1、课时作业(十七)指数函数及其性质的应用一、选择题1下列判断正确的是()A2.52.52.53B0.820.83C22D0.90.30.90.5答案:D 解析:y0.9x 是减函数,且 0.50.3,0.90.30.90.5.2函数 y12x22的单调递减区间为()A(,0 B0,)C(,2 D 2,)答案:B 解析:函数 y12u 为 R 上的减函数,欲求函数 y12x22 的单调递减区间,只需求函数 ux22 的单调递增区间,而函数 ux22 的单调递增区间为0,)3当 x0 时,指数函数(a1)x1 恒成立,则实数 a 的取值范围是()A(2,)B(1,2)C(1,)DR答案:B 解析:当
2、 x0 时,(a1)x1 恒成立,0a11,即 1a2.4已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)g(x)axax2(a0,且 a1),若 g(2)a,则 f(2)()A2 B.154C.174Da2答案:B 解析:f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,由 f(x)g(x)axax2,得f(x)g(x)axax2,得 g(x)2,得 f(x)axax.又 g(2)a,a2,f(x)2x2x,f(2)2222154.5设函数 yf(x)在(,)内有意义对于给定的正数 K,定义函数 fK(x)fx,fxK,K,fxK.取函数 f(x)2|x|,当 K12时,函数 fK(x
3、)的单调递增区间为()A(,0)B(0,)C(,1 D1,)答案:C 解析:由 f(x)2|x|及 K12,得 fK(x)2|x|,x1或x1,12,1x1.函数 fK(x)的单调递增区间是(,16函数 yaxa(a0,a1)的图象可能是()答案:C7设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数,满足条件:yf(x1)是偶函数,且当 x1 时,f(x)5x,则 f23,f32,f13 的大小关系是()Af13 f23 f32Bf32 f13 f23Cf32 f23 f13Df23 f32 1213,f23 f12 f13,即 f23 f32 f13.二、填空题8已知函数 y13x 在2,1上的最小
4、值是 m,最大值是 n,则 mn 的值为_答案:12 解析:y13x 在2,1上为减函数,m1313,n1329,mn12.9若函数 f(x)2x22axa1的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是_答案:1,0 解析:依题意,2x22ax a10 对 xR 恒成立,即 x22axa0 恒成立,4a24a0,解得1a0.10已知函数 f(x)ax(a0,且 a1)满足 f(2)f(3),则函数 g(x)a1x2 的单调增区间是_答案:0,)解析:f(2)f(3),a2a3,0a1.令 t1x2,则 yat.yat 是减函数,t1x2 的减区间是0,),g(x)a1x2 的增区间是0,)11已知
5、函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,f(x)12x,则不等式 f(x)12的解集是_答案:x|x1 解析:f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,f(x)f(x)(12x)2x1,f(0)0.当 x0 时,由 12x12,得12x32,解得 x;当 x0 时,f(0)012不成立;当 x0 时,由 2x112,得 2x21,解得 x1.综上可知,原不等式的解集为x|x1三、解答题12已知 3x19x 3,求函数 y13x 的值域解:由 3x19x 3,得 3x32x 6,x2x6,解得 x2.又 y13x 在 x(,2上是减函数,y13x13219,故 y13x 的值
6、域为19,.13已知关于 x 的方程 4x2x1a0 有两个不相等的实数根,求 a 的取值范围解:由已知得(2x)222xa,(2x1)2a1.原方程有两个不相等的实数根,a10,2x1 a1,2x0,1 a10,a11,0a11,1a0.即 a 的取值范围是(1,0)14已知定义在 R 上的奇函数 f(x)2xa2xb.(1)求 a,b 的值;(2)判断并证明 f(x)在 R 上的单调性;(3)求该函数的值域解:(1)因为 f(x)是 R 上的奇函数,所以f00,f1f1,即1a1b0,12a12b2a2b,解得a1,b1.(2)f(x)在 R 上是增函数证明如下:由(1)知 f(x)2x1
7、2x1.设 x1,x2R,且 x1x2,则f(x1)f(x2)2x112x112x212x212x112x212x212x112x112x2122x12x22x112x21.因为 y2x 是 R 上的增函数,且 x1x2,所以 2x12x20,所以 f(x1)f(x2)0,即 f(x1)0,得 2x11,所以 022x12,所以1122x11,即1f(x)0 时,f(x)0,f(1)2.(1)求 f(0),f(3)的值;(2)判定 f(x)的单调性;(3)若 f(4xa)f(62x1)6 对任意 x 恒成立,求实数 a 的取值范围解:(1)由已知,令 xy0,可得f(00)f(0)f(0),f(0)0.由 f(1)2,可得f(2)f(1)f(1)224,f(3)f(2)f(1)6.(2)任取 x1,x2R 且 x10,且 f(x2x1)0.又f(x2)f(x1)f(x2x1x1)f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)0,即 f(x1)6 恒成立,由已知及(1)得 f(4xa62x1)f(3)恒成立f(x)为增函数,4xa62x13 恒成立,即 4x22x3a 恒成立令 g(x)4x22x3(2x1)22.2x0,g(x)3,a3,故 a 的取值范围是(,3