1、2016-2017学年山西省朔州市怀仁一中高二（上）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1如果直线l与平面不垂直，那么在平面内（）A不存在与l垂直的直线B存在一条与l垂直的直线C存在无数条与l垂直的直线D任一条都与l垂直2命题：“对任意的xR，x3x2+10”的否定是（）A不存在xR，x3x2+10B存在x0R，x03x02+10C存在x0R，x03x02+10D对任意的xR，x3x2+103双曲线的（）A实轴长为，虚轴长为4，渐近线方程为，离心率B实轴长为，虚轴长为4，渐近线方程为，离心率C实轴长
2、为，虚轴长为4，渐近线方程为，离心率D实轴长为，虚轴长为8，渐近线方程为，离心率4一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为（）A48+12B48+24C36+12D36+245已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE与D1F所成角的余弦值为（）ABCD6已知双曲线的方程为=1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|=m，F1为另一焦点，则ABF1的周长为（）A2a+2mBa+mC4a+2mD2a+4m7F1，F2是椭圆的两个焦点，A为椭圆上一点，且AF1F2=45，则三角形AF1F2的面积为（）A7BCD8
3、已知直线x+2ay1=0与直线（a2）xay+2=0平行，则a的值是（）AB或0CD或09如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90，BC1AC，则C1在底面ABC的射影H必在（）A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部10在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为（）ABCD11设P（x，y）是圆x2+（y+4）2=4上任意一点，则的最小值为（）A +2B2C5D612已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）ABCD二、填空题（每题5分，满分20
4、分，将答案填在答题纸上）13曲线与曲线y+|ax|=0（aR）的交点有个14设命题p：|4x3|1；命题q：x2（2a+1）x+a（a+1）0若p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是15过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程16如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC，在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足，设AK=t，则t的取值范围是三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知方程kx2+y2=4，其中kR
5、，试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型18已知命题p：函数y=x2+2（a2a）x+a42a3在2，+）上单调递增q：关于x的不等式ax2ax+10解集为R若pq假，pq真，求实数a的取值范围19已知四棱锥ABCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD面ABC，BECD，F为AD的中点（）求证：EF面ABC；（）求证：平面ADE平面ACD；（）求四棱锥ABCDE的体积20如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD=60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA=（）证明：平面PBE平面PAB；（）求二面角ABEP的大小21双曲线（a0，b0）满足如下条件：（
6、1）ab=；（2）过右焦点F的直线l的斜率为，交y轴于点P，线段PF交双曲线于点Q，且|PQ|：|QF|=2：1，求双曲线的方程22在平面直角坐标系xoy中，椭圆的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的弦长为（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆的顶点）点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点求OMN面积的最大值2016-2017学年山西省朔州市怀仁一中高二（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1如果直线l与平面不垂
7、直，那么在平面内（）A不存在与l垂直的直线B存在一条与l垂直的直线C存在无数条与l垂直的直线D任一条都与l垂直【考点】直线与平面垂直的性质【分析】平面内与l在内的射影垂直的直线，垂直于直线l，这样的直线有无数条，故可得结论【解答】解：平面内与l在内的射影垂直的直线，垂直于直线l，这样的直线有无数条，故A、B不正确，C正确；若在平面内，任一条都与l垂直，则直线l与平面垂直，与题设矛盾，故D不正确故选C2命题：“对任意的xR，x3x2+10”的否定是（）A不存在xR，x3x2+10B存在x0R，x03x02+10C存在x0R，x03x02+10D对任意的xR，x3x2+10【考点】命题的否定【分析
8、】直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题：“对任意的xR，x3x2+10”的否定是：存在x0R，x03x02+10故选：B3双曲线的（）A实轴长为，虚轴长为4，渐近线方程为，离心率B实轴长为，虚轴长为4，渐近线方程为，离心率C实轴长为，虚轴长为4，渐近线方程为，离心率D实轴长为，虚轴长为8，渐近线方程为，离心率【考点】双曲线的标准方程【分析】根据双曲线的标准方程来求实轴长、虚轴长、渐近线方程以及离心率即可【解答】解：双曲线方程是，a2=5，b2=4，c=3，实轴长=2a=2，虚轴长=2b=4，渐近线方程y=x=x，离心率e=故选：A4一
9、个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm2）为（）A48+12B48+24C36+12D36+24【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱锥，其高已知，底面是长度为6的等腰直角三角形，故先求出底面积，再各个侧面积，最后相加即可得全面积【解答】解：此几何体为一个三棱锥，其底面是边长为6的等腰直角三角形，顶点在底面的投影是斜边的中点由底面是边长为6的等腰直角三角形知其底面积是=18又直角三角形斜边的中点到两直角边的距离都是3，棱锥高为4，所以三个侧面中与底面垂直的侧面三角形高是4，底面边长为6，其余两个侧面的斜高为=5故三个侧面中与底面垂直的三角形的面积
10、为46=12，另两个侧面三角形的面积都是=15故此几何体的全面积是18+215+12=48+12故选A5已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE与D1F所成角的余弦值为（）ABCD【考点】异面直线及其所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离【分析】设正方体ABCDA1B1C1D1棱长为2，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出异面直线AE与D1F所成角的余弦值【解答】解：设正方体ABCDA1B1C1D1棱长为2，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），E（2，2，1）D1
11、（0，0，2），F（0，2，1）=（0，2，1），=（0，2，1），设异面直线AE与D1F所成角为，则cos=|cos，|=|0|=故选B6已知双曲线的方程为=1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|=m，F1为另一焦点，则ABF1的周长为（）A2a+2mBa+mC4a+2mD2a+4m【考点】双曲线的简单性质【分析】利用双曲线的定义可得|AF1|AF2|=2a，|BF1|BF2|=2a，进而得到其周长【解答】解：|AF1|AF2|=2a，|BF1|BF2|=2a，又|AF2|+|BF2|=|AB|=m，|AF1|+|BF1|=4a+m，ABF1的周长=|AF1|
12、+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m故选C7F1，F2是椭圆的两个焦点，A为椭圆上一点，且AF1F2=45，则三角形AF1F2的面积为（）A7BCD【考点】椭圆的简单性质【分析】求出F1F2的 长度，由椭圆的定义可得AF2=6AF1，由余弦定理求得AF1=，从而求得三角形AF1F2的面积【解答】解：由题意可得 a=3，b=，c=，故，AF1+AF2=6，AF2=6AF1，AF22=AF12+F1F222AF1F1F2cos45=AF124AF1+8，（6AF1）2=AF124AF1+8，AF1=，故三角形AF1F2的面积S=8已知直线x+2ay1=0与直线（a2）xay+2=0
13、平行，则a的值是（）AB或0CD或0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【分析】由直线的平行关系可得a的方程，解方程排除重合可得【解答】解：直线x+2ay1=0与直线（a2）xay+2=0平行，1（a）=2a（a2），解得a=或a=0，经验证当a=0时两直线重合，应舍去，故选：A9如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=90，BC1AC，则C1在底面ABC的射影H必在（）A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部【考点】棱柱的结构特征【分析】由题意结合线面垂直的判定可得平面BCC1平面ABC，再由线面垂直的性质可得C1在底面ABC的射影H的位置【解答】解：如图，BCA=90，A
14、CBC，又BC1AC，且BC1BC=B，AC平面BCC1，而AC平面ABC，平面BCC1平面ABC在平面BCC1中，过C1作C1HBC，垂足为H则C1H平面ABCC1在底面ABC的射影H必在直线BC上故选：B10在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为（）ABCD【考点】球的体积和表面积【分析】球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了【解答】解：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，则V球=（）3=故选C11设P（x，y）是圆x2+（y+4）2=
15、4上任意一点，则的最小值为（）A +2B2C5D6【考点】圆与圆的位置关系及其判定【分析】设M（1，1），可得所求式为P、M两点间的距离运动点P得当P在圆上且在线段CM上时，|PM|达到最小值，由此利用两点的距离公式加以计算，即可得出本题答案【解答】解：圆x2+（y+4）2=4的圆心是C（0，4），半径为r=2设M（1，1），可得|PM|=，P（x，y）是圆x2+（y+4）2=4上任意一点，运动点P，可得当P点在圆C与线段CM的交点时，|PM|达到最小值|CM|=，|PM|的最小值为|CM|r=2故选：B12已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正
16、弦值等于（）ABCD【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为，则sin=|，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可【解答】解：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），=（1，1，0），=（1，0，2），=（1，0，0），设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取=（2，2
17、，1），设CD与平面BDC1所成角为，则sin=|=，故选A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13曲线与曲线y+|ax|=0（aR）的交点有2个【考点】直线与圆的位置关系【分析】曲线表示以原点为圆心，1为半径的下半圆，y+|ax|=0表示过原点的直线，即可得出两函数交点个数【解答】解：曲线表示以原点为圆心，1为半径的下半圆，y+|ax|=0表示过原点的直线，两曲线交点个数为2个故答案为：214设命题p：|4x3|1；命题q：x2（2a+1）x+a（a+1）0若p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是0，【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法；
18、绝对值不等式的解法【分析】因为p是q的必要而不充分条件，其逆否命题（等价命题）是：q是p的必要不充分条件，命题p中变量的范围是命题q中变量的取值范围的真子集，画出数轴，考查区间端点的位置关系，可得答案【解答】解：解|4x3|1，得x1 解x2（2a+1）x+a（a+1）0 得axa+1因为p是q的必要而不充分条件，所以，q是p的必要不充分条件，即由命题p成立能推出命题q成立，但由命题q成立不推出命p成立，1a，a+1a且a+11，两个等号不能同时成立，解得0a实数a的取值范围是：0，15过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】
19、设出直线与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，利用点差法，结合M（2，1）为AB的中点吗，求出直线的斜率，即可得到直线的方程【解答】解：设直线与椭圆的交点为A（x1，y1）、B（x2，y2）M（2，1）为AB的中点x1+x2=4，y1+y2=2又A、B两点在椭圆上，则，两式相减得于是（x1+x2）（x1x2）+4（y1+y2）（y1y2）=0，即，故所求直线的方程为，即x+2y4=016如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC，在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足，设AK=t，则t的取值范围是（，
20、1）【考点】平面与平面垂直的性质；棱锥的结构特征【分析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时与随着F点到C点时，分别求出此两个位置的t值即可得到所求的答案【解答】解：此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，可得t=1，随着F点到C点时，当C与F无限接近，不妨令二者重合，此时有CD=2因CBAB，CBDK，CB平面ADB，即有CBBD，对于CD=2，BC=1，在直角三角形CBD中，得BD=，又AD=1，AB=2，再由勾股定理可得BDA是直角，因此有ADBD 再由DKAB，可得三角形ADB和三角形AKD相似，可得t=，因此t的取值的范围是（，1）故答案为（，1
21、）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知方程kx2+y2=4，其中kR，试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型【考点】圆锥曲线的共同特征【分析】本题要确定曲线的类型，关键是讨论k的取值范围，【解答】解（1）当k=0时，方程变为y=2，表示两条与x轴平行的直线；（2）当k=1时，方程变为x2+y2=4表示圆心在原点，半径为2的圆；（3）当k0时，方程变为=1，表示焦点在y轴上的双曲线（4）当0k1时，方程变为+=1，表示焦点在x轴上的椭圆；（5）当k1时，方程变为+=1，表示焦点在y轴上的椭圆18已知命题p：函数y=x2+2（a2a）x+a42
22、a3在2，+）上单调递增q：关于x的不等式ax2ax+10解集为R若pq假，pq真，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用【分析】先求出命题p，q对应的等价条件，然后根据复合命题之之间的条件，确定命题的真假，然后确定实数a的取值范围【解答】解：函数y=x2+2（a2a）x+a42a3=x+（a2a）2a2，在2，+）上单调递增，对称轴（a2a）2，即a2a20，解得a1或a2即p：a1或a2由不等式ax2ax+10的解集为R得，即解得0a4q：0a4pq假，pq真p与q一真一假p真q假或p假q真，即或a1或a4或0a2所以实数a的取值范围是（，10，2）4，+）19已知
23、四棱锥ABCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD面ABC，BECD，F为AD的中点（）求证：EF面ABC；（）求证：平面ADE平面ACD；（）求四棱锥ABCDE的体积【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】（）取AC中点G，连接FG、BG，根据三角形中位线定理，得到四边形FGBE为平行四边形，进而得到EFBG，再结合线面平行的判定定理得到EF面ABC；（）根据已知中ABC为等边三角形，G为AC的中点，DC面ABC得到BGAC，DCBG，根据线面垂直的判定定理得到BG面ADC，则EF面ADC，再由面面垂直的判定定理，可得面ADE面ACD；
24、（）方法一：四棱锥四棱锥ABCDE分为两个三棱锥EABC和EADC，分别求出三棱锥EABC和EADC的体积，即可得到四棱锥ABCDE的体积方法二：取BC的中点为O，连接AO，可证AO平面BCDE，即AO为VABCDE的高，求出底面面积和高代入棱锥体积公式即可求出四棱锥ABCDE的体积【解答】证明：（）取AC中点G，连接FG、BG，F，G分别是AD，AC的中点 FGCD，且FG=DC=1BECDFG与BE平行且相等EFBG EF面ABC，BG面ABCEF面ABC（）ABC为等边三角形BGAC又DC面ABC，BG面ABCDCBGBG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC，BG面ADC EFBGEF
25、面ADCEF面ADE，面ADE面ADC 解：（）方法一：连接EC，该四棱锥分为两个三棱锥EABC和EADC方法二：取BC的中点为O，连接AO，则AOBC，又CD平面ABC，CDAO，BCCD=C，AO平面BCDE，AO为VABCDE的高，20如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD=60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA=（）证明：平面PBE平面PAB；（）求二面角ABEP的大小【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定【分析】（I）连接BD，由已知中四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD=60，E是CD的中点，PA底面ABCD，我
26、们可得BEAB，PABE，由线面垂直的判定定理可得BE平面PAB，再由面面平行的判定定理可得平面PBE平面PAB；（II）由（I）知，BE平面PAB，进而PBBE，可得PBA是二面角ABEP的平面角解RtPAB即可得到二面角ABEP的大小【解答】证明：（I）如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且BCD=60知，BCD是等边三角形因为E是CD的中点，所以BECD，又ABCD，所以BEAB，又因为PA平面ABCD，BE平面ABCD，所以PABE，而PAAB=A，因此 BE平面PAB又BE平面PBE，所以平面PBE平面PAB解：（II）由（I）知，BE平面PAB，PB平面PAB，所以PBBE又ABB
27、E，所以PBA是二面角ABEP的平面角在RtPAB中，故二面角ABEP的大小为6021双曲线（a0，b0）满足如下条件：（1）ab=；（2）过右焦点F的直线l的斜率为，交y轴于点P，线段PF交双曲线于点Q，且|PQ|：|QF|=2：1，求双曲线的方程【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质【分析】首先设直线l：y=（xc），并求出P点坐标；然后根据|PQ|：|QF|=2：1，求出Q点坐标，并代入双曲线方程，再由a2+b2=c2，求出a2、b2即可【解答】解：设直线l：y=（xc），令x=0，得P（0，），设=，Q（x，y），则有，又Q（）在双曲线上，b2（c）2a2（c）2=a2b2，a2+
28、b2=c2，解得=3，又由ab=，可得，所求双曲线方程为22在平面直角坐标系xoy中，椭圆的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的弦长为（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆的顶点）点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点求OMN面积的最大值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由椭圆离心率可得a，b的关系，联立直线方程和椭圆方程，结合直线y=x被椭圆C截得的弦长为求得a，b的值，则椭圆方程可求；（2）设A（x1，y1），D（x2，y2），则B（x1，y1），可得，设直线AD的方程为y=kx+m，联立，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0求出BD所在直线的斜率，得到BD的方程，分别求出M，N的坐标，代入三角形面积公式，利用基本不等式求得最值【解答】解：（1）由题意知，可得a2=4b2，联立，得，解得a=2椭圆方程为；（2）设A（x1，y1），D（x2，y2），则B（x1，y1），且ABAD，则，设直线AD的方程为y=kx+m，由题意知k0，m0，联立，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，直线BD的方程为，令y=0，得x=3x1，即M（3x1，0）令x=0，得，即M（3x1，0）又，当且仅当时，等号成立OMN面积的最大值为2017年1月20日
