，由：得代入椭圆方程，得1，即x2y21，圆的半径为1，所以圆的面积为.答案：4在同一坐标系中，将曲线y3sin 2x变为曲线ysin x的伸缩变换是_4.5到直线xy0和直线2xy0的距离相等的动点的轨迹方程为_5x26xyy206已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，
3、如果延长F1P到Q，使得|PQ|PF2|，那么动点Q的轨迹是_6圆7在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x2y20，则曲线C的方程为_725x29y208ABC中，B(2，0)，C(2，0)，ABC的周长为10，求点A的轨迹方程为_8.1(x3)9在同一平面直角坐标系中，将曲线x236y28x120变成曲线x2y24x30，则满足条件的伸缩变换是_9解析：x236y28x120可化为9y21.x2y24x30可化为(x2)2y21.比较，可得即答案：10在平面直角坐标系中，求下列曲线方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形形状(1)y22x；(2)x2y21.10解析：(1)由伸
4、缩变换可知将代入y22x，可得4y26x，即y2x.即伸缩变换之后的图形还是抛物线(2)将代入x2y21得(3x)2(2y)21即1.即伸缩变换后的图形为焦点在y轴上的椭圆答案：抛物线11在平面直角坐标系xOy上，直线l：x2交x轴于点A.设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足MPOAOP.当点P在l上运动时，则点M的轨迹E的方程是_11解析：如下图所示，连接OM，则|PM|OM|.MPOAOP，动点M满足MPl或M在x的负半轴上，设M(x，y)，当MPl时，|MP|x2|，|OM|，|x2|，化简得y24x4(x1)当M在x的负半轴上时，y0(x1)，综上所述，点M的轨迹E的
5、方程为y24x4(x1)或y0(x1)答案：y24x4(x1)或y0(x1)12已知动点M(x，y)到直线l：x4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍则动点M的轨迹C的方程是_12解析：点M(x，y)到直线x4的距离，是到点N(1，0)的距离的2倍，则|x4|21.所以，动点M的轨迹为椭圆，方程为1.答案：113平面内有一固定线段AB，|AB|4，动点P满足|PA|PB|3，O为AB中点，求|OP|的最小值13解析：以AB的中点O为原点，AB所在的直线x轴建立平面直角坐标系，如右图，|PA|PB|3680 m，所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的在靠近B处的双曲线一支上以AB所在的直线为x轴，
6、以线段AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy，设爆炸点P的坐标为(x，y)，则|PA|PB|3402680，即2a680，a340|AB|800，2c800，c400，b2c2a244400，800|PA|PB|6800x0因此炮弹爆炸点的轨迹方程为x2/115600y2/444001(x0)答案：x2/115600y2/444001(x0)1建立直角坐标系的规律技巧坐标系的建立，直接影响到方程的繁简，因此，在建立直角坐标系的过程中，要尽量研究所给图形的对称性，若是轴对称图形，一般选取对称轴为坐标轴；若是中心对称图形，一般以对称中心为原点；若存在两条互相垂直的直线，一般以这两条直线为坐标轴总之
7、，在建立直角坐标系时，原则上是使尽可能多的点在坐标轴上，有对称的尽可能使它们关于坐标轴或原点对称在解题时，注意不断归纳总结，积累经验方法，针对题设条件建立恰当的坐标系，使运算简便，求得的方程形式简单2在求动点P的轨迹方程时，用几何性质求解比用代数方法简单3伸缩变换对图形的影响(1)由伸缩变换公式知，当01时，原图形以原点为中心，沿x轴向两侧拉伸到原来的倍；当1时，沿x轴向两侧缩短到原来的倍，其中纵坐标不变(2)在伸缩变换过程中，图象与y轴的交点是不动点(3)在伸缩变换过程中，每个点随着坐标的伸缩而移动，整个图形就发生相应的伸缩变换(4)因为伸缩变换把直线变成直线，所以伸缩变换把多边形变成边数一
8、致的多边形：伸缩变换不能实现曲线段与直线段的互变换句话说，它不能把圆变成正方形【习题1.1】1解析：设两定点为A，B，以线段AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则A，B的坐标分别为(3，0)，(3，0)设动点为M(x，y)，由已知得到|MA|2|MB|226，即(x3)2y2(x3)2y226，整理得x2y24，这就是点M的轨迹方程，是以AB的中点为圆心，2为半径的圆2解析：以直线l为x轴，过点A与l垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点A的坐标为(0，3)，设ABC的外心为P(x，y)，因为P为线段BC的垂直平分线上的点，所以B，C的坐标分别为(x2，0)，(x2，0)因为
9、P也在线段AB的垂直平分线上，所以|PA|PB|，即，整理得x26y50，这就是所求的轨迹方程3证明：证法一如图所示，AD，BE，CO分别是三角形ABC的三条高，取边AB所在的直线为x轴，边AB上的高CO所在的直线为y轴建立直角坐标系设A，B，C的坐标依次为(a，0)，(b，0)，(0，c)，则kAC，kBC.因为ADBC于D，BEAC于E，所以kAD，kBE.由直线的点斜式方程得直线AD的方程为y(xa)，直线BE的方程为y(xb)，由方程与解得x0.所以AD，BE的交点H在y轴上因此，三角形的三条高线相交于一点证法二同上建立直角坐标系，设A，B，C的坐标依次为(a，0)，(b，0)，(0，
10、c)，BC边与AC边的高线交于点H(x，y)，则(xb，y)，(xa，y)，(b，c)，(a，c)因为0，所以a(xb)cy0.因为0，所以(b)(xa)cy0.由得(ab)x0.因为ab0，所以x0.所以点H在AB边的高线上，即ABC的三条高线交于一点4(1)x2y21.(2)1(3)y2x.5解析：把x3x，yy代入x29y29得(3x)29y29，化简得x2y21，这就是曲线C的方程(图略)6解析：(1)设伸缩变换为代入2xy4得2xy4.将与x2y2即2x4y4比较得1，4，故所求的伸缩变换为(2)设伸缩变换为代入x216y24x0得(x)216(y)24x0，即2x2162y24x0.将与x2y22x0比较得2，.故所求的伸缩变换为
