1、2.1.1椭圆及其标准方程问题导学一、椭圆的定义及应用活动与探究1(1)椭圆1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为()A5 B6 C4 D10(2)已知F1，F2是椭圆1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为_迁移与应用设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|_椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解椭圆上一点P与椭圆
2、的两焦点F1，F2构成的F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识，对于求焦点三角形的面积，若已知F1PF2，可利用Sabsin C把|PF1|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|及余弦定理求出|PF1|PF2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量二、椭圆的标准方程及应用活动与探究2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F1(4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点分别为(0，2)，(0,2)，经过点(4
3、,3)；(3)经过两点(2，)，迁移与应用1若方程1表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是_2两焦点坐标分别为(3,0)和(3,0)且经过点(5,0)的椭圆的标准方程为_(1)利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤可总结如下：由焦点坐标确定方程是1(ab0)，还是1(ab0)；运用定义、平方关系等求出a，b(2)当焦点不确定时，可设方程为Ax2By21(A0，B0，且AB)，这样可以避免讨论三、焦点三角形问题活动与探究3如图所示，已知椭圆的方程为1，若点P在第二象限，且PF1F2120，求PF1F2的面积迁移与应用已知P是椭圆1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，F1PF260，求F1PF2的
4、面积四、与椭圆有关的轨迹问题活动与探究4(1)已知圆x2y29，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP，点M在PP上，并且2，求点M的轨迹(2)已知在ABC中，|BC|6，周长为16，那么顶点A在怎样的曲线上运动？迁移与应用如图，在圆C：(x1)2y225内有一点A(1,0)，Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程解决与椭圆有关的轨迹问题，一般有两种方法：(1)定义法用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可(2)相关点法有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只
5、要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法用相关点法求轨迹方程的步骤：设所求轨迹上的动点P(x，y)，再设具有某种运动规律f(x，y)0上的动点Q(x，y)；找出P，Q之间坐标的关系，并表示为将x，y代入f(x，y)0, 即得所求轨迹方程答案：课前预习导学【预习导引】1距离之和常数两个定点两焦点间的距离|MF1|MF2|2a预习交流1(1)提示：当2a|F1F2|时，点M的轨迹是线段F1F2；当2a|F1F2|时，点M的轨迹不存在(2)提示：B21(ab0)1(ab0)F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a2b2c
6、2预习交流2(1)提示：相同点：它们都有ab0，a2b2c2，焦距都是2c，椭圆上的点到两焦点距离的和均为2a方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母不相等不同点：两类椭圆的焦点位置不同，即焦点所在坐标轴不同，因此焦点坐标也不相同，焦点在x轴上的椭圆两焦点坐标分别为(c,0)和(c,0)，焦点在y轴上的椭圆两焦点坐标分别为(0，c)和(0，c)当椭圆焦点在x轴上时，含x2项的分母大；当椭圆焦点在y轴上时，含y2项的分母大(2)提示：534(4,0)，(4,0)课堂合作探究【问题导学】活动与探究1(1)思路分析：A解析：点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a10,1055(2)思路分析：结合
7、图形，利用定义求第三边6解析：由已知a216，a4从而由椭圆定义得|AF1|AF2|2a8，|BF1|BF2|2a8，AF1B的周长为|AF1|AB|BF1|16又知三角形有两边之和为10，第三边的长度为6迁移与应用解析：由椭圆定义知|AF2|AB|BF2|4，又2|AB|AF2|BF2|，所以|AB|活动与探究2思路分析：(1)由已知可得a，c的值，由b2a2c2可求出b，再根据焦点位置写出椭圆的方程(2)利用两点间的距离公式求出2a，再写方程；也可用待定系数法(3)利用待定系数法，但需讨论焦点的位置也可利用椭圆的一般方程Ax2By21(A0，B0，AB)直接求A，B得方程解：(1)由题意可
8、知椭圆的焦点在x轴上，且c4，2a10，所以a5，b3所以椭圆的标准方程为1(2)(方法一)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为1(ab0)由椭圆的定义知2a12，所以a6又c2，所以b4所以椭圆的标准方程为1(方法二)因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设其标准方程为1(ab0)由题意得解得所以椭圆的标准方程为1(3)(方法一)若椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为1同理可得：焦点在y轴上的椭圆不存在综上，所求椭圆的标准方程为1(方法二)设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB)将两点(2，)，代入，得解得所以所求椭圆的标准
9、方程为1迁移与应用1(3,4)解析：由已知得解得3k421解析：易知c3，a5，则b2a2c216又椭圆的焦点在x轴上，所求椭圆的方程为1活动与探究3思路分析：由余弦定理和椭圆定义分别建立|PF1|，|PF2|的方程，求出|PF1|，|PF2|后，再求PF1F2的面积解：由已知a2，b，所以c1，|F1F2|2c2，在PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 120，即|PF2|2|PF1|242|PF1|，由椭圆定义，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|，将代入解得|PF1|PF1|F1F2|sin 1202，即PF1F2的面
10、积是迁移与应用解：在椭圆1中，a5，b3，c4，则|F1F2|8，|PF1|PF2|10由余弦定理，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60642得|PF1|PF2|12S|PF1|PF2|sin 60123活动与探究4(1)思路分析：先设出M的坐标(x，y)，用x，y表示出点P的坐标代入圆方程即可解：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0x，y03y因为P(x0，y0)在圆x2y29上，所以xy9将x0x，y03y代入圆方程，得x29y29即y21又y0，所以点M的轨迹是一个椭圆，且除去(3,0)和(3,0)两点(2)思路分析：利用椭圆的定义解决，最后
11、要注意检验解：由|AB|BC|AC|16，|BC|6，可得|AB|AC|106|BC|，故顶点A在以B，C为焦点，到两焦点距离的和等于10的一个椭圆上运动，且除去BC直线与椭圆的两个交点迁移与应用解：由题意知M在线段CQ上，从而有|CQ|MQ|MC|又M在AQ的垂直平分线上，连接AM，则|MA|MQ|，|MA|MC|CQ|5|AC|2M的轨迹是以C(1,0)，A(1,0)为焦点的椭圆，且2a5，a，c1，b2a2c2M的轨迹方程为1，即1当堂检测1设P是椭圆上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于()A4 B5 C8 D10答案：D解析：由椭圆定义知|PF1|PF2|2a
12、a225，2a10|PF1|PF2|102椭圆的焦点坐标为()A(4,0)和(4,0) B(0，)和(0，)C(3,0)和(3,0) D(0，9)和(0,9)答案：C解析：由已知椭圆的焦点在x轴上，且a216，b27，c29，c3椭圆的焦点坐标为(3,0)和(3,0)3已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|PF2|，那么动点Q的轨迹是()A圆 B椭圆 C抛物线 D无法确定答案：A解析：由题意得|PF1|PF2|2a(a为大于零的常数，且2a|F1F2|)，|PQ|PF2|，|PF1|PF2|PF1|PQ|2a，即|F1Q|2a动点Q到定点F1的距离等
13、于定长2a，故动点Q的轨迹是圆4已知P是椭圆上一点，F1，F2为焦点，且F1PF290，则PF1F2的面积是_答案：16解析：由椭圆定义知：|PF1|PF2|2a10，又F1PF290，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2362得|PF1|PF2|32S|PF1|PF2|165已知椭圆上一点M到左焦点F1的距离为6，N是MF1的中点，则|ON|_答案：2解析：设右焦点为F2，连接F2M，O为F1F2的中点，N是MF1的中点，|ON|MF2|又|MF1|MF2|2a10，|MF1|6，|MF2|4，|ON|2提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记
