1、课时提升作业(二十二)幂函数(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列函数中,是幂函数的是()A.y=2xB.y=2x3C.y=D.y=2x2【解析】选C.由幂函数所具有的特征可知,选项A,B,D中x的系数不是1;故只有选项C中y=x-1符合幂函数的特征.【补偿训练】下列函数:y=x2+1;y=;y=3x2-2x+1;y=x-3;y=+1.其中是幂函数的是()A.B.C.D.【解析】选C.由幂函数所具有的特征可知符合,而中有常数项1,均不符合幂函数的特征.2.(2015长治高一检测)若幂函数y=(m2-3m+3)xm-2的图象不过原点,则m的取值范围为()A.1m2B.m=1
2、或m=2C.m=2D.m=1【解析】选D.由题意得解得m=1.3.函数y=x-2在区间上的最大值是()A.B.C.4D.-4【解析】选C.y=x-2在区间上单调递减,所以x=时,取得最大值为4.【延伸探究】若本题的条件不变,则此函数在区间上的最大值和最小值之和为多少?【解析】y=x-2在区间上单调递减,所以x=2时,取得最小值为,当x=时,取得最大值为4.故最大值和最小值的和为.4.在下列函数中,定义域为R的是()A.y=B.y=C.y=2xD.y=x-1【解析】选C.选项A中函数的定义域为0,+),选项B,D中函数的定义域均为(-,0)(0,+).【误区警示】本题在确定函数的定义域时易忽略指
3、数是负数,从而自变量不能为0的情况,导致错选B或D.【补偿训练】设,则使函数y=x的定义域为R且为奇函数的所有的值为()A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3【解析】选A.函数y=x-1的定义域是,函数y=的定义域是0,+),函数y=x和y=x3的定义域为R且为奇函数.5.(2015荆门高一检测)函数y=|x(nN,n9)的图象可能是()【解析】选C.因为y=|x为偶函数,所以排除选项A,B.又n9,所以1.由幂函数在(0,+)内幂指数小于1的图象可知,只有选项C符合题意.二、填空题(每小题5分,共15分)6.幂函数f(x)=x过点,则f(x)的定义域是.【解析】因为幂函数f(x)
4、过点,所以=2,所以=-1,所以f(x)=x-1=,所以函数f(x)的定义域是(-,0)(0,+).答案:(-,0)(0,+)7.(2015铁岭高一检测)若y=a是幂函数,则该函数的值域是.【解析】由已知y=a是幂函数,得a=1,所以y=,所以y0,故该函数的值域为0,+).答案:0,+)【补偿训练】(2014济宁高一检测)当x(0,+)时,幂函数y=(m2-m-1)xm为减函数,则实数m的值为.【解析】由于函数y=(m2-m-1)xm为幂函数,所以m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.当m=2时函数在(0,+)上递增,所以要舍去.当m=-1时函数在(0,+)上递减,所以m=-1符合题意,故
5、填-1.答案:-18.若函数f(x)是幂函数,且满足=3,则f的值等于.【解析】依题意设f(x)=x,则有=3,得=log23,则f(x)=,于是f=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.比较下列各组数的大小:(1)1.10.1,1.20.1;(2)0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2.【解析】(1)由于函数y=x0.1在第一象限内单调递增,又因为1.11.2,所以1.10.11.20.1.(2)由于函数y=x-0.2在第一象限内单调递减,又因为0.240.25-0.2.(3)首先比较指数相同的两个数的大小,由于函数y=x0.3在第一象限
6、内单调递增,而0.20.3,所以0.20.30.30.3.再比较同底数的两个数的大小,由于函数y=0.3x在定义域内单调递减,而0.20.3,所以0.30.30.30.2.所以0.20.30.30.30.30.2.10.已知幂函数y=x3-p(pN*)的图象关于y轴对称,且在(0,+)上为增函数,求满足条件(a+10.因为pN*,所以p=1,所以不等式(a+1(3-2a化为:(a+1(3-2a.因为函数y=是0,+)上的增函数,所以-1a,故实数a的取值范围为.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015沈阳高一检测)下列幂函数在(-,0)上为减函数的是()A.y=B.y
7、=x2C.y=x3D.y=【解析】选B.函数y=,y=x3,y=在各自定义域上均是增函数,y=x2在(-,0)上是减函数.【补偿训练】下列幂函数中过点(0,0),(1,1)且为偶函数的是()A.y=B.y=x4C.y=x-2D.y=【解析】选B.函数y=x4是过点(0,0),(1,1)的偶函数,故B正确;函数y=x-2不过点(0,0),故C不正确;函数y=,y=是奇函数,故A,D不正确.2.在同一坐标系内,函数y=xa(a0)和y=ax-的图象可能是()【解析】选C.当a0时,函数y=ax-在R上是增函数,与y轴相交于点,此点在y轴的负半轴上,只有A,C适合,此时函数y=xa在(0,+)上是增
8、函数,进一步判断只有C适合.【补偿训练】函数y=x与y=x(-1,1,2,3)的图象只可能是下面中的哪一个()【解析】选C.A中直线对应函数y=x,曲线对应函数为y=x-1,1-1,故A错;B中直线对应函数为y=2x,曲线对应函数为y=,2,故B错;C中直线对应函数为y=2x,曲线对应函数为y=x2,22=22,故C对;D中直线对应函数为y=-x,曲线对应函数为y=x3,-13.故D错.二、填空题(每小题5分,共10分)3.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是.【解析】因为y=在x(0,+)上递增,所以,即ac,因为y=在x(-,+)上递减,所以,即cb,所以acb.答案:acb4.(
9、2015徐州高一检测)已知幂函数f=(mZ)的图象与x轴,y轴都无交点,且关于原点对称,则函数f的解析式是.【解题指南】由于函数的图象与x轴,y轴都无交点,所以m2-10,再根据图象关于原点对称,且mZ,确定m的值.【解析】因为函数的图象与x轴,y轴都无交点,所以m2-10,解得-1mg,x为何值时f1或xg;当-1x0或0x1时,f1).(1)求函数g(x)的解析式.(2)当x(t,a)时,g(x)的值域为(1,+),试求a与t的值.【解析】(1)因为f(x)是幂函数,且在(0,+)上是增函数,所以解得m=-1,所以g(x)=loga.(2)由0可解得x1,所以g(x)的定义域是(-,-1)
10、(1,+).又a1,x(t,a),可得t1,设x1,x2(1,+),且x10,x1-10,x2-10,所以-=0,所以.由a1,有logaloga,即g(x)在(1,+)上是减函数.又g(x)的值域是(1,+),所以得g(a)=loga=1,可化为=a,解得a=1,因为a1,所以a=1+,综上,a=1+,t=1.【补偿训练】已知函数f(x)=xm-且f(4)=.(1)求m的值.(2)判定f(x)的奇偶性.(3)判断f(x)在(0,+)上的单调性,并给予证明.【解析】(1)因为f(4)=,所以4m-=,所以m=1.(2)由(1)知f(x)=x-,因为f(x)的定义域为x|x0,又f(-x)=-x-=-=-f(x),所以f(x)是奇函数.(3)f(x)在(0,+)上单调递增.设x1x20,则f(x1)-f(x2)=x1-=(x1-x2),因为x1x20,所以x1-x20,1+0,所以f(x1)f(x2),所以f(x)在(0,+)上为单调递增函数.
