1、第7课 导数在研究函数中的应用（1）一、教学目标1、理解函数的单调性与导数的关系；会利用导数研究函数的单调性。2、会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值。 3、理解函数在某点取得极值得条件；二、知识梳理1、给出下列命题：若在区间上是增函数，都有若在区间上可导，则必为上的单调函数若对任意，都有，则在上是增函数若可导函数在区间上有，则区间上有其中真命题的序号是 【教学建议】本题帮助学生复习函数的单调性与导数的关系。（1）判断命题，可借助于函数来进行辨析，让学生清楚：是函数在区间上单调递增的充分不必要条件，同理可判断命题正确。（2）命题可举
2、特殊函数来判断正误（3）导数的正负可以判断函数的单调性，但反过来未必正确，对这一问题不必深究。若学生学有余力，不妨简单说明：可导函数在上递增对任意的，有（在的任意子区间上不能恒等于零。 2、下列结论中正确的是 若，则是函数的极值若在内有极值，则在内不是单调函数函数的极小值一定小于它的极大值在定义域上最多只能有一个极大值和一个极小值【教学建议】本题先让学生进行充分的说理，给出判定正误的依据。教师结合学生的回答，再进行详细的解释，讲解过程中，多注意举例、画图等手段的运用。并且可以接着提出以下一些问题：（1）函数在处取得极值的充要条件是什么？（2）函数的极大值与极小值之间有无确定的大小关系？（3）函
3、数的最大值与最小值之间有无确定的大小关系？（4）极值与最值之间有何异同？3、求函数在最值的一般步骤为：（1） ；（2） ；（3） 。【教学建议】学生最习惯的就是解题，最怕的就是进行归纳整理。对于这种解题的常规套路，一定要有充足的时间，让学生说准确，说完整。三、诊断练习 诊断练习点评题1：函数的单调减区间是_(0,1)_ 【分析与点评】求单调区间优先要考虑什么？优先考虑定义域。求单调区间的步骤是：令（或），并和定义域求交集，即得增区间（或减区间）。 (2)强调，若具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间中间不能用“”，只能用“逗号”或“和”分开。题2函数有极 _值_答案：大 【分析与点评】
4、利用导数求函数极值的步骤是什么？（1）确定函数的定义域，求导数，（2）求方程的根，（3）列表，判断在方程根左右两侧的符号，从而确定函数的极值。提醒学生一定要注意“在左右两侧导数值的符号”。题3函数的最大值是_.【分析与点评】最值是函数的重要性质之一，运用导数研究函数的最值与极值有一定的相似之处，也可以说最值研究是对极值研究的深入。为更好的理解最值与极值的异同，不妨将区间改变，再求函数的最大、最小值。让学生体会两点：（1）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间端点不能成为极值点。（2）一个函数有最值未必有极值，极值可能成为最值。题4函数在 处取得极小值。【分析与点评】（1）由学生叙述利用导数求函
5、数极值的具体步骤； （2）判断在方程的根左右两侧的符号有哪些方法？取特值或利用导函数图象。要点归纳（1）要熟悉求函数单调区间、求极值的一般步骤方法，如诊断练习题1、题2（2）分析原函数、导函数的图象，牢记“正增负减”四个字，即“导数的正负决定原函数的增减”。遵循此规律，函数的增减性、极值情况一目了然。四、范例导析例1、已知函数.(1)判断函数的奇偶性；(2)求函数的单调区间.【教学处理】第（1）题教师在黑板上板演，板书时示范解题的规范。第（2）题让学生扮演，教师点评。【引导分析与精讲建议】1、第（1）题教师在解题示范时，提醒学生注意考虑原函数的定义域。 2、教师在学生板演第（2）题的同时，教师
6、巡视指导，并要检查学生求导公式的掌握情况。【变式】：已知函数，求函数的单调区间。【点评】：考虑定义域，答案：增区间，减区间例2：设函数，已知是奇函数。（1）求、的值。 （2）求的单调区间与极值。【教学处理】教师先指出本题的目标是求未知数错误！未找到引用源。，理论上需两个条件。带着问题，让学生先思考，讨论。指名学生板演，教师点评。 【引导分析与精讲建议】本题的关键是隐含条件的挖掘，所以先提出问题：如何表示导函数，再提出问题“”隐含哪些条件？要求学生熟悉求函数单调区间、求极值的一般步骤方法，以及规范答题。例3：已知函数,其中e是自然对数的底数.（1）证明:是R上的偶函数；（2）若关于的不等式在上恒
7、成立，求实数的取值范围；答案：（1）函数的定义域为，关于原点对称；又因为，所以函数是上的偶函数；（2），即；令；因为，当且仅当时，等号成立；故，令，下只要求.；则当时，；则当时，；因此可知当时，；则. 综上可知，实数的取值范围为.注：分离参数后，也可利用基本不等式去处理的范围。变式：已知函数（1）若函数在上是增函数，求的取值范围；（2）若在时取得极值，且时，恒成立，求的取值范围。【教学处理】要求学生独立思考并解题，第（1）问指名学生板演，教师根据板演情况点评，第（2）问让学生先进行思考、讨论交流，最后教师板书解题过程。【引导分析与精讲建议】1、第（1）问中，由恒成立，解得。强调需验证时是否适合
8、，防止出现在的子区间上恒等于零的情况。2、第（2）问的讲解，可提出下列问题问题1：要使恒成立，需求的最大值还是最小值？问题2：如何求区间上，函数的最值？问题3：在时取得极值，这句话隐含着什么条件？五、解题反思1、与初等方法相比，导数在研究函数性质时，具有一般性和有效性。运用导数知识，我们可以解决一些非整式型函数的单调区间、最值问题。牢记求导公式是根本，同时一定要熟练掌握求单调区间，求极值、最值的解题基本步骤。如例12、要注意函数在处取得极值的充要条件，体会是函数在区间上单调递增的充分不必要条件，注意端点处情况的讨论。如例3的第（1）问。3、求字母参数的取值范围问题，可考虑生成一个恒成立的不等式
9、，最终转化为函数求最值问题。如诊断练习4，例3第（2）问。4、要会读图、识图。要搞清楚原函数图像与其导函数图像之间的相互关系，这对概念的理解、作三次函数的简图等都大有裨益。六、课后作业:1. 函数y2lnx的单调减区间为_答案：解析：定义域为x|x0，令y0， 0x，所求减区间为.2. 若函数f(x)exax在x1处取到极值，则a_答案：e解析：由题意，f(1)0，因为f(x)exa，所以ae.3. 函数f (x)sinxx在区间0，2上的值域为_答案：0，解析：由f(x)0得x，x，再加上区间的两个端点的值分别代入解析式，即可得到函数最大值为，最小值为0.4. (原创)已知函数f(x)x2b
10、lnx在区间，)上是减函数，则b的取值范围是_答案：(，4解析：f(x)x0在2，)上恒成立，即bx2在2，)上恒成立5.已知函数f(x)alnxax3(aR)(1) 当a0时，求函数f(x)的单调区间；(2) 若函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45，且函数g(x)x2nxmf(x)(m，nR)当且仅当在x1处取得极值，其中f(x)为f(x)的导函数，求m的取值范围解： (1) f(x)(x0), 当a0时，令f(x)0得0x1，令f(x)0得x1, 故函数f(x)的单调增区间为(0，1)，单调减区间为(1，)(2) 函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜
11、角为45， 则f(2)1，即a2; 所以g(x)x2nxm，所以g(x)xn.因为g(x)在x1处有极值，故g(1)0，从而可得n12m，则g(x).因为g(x)仅在x1处有极值， 所以x22mx2m0在(0，)上恒成立，当m0时，由2m0，即x0(0，)，使得x2mx02m0, 所以m0不成立，故m0.又m0且x(0，)时，x22mx2m0恒成立， 所以m0.(注：利用分离变量方法也可求出m0) 6.已知函数f(x)axlnx，x(1，e)，且f(x)有极值(1) 求实数a的取值范围；(2) 求函数f(x)的值域解：(1) 由f(x)axlnx求导可得f(x)a，令f(x)a0，可得a. x(1，e)， ， a.xf(x)0f(x)单调递增极大值单调递减因为x(1，e)，所以f(x)有极值，所以实数a的取值范围为. (2) 由(1)可知f(x)的极大值为f1ln， f(1)a，f(e)ae1，由aae1，解得a，又1， 当1a时，函数f(x)的值域为；当a时，函数f(x)的值域为.