1、2.3 抛物线 2.3.1 抛物线及其标准方程 生活中存在着各种形式的抛物线抛物线的生活实例1.掌握抛物线的定义及标准方程.（重点）2.能求简单抛物线的方程.（重点、难点）我们知道,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象是一条抛物线，而且研究过它的顶点坐标、对称轴等问题.那么，抛物线是怎么定义的，方程是什么呢？探究点1 抛物线的定义 MHFElm思考：如图，点F是定点，l是不经过点F的定直线.H是l上任意一点，经过点H作MHl，线段FH的垂直平分线m交MH于点M.拖动点H，观察点M的轨迹.你能发现点M满足的几何条件吗？m 抛物线的定义:在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距
2、离相等的点的轨迹叫做抛物线.CM FlH焦点d准线点F叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线.明确了抛物线的定义，你能根据定义求出抛物线的 标准方程吗？一条经过点F且垂直于l 的直线想一想：定义中当直线l 经过定点F，则点M的轨迹是什么?lF 化 简列 式设 点建 系以过点F且垂直于直线 l 的直线为x轴,垂足为K.以FK的中点O为坐标原点建立直角坐标系xOy.xKyOFPM M Fd,022ppFx 则焦点 的坐标为（，），准线的方程为Ml（x,y）设M（x，y）是抛物线上任意一点，H点M到l的距离为d d由抛物线的定义，抛物线就是点的集合探究点2 抛物线的标准方程 FKp设（p0），两
3、边平方,整理得 xKyOFMl（x,y）Hd2222ppxyx所以）0(22ppxy 其中p为正常数，它的几何意义是:焦点到准线的距离 方程 y2=2px（p0）表示焦点在x轴正半轴上的抛物线 022lppF:x 焦点 的坐标为（，），准线 的方程为若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你能根据上述办法求出它的标准方程吗？FMlNyxFMlNHFMlNOFMlNxHyO准线方程 焦点坐标 标准方程 焦点位置 图 形 四种抛物线及其它们的标准方程 x轴的正半轴上x轴的负半轴上y轴的正半轴上y轴的负半轴上y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)0,2(pF
4、)0,2pF(-)2,0(pF)2,0(pF-2=px-2=px2=py2=py-.（1）若一次项的变量为X（或Y），则焦点就在X轴（或Y轴）上；如何判断抛物线的焦点位置，开口方向？（2）一次项的系数的正负决定了开口方向 即：焦点与一次项变量有关；正负决定开口方向！【总结提升】【例1】(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程 (2)已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程.解:(1)因为，故抛物线的焦点坐标为 ，准线方程为）（0,23.23x(2)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上,且 故所求抛物线的标准方程为x2=-8y.p2,p4,2 1.根据下列条件写出抛物
5、线的标准方程.(1)焦点是（0，-3）；(2)准线是 .2.求下列抛物线的焦点坐标与准线方程.(1)y=8x2；(2)x2+8y=0.12x x2=-12y y2=2x 焦点，准线1(0,)32132 y焦点 ，准线(0,2)2y【总结提升】(1)用待定系数法求抛物线标准方程,应 先确定抛物线的形式，再求p值.(2)求抛物线的 焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程.【变式练习】【例2】一种卫星接收天线的轴截面如图(1)所示.卫 星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天 线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为0.5m，试建立适当的坐标系，求抛物线 的标准
6、方程和焦点坐标.,即p=5.76.解：如图(2)，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合.设抛物线的标准方程是22(0),ypx p22.420.5p 所以，所求抛物线的标准方程是 ,焦 点坐标是（2.88，0）.211.52yx 由已知条件可得，点A的坐标是（0.5，2.4），代入方程得 xyOAB(2).F【变式练习】点M与点F（4,0）的距离比它到直线l：x+5=0的距离小1，则点M的轨迹方程为 .O F l-5-4 x y M 2y16x【解题关键】：看出M点与F的距离与它到 直线：x+4=0的距离相等，然后根据抛物线的定义求 出P，写
7、出方程即可.4 C 2设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则 点P到该抛物线焦点的距离是（）A.12 B.4 C.6 D.8 C 1.设抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,点 M 在 C上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为()A.y2=4x 或 y2=8x B.y2=2x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x D.y2=2x 或 y2=16x 9【解题提示】根据抛物线的定义求解.2 2 则 5已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x3相切，求动圆圆心M的轨迹方程 解析：设动点M(x，y)，设圆M与直线l：x3的切点为N，则|MA|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x3的距离相等，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x3为准线，所以 3，所以p6.所以圆心M的轨迹方程是y212x.2p抛 物 线 定义 标准方程 求标准方程 求焦点坐标 求准线方程 待定系数法 将方程化为 标准方程 追赶时间的人，生活就会宠爱他；放弃时间的人，生活就会冷落他.
