1、课时提升作业(十一)函数的最大值、最小值(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.定义在R上的函数f(x)满足f(x)4,则f(x)的最小值是()A.4B.f(4)C.4.001D.不能确定【解析】选D.根据函数最小值的概念可知,此函数的最小值不能确定.【误区警示】对于最小值概念理解不到位而错选A.2.(2015银川高一检测)函数f(x)=2-在区间1,3上的最大值是()A.2B.3C.-1D.1【解析】选D.易判断f(x)在区间1,3上是单调递增的,所以在区间1,3上的最大值是f(3)=1.【补偿训练】函数f(x)=在区间2,6上的最大值和最小值分别是()A.,1B.1,C.,
2、1D.1,【解析】选B.函数f(x)=在2,6上单调递减,当x=2时,f(x)有最大值为1,当x=6时,有最小值为.3.(2015昆明高一检测)函数f(x)=则f(x)的最大值、最小值分别为()A.10,6B.10,8 C.8,6 D.以上都不对【解析】选A.函数f(x)在区间-1,2上是增函数,所以函数f(x)的最大值为f(2)=10,最小值为f(-1)=6.【补偿训练】设定义在R上的函数f(x)=x|x|,则f(x)()A.只有最大值B.只有最小值C.既有最大值又有最小值D.既无最大值又无最小值【解析】选D.f(x)=画出图象可知,函数f(x)既无最大值又无最小值.4.已知函数f(x)=x
3、2-4x+10,x-1,m,并且f(x)的最小值为f(m),则实数m的取值范围是()A.(-1,2B.(-1,+)C.2,+)D.(-,-1)【解题指南】由条件可知f(x)在区间-1,m上单调递减,所在区间-1,m是f(x)在R上的减区间的子集,据此可求得m的范围.【解析】选A.函数f(x)=x2-4x+10的对称轴为直线x=2,所以f(x)在(-,2上单调递减,又f(x)在-1,m上的最小值是f(m),所以-1,m是f(x)的单调减区间,所以-1m2.5.已知f(x)=,则y=f(x+2)在区间2,8上的最小值与最大值分别为()A.与B.与1C.与D.与【解析】选A.因为f(x+2)=,x2
4、,8,易证f(x+2)=在2,8上是减少的,所以x=8时,ymin=;x=2时,ymax=,故选A.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数y=f(x)的定义域为-4,6,且在区间-4,-2上递减,在区间(-2,6上递增,且f(-4)f(6),则函数f(x)的最小值是,最大值是.【解析】因为y=f(x)在-4,-2上递减,在(-2,6上递增,故当x=-2时f(x)取最小值f(-2),又因为f(-4)0)在2,4上的最小值为5,则k的值为.【解析】因为k0,所以函数y=在2,4上是减函数,所以当x=4时,ymin=,此时=5,所以k=20.答案:20三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2
5、015日照高一检测)求函数f(x)=+x在2,+)上的最小值.【解析】设2x1x2,则f(x1)-f(x2)=+x1-x2=+(x1-x2)=(x1-x2)0.所以f(x1)-f(x2)0,f(x1)0时,f(x)0,且f(1)=-,试求f(x)在区间-2,6上的最大值和最小值.【解析】(1)令x=y=0得f(0)=0,再令y=-x得f(-x)=-f(x),所以f(x)+f(-x)=0.(2)因为f(-3)=a则f(3)=-a,所以f(24)=8f(3)=-8a.(3)设x(-,+),且x10,所以f(x2-x1)0,f(x1)+f(x2-x1)f(x1),所以f(x2)0时,y=ax+1在1
6、,2上为增函数,所以2a+1-(a+1)=2,解得a=2;当a0时,y=ax+1在1,2上为减函数,所以a+1-(2a+1)=2,解得a=-2,故a=2.2.(2015宿州高一检测)函数f(x)=的最大值是()A.B.C.D.【解题指南】欲求最大值,可转化为求分母的最小值.【解析】选D.分母1-x(1-x)=x2-x+1=+,显然00成立,且f(-3)=a,f(-1)=b,则f(x)在-3,-1上的最大值是.【解析】由0,得f(x)在R上是增函数,则f(x)在-3,-1上的最大值是f(-1)=b.答案:b三、解答题(每小题10分,共20分)5.某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品,规定试
7、销时销售单价不低于成本单价,又不高于80元/件.经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一次函数y=kx+b的关系(如图所示).(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的解析式.(2)设公司获得的利润为S元(利润=销售总价-成本总价;销售总价=销售单价销售量,成本总价=成本单价销售量).试用销售单价x表示利润S;试问销售单价定为多少时,该公司可获得最大利润?最大利润是多少?此时的销售量是多少?【解析】(1)由图象知,当x=60时,y=40;当x=70时,y=30,代入y=kx+b中,得解得所以y=-x+100(50x80).(2)由题意可知:S=xy-50y=x(-x+10
8、0)-50(-x+100)=-x2+150x-5000=-(x-75)2+625(50x80).由知S=-(x-75)2+625(50x80),当x=75时,利润S取得最大值625,所以当销售单价为75元/件时,可获得最大利润625元,此时销售量为25件.6.已知函数f(x)对任意x,yR,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x0时,f(x)0,f(1)=-.(1)求证:f(x)是R上的单调减函数.(2)求f(x)在-3,3上的最小值.【解析】(1)设x1和x2是任意的两个实数,且x10,因为x0时,f(x)0,所以f(x2-x1)0,又因为x2=(x2-x1)+x1,所以f(x2)=f(x2-x1)+x1=f(x2-x1)+f(x1),所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)0,所以f(x2)f(x1).所以f(x)是R上的单调减函数.(2)由(1)可知f(x)在R上是减函数,所以f(x)在-3,3上也是减函数,所以f(x)在-3,3上的最小值为f(3).而f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3=-2.所以函数f(x)在-3,3上的最小值是-2.- 5 -
