1、河北省正定县第一中学2020-2021学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解方程组,可得答案.【详解】解方程组，可得，则故选：D2. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】被开方数必须为非负数，进而得出的取值范围【详解】由题意易得：，即，解得：函数的定义域是故选：C3. 函数且的图象所过定点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】令，求出的值，即为图象所过定点的坐标
2、.【详解】令，得 即所以的图象所过定点 故选：B.4. 函数的值域为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出的取值范围，再利用对数函数的基本性质可求得函数的值域.【详解】，所以，.因此，函数的值域为.故选：B.5. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】，由函数 在上单调递增，可得，又可得答案.【详解】,由函数 在上单调递增，则所以 又，所以故选：A6. 已知函数且在区间上的最大值与最小值的差为1，则实数的值为（ ）A. 2B. 4C. 或4D. 或2【答案】C【解析】【分析】令，函数可化为，进而分和两种情况，分别讨论的单调性，由最大值与最小值的差
3、为1，可求出实数的值.【详解】令，由，得，函数可化为，.当时，函数在上单调递增，其最大值与最小值的差为，解得；当时，函数在上单调递减，其最大值与最小值的差为，解得.所以实数的值为4或.故选：C.7. 已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对 和分类讨论，求出的关系式，进而求解【详解】当时，则，则当时，则，则即 或故选：D8. 已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分析出函数为上的奇函数，且该函数在上为增函数，进而可得出函数为上的增函数，由化简可得出对任意的恒成立，由此可得出关
4、于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围.【详解】对任意的，所以，函数的定义域为，由，可得，可知函数为奇函数，又由，当时，函数和单调递增，任取，则，可得，即，所以，函数在上单调递增，则函数在上单调递增，由于函数在上连续，则函数在上增函数，由，有，有，可得，由题意可知，不等式对任意的恒成立，有，解得故选：C.【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为；（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分
5、，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】先求出命题成立的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断【详解】由恒成立，得在上恒成立，故只需，所以，即命题成立的充要条件是，故其充分不必要条件是充要条件的真子集，所以AC项是正确答案.故选：AC【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3
6、）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含10. 下列选项中描述正确的是（ ）A. 若，则必有B. 若与同时成立，则C. 若，则D. 若，则【答案】ABD【解析】【分析】利用不等式性质可判断AD，作差可判断B，利用特值可判断C.【详解】对于A项，若，则必有，由不等式的性质可得，所以A项正确；对于B项，由可得，因为，所以，所以，所以B项正确；对于C项，取，满足，但，此时，故C项错误；对于D项，因为，所以，两边同乘-1，得，又，故由不等式的性质可知，两边同乘-1，得，所以D项正确.故选：ABD.【点睛】本题考查根据不等式的性质，判断不
7、等式是否正确，属于基础题型.方法点睛：一般判断不等式大小问题，可以采用以下方法：1.利用不等式的性质和结论直接判断大小；2.差值（或商值）比较大小，一般做差，再通过变形整理（包括通分，配方，因式分解等），最后判断符号，比较大小；3.单调性法，若比较大小的两个式子是某些函数的模型，可构造函数，利用函数的单调性比较大小；4.特殊值验证，可以给变量赋特殊值，排除选项.11. 若符合：对定义域内的任意的，都有，且当时，则称为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用好函数的定义，判断选项的正误即可【详解】解：对定义域内的任意的，都有，说明函数是指
8、数函数，排除选项C，D； 又因为：时，所以排除选项A； 故选B【点睛】本题考查好函数的定义的应用，指数函数的简单性质的应用，是基本知识的考查12. 已知函数在区间上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若，则下列命题正确的是（ ）A. 函数的两个零点可以分别在区间和内B. 函数两个零点可以分别在区间和内C. 函数的两个零点可以分别在区间和内D. 函数的两个零点不可能同时在区间内【答案】ABD【解析】【分析】由在区间上有两个零点，且都可以用二分法求得，再结合函数图象是连续的，可得到，进而讨论的正负性，并结合零点存在性定理，可得出答案.【详解】因为函数在区间上有两个零点，且都可以用
9、二分法求得，其图象是连续不断的，所以零点两侧函数值异号，又，所以，若，可得，即此时函数的两个零点分别在区间和内，故B正确；若，则，即此时函数的两个零点分别在区间和内，故A正确.综上两种情况，可知选项C错误，D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查零点存在性定理的运用，解题的关键是根据零点都可以用二分法求得，可知零点两侧函数值异号，进而讨论的正负性，结合零点存在性定理，可求出答案.考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 命题“，”的否定是_.【答案】【解析】【分析】根据特称命题的否定形式，直接求解即可.【详解】命题“，”的否定为：“”
10、.故答案为：.14. 某公司在甲、乙两地销售同一种农产品，利润（单位：万元）分别为，其中为销售量（单位：吨）若该公司在这两地共销售10吨农产品，则能获得的最大利润为_万元.【答案】34【解析】【分析】设公司在甲地销售品牌车辆，则在乙地销售品牌车辆，根据利润函数表示出利润之和，利用配方法求出函数的最值即可【详解】设在甲地销售t吨，则在乙地销售吨，利润为，又 且 故当时，能获得的最大利润为34万元15. 已知正数，满足，则的最小值为_.【答案】6【解析】【分析】易知，结合，及，利用基本不等式，可求出的最小值，进而可求出答案.【详解】由，可得，又，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，即.故答案为：
11、6.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”.（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16. 已知函数，若、满足，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】设，作出函数图象，可得，利用对称性可得，由可求得，进而可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】作出函数的图象如下图所示：设，当时，由
12、图象可知，当时，直线与函数的图象有五个交点，且点、关于直线对称，可得，同理可得，由，可求得，所以，.因此，的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17. 已知集合，.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求
13、实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）解不等式，可求出集合，根据二次函数的性质，可求出集合，由，可建立不等关系，进而可求出实数的取值范围；（2）先求出及集合，由，可建立不等关系，进而可求出实数的取值范围.【详解】（1）由题意，因为，所以，解得（2）由（1）可知，因为，有，得18. 已知函数.（1）若不等式的解集为，求实数，的值.（2）当时，解关于的不等式.【答案】（1）；（2）详见解析【解析】【分析】（1）由的解集为，可知和是方程的两实数根，根据韦达定理，可得到关于的方程组，求解即可；（2）当时，进而分，和三种情况，分别解不等式，即可求出答案.【详解】（1）因为不等式的解
14、集为，所以和是方程的两实数根，则，即.（2）当时，.若，则，解得；若，则，解得；若，则，解得.19. 已知函数.（1）请在平面直角坐标系中，画出函数的草图；（2）写出函数的单调区间；（3）若，请根据函数的草图，写出实数的值.【答案】（1）见解析；（2）函数的增区间为，减区间为；（3）1或3或【解析】【分析】（1）去绝对值，得，进而画出函数的图象即可；（2）根据图象，可得到函数的单调区间；（3）根据图象可知，满足的有3个，进而分和两种情况，分别解方程，可求出答案.【详解】（1）由题意，可得函数的草图为：（2）由图可知，函数的增区间为，减区间为.（3）根据图象可知，满足的有3个，若，则，解得或；若
15、，则，解得或（舍去）.综上，实数t的值为1或3或.20. 已知幂函数，且在上单调递增.（1）求实数的值；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据幂函数的定义求出m的值，结合函数的单调性确定m的值即可；（2）根据幂函数的单调性和奇偶性得到关于t的不等式，解出即可【详解】（1）根据幂函数的定义有，解得或，当时，此时函数在区间上单调递减，不合题意，舍去；当时，此时函数在区间上单调递增，符合题意.由上知；（2）由（1）知，此时函数的增区间为，减区间为，且函数为偶函数，图象关于y轴对称，又由，若，得，解得或，故实数t的取值范围为.【点睛】关键点点睛：在（2）中，函数
16、为偶函数，增区间为，得.21. 已知函数.（1）求函数的定义域；（2）讨论函数的奇偶性；（3）证明：函数在定义域上单调递减.【答案】(1) (2) 函数为奇函数 (3)证明见解析.【解析】分析】(1)由的定义域满足可得答案.(2)直接判断与的关系可得答案.(3) 设，先作差判断出，再由对数函数在上单调递增有，即可得出结论.【详解】解：（1）令，可得，即，解得函数的定义域为（2）由（1）知函数的定义域关于原点对称由，可得函数为奇函数（3）设设利用对数函数在上单调递增有，即故函数在上单调递减【点睛】关键点睛：本题考查函数的定义域、奇偶性的判断和用定义法证明单调性，解答本题的关键是先得出与的大小关系
17、，再由函数在上单调递增得到，即，属于中档题.22. 已知函数，.（1）若函数有两个零点，求实数的取值范围；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求函数在区间上的最值.【答案】（1）；（2）；（3）最大值为，最小值为0【解析】【分析】（1）由，易知是函数的一个零点，可知有解，进而可求出的范围；（2）原不等式可化为，分，和两种情况，分别讨论，可求出实数a的取值范围；（3），当时，令，可将转化为二次函数，可求出最大值与最小值；当时，令，可将转化为二次函数，进而可求的取值范围，综合两种情况，可求得的最大值与最小值.【详解】（1）由，由，可知是函数的一个零点，若函数有两个零点，只需要（
18、）有解，因为，所以，可得且.故若函数有两个零点，则实数a的取值范围为.（2）若不等式恒成立，有，可化为.当时，显然原不等式恒成立；当时，原不等式可化为，因为，所以；当时，原不等式可化为，因为，所以.由上知，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为.（3），当时，令，则可化为，令，二次函数的对称轴为，故在区间上单调递增，可得的最小值为，的最大值为；当时，令，则可化为，令，二次函数的对称轴为，故函数在区间单调递减，由，得.因为，所以函数在上的最大值为，最小值为0【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
