1、20202021学年度上学期高一年级期中考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的定义域与函数值的正负判断即可.【详解】由题定义域为,排除C,D.当时, .排除B.故选：A【点睛】本题主要考查了判断函数的图像,属于基础题型.2. 已知全集，则集合
2、（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由全集，根据，应用韦恩图即可求集合B.【详解】由题意，.故选：B.3. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合范围大小直接判断充分条件与必要条件即可【详解】由题可知，“”“”，但“”“”，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A4. 1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻.若，则的值约为（
3、 ）A. 1.322B. 1.410C. 1.507D. 1.669【答案】A【解析】【分析】由可得,进而将条件代入求解即可.【详解】,故选:A【点睛】本题考查指数、对数的转化,考查对数的换底公式的应用,属于基础题.5. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ）A. y=xB. y=lnxC. y=D. y=【答案】D【解析】【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案【详解】解：函数的定义域和值域均为，函数的定义域为，值域为，不满足要求；函数的定义域为，值域为，不满足要求；函数的定义域为，值域为，不满足要求；函数的定义域和值域均为，满足要求；故选：【点睛】本
4、题考查的知识点是函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函数的定义域和值域，是解答的关键6. 已知，则a，b，c的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用对数的性质有，由指数性质有，即可知a，b，c的大小关系.【详解】，故选：D.7. 设奇函数在上是增函数，且，则不等式的解集为（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】分析出函数在上是增函数，由得出，分和解不等式，即可得出原不等式的解集.【详解】由于奇函数在上 是增函数，则该函数在上也是增函数，且，由可得，即.当时，可得，解得；当时，可得，解得.因此，原不等式的解集为或.故选：D.【点睛】本题考
5、查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8. 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，若，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先根据幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数求得，再根据幂函数在上单调递减，要使需满足或者 或者 三种情况，解不等式求解即可.【详解】因为在上是减函数，所以解得，又，所以，因为幂函数的图象关于y轴对称，所以为偶数，所以，因为幂函数在上单调递减，所以 或 或 ，解得实数a的取值范围.故选：D.【点睛】本题主要考查幂函数的定义域，奇偶性，单调性等，熟悉了解幂函数的性质是解题必备的知识
6、.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 设集合，则下列关系中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出集合、，利用集合间的包含关系与运算可得出结论.【详解】，.故选：D.10. 中国清朝数学家李善兰在年翻译代数学中首次将“”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（ ）A. B. C. D
7、. 【答案】CD【解析】【分析】利用函数的定义逐项判断可得出合适的选项.【详解】在A中，当时，故A错误；在B中，当时，故B错误；在C中，任取，总有，故C正确；在D中，任取，总有，故D正确故选：CD【点睛】本题考查函数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用11. 下列命题中为真命题的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】BCD【解析】【分析】根据不等式的性质判断D可用函数单调性判断【详解】解析：A项，若时，显然不成立B项，则正确C项，若，可变形为，正确D项，为单调增函数，若，则正确故答案为：BCD12. 下列说法正确的是（ ）A. 函数在区间上是单调
8、递增的，则实数a的取值范围是B. 函数为奇函数C. 函数的单调递增区间D. 若函数在上单调递减，则实数【答案】ABD【解析】【分析】A讨论、，结合所得函数的性质判断单调区间，根据已知条件判断是否成立，利用单调区间列不等式求a的范围，最后取并；B利用函数奇偶性的定义：首先确定定义域，再分区间判断是否成立即可；C根据二次函数、对数函数的单调性，结合复合函数单调性确定单调区间；D同C，结合复合函数的单调区间，结合所给的区间单调性列不等式求参数范围.【详解】A：当时，在R上单调递增，故在上是单调递增的，符合题设；当时，的开口向上且对称轴为，故在上不单调，不合题设；当时，的开口向下且对称轴为，要使在上单
9、调递增，即得；综上，有a的范围，正确；B：由解析式知：的定义域为，又时，所以为奇函数，正确；C：由解析式知：函数定义域为，而在上递减，在上递增，为减函数，所以在上递增，错误；D：由的开口向下且对称轴为，则在上递增，在上递减，而为减函数，所以要使在上单调递减，则，解得，正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：A应用分类讨论法，应用二次函数的性质求参数范围；B利用定义判断函数的奇偶性；C、D由二次函数、对数函数的性质，根据复合函数单调性的判断确定单调区间，由复合函数的区间单调性求参数范围.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 对于任意的，函数的图象恒过定点，则此定点坐标是_.【答
10、案】【解析】【分析】由函数解析式知，当时，而，即知定点坐标.详解】由题设，当时，故函数恒过点.故答案为：.14. 函数的值域为_.【答案】【解析】【分析】令，由二次函数知识求解的范围，结合对数函数单调性可得值域.【详解】令，则，因为，且为增函数，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查复合函数的值域问题，换元法是常用的方法，把复合函数拆分为简单函数进行求解，侧重考查数学抽象的核心素养.15. 若函数（且）有最小值，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据题意得出函数为增函数，且有，由此可解出实数的取值范围.【详解】由于函数（且）有最小值，当时，此时函数单调递减，则.所以，当时，函数单调递
11、增，且，即，解得，因此，实数的取值范围是.故答案为.【点睛】本题考查利用分段函数最值的存在性求参数的取值范围，解题时要从每支函数的单调性，以及分界点处函数值的大小关系来分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16. 已知，若，则最小值为_【答案】【解析】【分析】利用换元法，和对数的运算法则化简表达式，然后利用基本不等式求解最小值即可【详解】令，则，所以，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为3.【点睛】本题考查对数值的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意均值不等式和对数性质的合理运用四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设函数，.（1）若关于x的
12、方程无实数解，求实数a的取值范围；（2）求关于x的不等式的解集.【答案】（1）；（2）当时，解集为；当时，解集为：；当时，所以解集为：；当时，解集为；当时，解集：.【解析】【分析】（1）根据关于方程无实数解，可得，解出不等式，即可求出结果；（2）将原不等式化简成，对进行分类讨论，即可求出结果.【详解】（1）因为关于的方程无实数解，所以，解得，即实数的取值范围；（2）因为，所以由得，所以 ，当时，解集为；当时，由于，所以解集为：；当时，由于，所以解集为：；当时，所以解集为；当时，由于，所以解集为：.综上所述：当时，解集为；当时，解集为：；当时，所以解集为：；当时，解集为；当时，解集为：.【点睛】
13、易错点睛：含参的一元二次不等式的求解，要注意二次项系数与根的讨论.18. 集合，函数的定义域为B，集合.（1）求集合B，；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】(1) ，或；(2)【解析】【分析】（1）首先根据求定义域的条件列出不等式组从而求得集合B，接着根据集合A求得集合A的补集，进一步取得；（2），而且C集合是含参的区间，所以要从集合C是不是空集进行分类讨论.【详解】（1）解得所以，因为或或（2）因为集合，且当时需解得实数m无解，当时需解得综上：实数m的取值范围：【点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件19.
14、已知函数是定义在上的奇函数，当时，（）求函数的解析式（）求关于的不等式的解集【答案】（）；（）【解析】【详解】【分析】试题分析：（1）根据奇函数定义得，再根据奇函数性质，求函数解析式，最后写出分段函数形式（2）先根据奇函数性质得，再根据函数单调性得，最后解一元二次不等式得解集试题解析：（）为奇函数，时，设，则，而 （）由（）知，图象为图中的实线部分：由图象易知单调递减，点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内20. 已知函数（）.（1）若为偶函数，求实数的值；（2）若不等式在上恒
15、成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据偶函数的性质，有，即可求的值；（2）由原函数不等式在上恒成立，令，即可转化为在恒成立，则即可求的范围.【详解】（1）由为偶函数，即，而，则.（2）由题意，在上恒成立，令，则恒成立，在恒成立，即，而，即范围.【点睛】关键点点睛：第二问不等式恒成立问题，通过换元、参变分离法，转化为在恒成立，即可由求参数范围.21. 已知函数对任意实数x，满足条件，且当时，.（1）求证：是R上的递增函数；（2）解不等式；【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）直接设，根据时，得到，即可得到结论；（2）根据已知条件，将不等式转
16、化为，根据条件求得，利用函数的单调性列出不等式，对的范围进行讨论求得不等式的解.【详解】（1）证明：任取，且，则，因为时，所以，所以，即，所以，函数为R上的单调增函数.（2）由可得，即，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以即为，因为函数为单调增函数，所以不等式可以转化为，即，解得或，所以当时，解得或，当时，解得或，所以当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.【点睛】该题考查的是有关抽象函数的问题，涉及到的知识点有根据条件，利用函数单调性的定义证明抽象函数的单调性，利用函数的单调性求解不等式，属于难题.22. 为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁，加强自主性，某企业计划加大对芯片研发部
17、的投入.据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入a万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员x名(且)，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元.（1）要使这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？（2）是否存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，同时满足以下两个条件：技术人员的年人均投入始终不减少；研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）最多75人；（2）存在，.【解析】【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解；（2）由可得，由可得，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解.【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元，则，()解得，所以调整后的技术人员的人数最多75人；（2）由技术人员年人均投入不减少有，解得.由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有，两边同除以得，整理得，故有，因为，当且仅当时等号成立，所以，又因为，当时，取得最大值7，所以，即存在这样的m满足条件，使得其范围为.【点睛】本题考查不等式的应用，解题的关键是正确理解题中数量关系，建立正确的不等式，进而求解.
