1、第3讲力的合成与分解一、矢量运算法则1.平行四边形定则。2.三角形定则:把两个矢量的首、尾顺次连接起来,第一个矢量的首到第二个矢量的尾的有向线段为合矢量。二、力的合成1.合力与分力:如果几个力同时作用在物体上产生的效果与某一个力单独作用时的效果相同,则这一个力为那几个力的合力,那几个力为这一个力的分力。2.共点力:几个力都作用在物体的同一点,或者它们的作用线交于一点。3.力的合成:求几个力的合力的过程。4.平行四边形定则:求互成角度的两共点力的合力,可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形,这两个相邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。三、力的分解1.力的分解:求一个力的分力的过程。力的分
2、解与力的合成互为逆运算。2.遵从原则:平行四边形定则。3.分解方法(1)力的效果分解法;(2)力的正交分解法。1.关于合力的下列说法,正确的是() A.几个力的合力就是这几个力的代数和B.几个力的合力一定大于这几个力中的任何一个力C.几个力的合力可能小于这几个力中最小的力D.几个力的合力一定大于这几个力中最大的力答案C力是矢量,几个力的合力不能简单地进行代数加减,故A是错误的。合力可以大于分力,可以等于分力,也可以小于分力,故B、D是错误的,C正确。2.物体同时受到同一平面内的三个力的作用,下列几组力的合力不可能为零的是()A.5 N,7 N,8 N B.5 N,2 N,3 NC.1 N,5
3、N,10 N D.10 N,10 N,10 N答案C三个力合成,若前两个力的合力可与第三个力大小相等,方向相反,就可以使这三个力合力为零,只要使第三个力的大小在其他两个力的合力范围之内,就可能使合力为零,即第三个力F3满足:|F1-F2|F3F1+F2。3.(多选)小娟、小明两人共提一桶水匀速前行,如图所示,已知两人手臂上的拉力大小相等且为F,两人手臂间的夹角为,水和水桶的总重力为G,则下列说法中正确的是()A.当为120时,F=G B.不管为何值,F=G2C.当=0时,F=G2 D.越大时F越小答案AC 由平行四边形定则可知,两分力相等时,=120,F=F合=G;当=0时,F=12F合=G2
4、,故A、C对,B错。在合力一定时,越大,分力越大,故D错。4.如图所示,力F垂直作用在斜面倾角为的三角滑块上,滑块没被推动,则滑块受到地面的静摩擦力的大小为()A.0 B.F cos C.F sin D.F tan 答案C滑块受力如图。将力F正交分解,由水平方向合力为零可知Ff=F sin ,所以C正确。考点一力的合成共点力的合成方法1.合成法则:平行四边形定则或三角形定则。2.求出以下三种特殊情况下二力的合力:(1)相互垂直的两个力合成,合力大小为F=F12+F22。(2)夹角为、大小相等的两个力合成,平行四边形为菱形,对角线相互垂直,合力大小为F=2F1 cos2=2F2 cos 2。(3
5、)夹角为120、大小相等的两个力合成,合力大小与分力相等,方向沿二力夹角的平分线。1-1 如图甲所示,在广州亚运会射箭女子个人决赛中,中国选手程明获得亚军,创造了中国女子箭手在亚运个人赛历史上的最好成绩。射箭时,若刚释放的瞬间弓弦的拉力为100 N,对箭产生的作用力为120 N,其弓弦的拉力如图乙中F1和F2所示,对箭产生的作用力如图中F所示。弓弦的夹角应为(cos 53=0.6)()A.53 B.127 C.143 D.106答案D弓弦拉力合成如图所示,由几何知识得cos2=F2F1=60N100N=35=0.6所以2=53可得=106,故D正确。1-2(多选)在研究共点力合成实验中,得到如
6、图所示的合力与两分力夹角的关系曲线,关于合力F的范围及两个分力的大小,下列说法正确的是()A.2 NF14 NB.2 NF10 NC.两分力大小分别为2 N、8 ND.两分力大小分别为6 N、8 N答案AD由题图像得=12时,两分力F1、F2垂直,合力为10 N,即F12+F22=(10 N)2。=时,两分力方向相反,即两分力相减,|F1-F2|=2 N,联立解得F1=8 N,F2=6 N或F1=6 N,F2=8 N,合力的范围|F1-F2|FF1+F2,即2 NF14 N,故A、D对,B、C错。考点二力的分解一、力的分解的唯一性分析1.已知合力F和两分力的方向,两分力有唯一的确定值。按力F的
7、实际作用效果分解,属于此类情况。2.已知合力F和一个分力F1的大小与方向,另一分力F2有唯一的确定值。3.已知一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小,对力F进行分解,则有三种可能(F1与F的夹角为)。如图所示:(1)F2F sin 时无解。(2)F2=F sin 或F2F时有一组解。(3)F sin F2F20=25 N且F2F sin 30=F2,从图上可以看出,F1有两个解,由直角三角形OAD可知FOA=F2-(F2)2=32F。由直角三角形ABD得FBA=F22-(F2)2=36F。由图的对称性可知FAC=FBA=36F,则分力F1=32F-36F=33F;F1=32F+36F=233
8、F。二、实际效果分解法重力分解为沿斜面向下的力F1=mg sin 和使物体压紧斜面的力F2=mg cos 重力分解为使球压紧挡板的分力F1=mg tan 和使球压紧斜面的分力F2=mgcos重力分解为使球压紧竖直墙壁的分力F1=mg tan 和使球拉紧悬线的分力F2=mgcos2-3(多选)如图所示,用轻细绳AO和BO将质量为m的重物悬吊起来,静止时AO是水平的,BO与竖直方向的夹角为。已知重力加速度为g。设AO绳的拉力为F1,BO绳的拉力为F2。拉力为F1和F2的大小是()A.F1=mg sin B.F1=mg tan C.F2=mg cos D.F2=mgcos答案BD以节点O为研究对象,
9、受力如图所示。方法1:作F1和F2的合力f,如图甲所示。根据平衡条件有f=F=mg。所以F1=F tan =mg tan F2=Fcos=mgcos方法2:将F2正交分解,如图乙所示。由平衡条件F2 sin =F1F2 cos =mg解得F1=mg tan ,F2=mgcos2-4如图所示,人曲膝下蹲时,膝关节弯曲的角度为,设此时大、小腿部的肌群对膝关节的作用力F的方向水平向后,且大腿骨、小腿骨对膝关节的作用力大致相等,那么脚掌所受地面竖直向上的弹力约为()A.F2sin2 B.F2cos2C.F2tan2 D.F2 tan 2答案D设大腿骨和小腿骨的作用力大小分别为F1、F2,且F1=F2,
10、由力的平行四边形定则易知F2 cos2=F2,对F2进行分解有F2y=F2 sin2,解得F2y=F2 tan2,则知脚掌所受地面竖直向上的弹力约为F2 tan 2,D选项正确。三、正交分解法1.分解方法:物体受到多个力F1、F2、F3作用,求合力F时,可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解。x轴上的合力Fx=Fx1+Fx2+Fx3+y轴上的合力Fy=Fy1+Fy2+Fy3+合力大小:F=Fx2+Fy2合力方向:与x轴夹角为,则tan =FyFx。2.建立坐标系原则:以少分解力和容易分解力为原则。2-5如图所示,在倾角为的固定光滑斜面上,质量为m的物体受外力F1和F2的作用,F1方向水平向右,F2
11、方向竖直向上,若物体静止在斜面上,重力加速度为g,则下列关系正确的是()A.F1 sin +F2 cos =mg sin ,F2mgB.F1 cos +F2 sin =mg sin ,F2mgC.F1 sin +F2 cos =mg sin ,F2mgD.F1 cos +F2 sin =mg sin ,F2mg答案B物体的受力如图,由平衡条件得F1 sin +mg cos =F2 cos +NF1 cos +F2 sin =mg sin 解得F1tan+F2=mg,故F2mg故B正确。考点三“死结”和“活结”1.“死结”模型(1)“死结”是不可以沿绳子移动的结。(2)“死结”可理解为把绳子分成
12、两段,“死结”两侧的绳因“结”而变成了两根独立的绳。(3)“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。2.“活结”模型(1)“活结”是可以沿绳子移动的结点。(2)“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而弯曲,但实际上是同一根绳。(3)“活结”也可以理解为把绳子分成两段。(4)“活结”分开的两段绳子的弹力的大小一定相等,两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的平分线。3-1(多选)如图所示,一根轻质细线两端分别固定在A、B点,质量为m的物体上面带一个小夹子,开始时用夹子将物体固定在图示位置,OA段细线水平,OB段细线与水平方向的夹角为=45,现将夹子向左移动一小
13、段距离,移动后物体仍处于静止状态,关于OA、OB两段细线中的拉力大小,下列说法正确的是()A.移动前,OA段细线的拉力等于物体所受的重力大小B.移动前,OA段细线的拉力小于物体所受的重力大小C.移动后,OB段细线拉力的竖直分量不变D.移动后,OB段细线拉力的竖直分量变小答案AD取O点为研究对象,受力如图所示,由图知TOA=TOB cos ,TOB sin =mg,当=45时,TOA=mg,A对;向左移动一小段距离后,O点位置下移,OB段细线拉力的竖直分量与OA段细线拉力的竖直分量之和等于物体所受的重力,则知OB段细线拉力的竖直分量变小,D对。3-2一根柔软的轻绳两端分别固定在两竖直的直杆上,绳
14、上用一光滑的挂钩悬一重物,如图所示,设AO段弹力大小为F1,BO段弹力大小为F2。(不计绳与重物间的摩擦)(1)现保持绳的固定端位置不变,将右杆向右移动一小段距离,则()A.F1变大,F2减小B.F1减小,F2变大C.F1、F2均变大D.F1、F2均不变(2)现保持杆的位置不变,将右杆绳的固定端由B缓慢移到B点,则F1、F2怎样变化?(3)若绳长L=5 m,两杆相距d=4 m,重物重为G=12 N,求弹力F1和F2。答案见解析解析(1)以滑轮O为研究对象,受力如图所示。因为AOB是同一根绳子,绳上的弹力处处相等,所以F1=F2根据平衡条件,F1、F2的合力f=mg,竖直向上2F1 cos =m
15、g解得F1=F2=mg2cos将右杆向右移动一小段距离,两绳的夹角增大,所以F1、F2都增大(2)如图所示,设绳长为L,两杆距离为d,由几何关系得sin =dL将绳的固定端由B缓慢移到B点,角保持不变因F1=F2=mg2cos,所以F1、F2均不变(3)代入数据sin =dL=0.8,则cos =0.6F1=F2=G2cos=10 NA组基础巩固 1.小芳同学想要悬挂一个镜框,以下四种方法中每根绳子所受拉力最小的是()答案B设每根绳子上的拉力为F,绳子与竖直方向的夹角为,镜框处于平衡状态,则F=mg2cos,当=0时,F有最小值,选项B正确。2.(2018东城期末)如图所示,一个质量为m的钢球
16、,放在倾角为的固定斜面上,用一垂直于斜面的挡板挡住,处于静止状态。各个接触面均光滑,重力加速度为g,则球对斜面压力的大小是()A.mg cos B.mg sin C.mgcos D.mgtan答案A据钢球的重力产生的两个效果,将其分解成两个分力G1和G2,如图所示,则分析知球对斜面的压力大小与G1相等,F压=G1=G cos =mg cos ,A项正确。3.(2020西城期末)如图所示,在光滑墙壁上用轻质网兜把足球挂在A点,足球与墙壁的接触点为B。足球所受重力为G,悬绳与墙壁的夹角为。则悬绳对球的拉力F的大小为()A.F=G tan B.F=G sin C.F=Gcos D.F=Gtan答案C
17、4.(2019海淀期中)如图所示,一条不可伸长的轻绳一端固定于悬点O,另一端连接着一个质量为m的小球。在水平力F的作用下,小球处于静止状态,轻绳与竖直方向的夹角为,已知重力加速度为g,则下列说法正确的是()A.绳的拉力大小为mg tan B.绳的拉力大小为mg cos C.水平力F大小为mg tan D.水平力F大小为mg cos 答案C小球静止,所受F合为0,受力如图,可得绳拉力T=mgcos,水平力F=mg tan 。5.如图所示,A、B为竖直墙壁上等高的两点,AO、BO为长度相等的两根轻绳,CO为一根轻杆。转轴C在AB中点D的正下方,AOB在同一水平面上。AOB=90,COD=60。若在
18、O点处用轻绳悬挂一个质量为m的物体,重力加速度为g,则平衡后绳AO所受拉力的大小为()A.13mg B.33mgC.16mg D.66mg答案D设绳AO和绳BO拉力的合力为F,对O点进行受力分析可知,O点受到向下的拉力FT=mg、杆的支持力FN和AO、BO两绳子拉力的合力F,如图1,根据平衡条件得F=mg tan 30,将F分解,如图2,则有AO所受拉力的大小F1=22F=66mg,故D正确。6.(多选)(2020四中期中) 如图所示,木块在垂直于倾斜天花板方向的推力F作用下处于静止状态,下列判断正确的是()A.天花板与木块间的弹力可能为零B.天花板对木块的摩擦力不一定为零C.逐渐增大F,木块
19、将始终保持静止状态D.逐渐增大F,木块受到天花板的摩擦力也随之增大答案BC7.如图所示,轻绳AB总长为l,用轻滑轮悬挂重为G的物体,绳能承受的最大拉力是2G,将A端固定,将B端缓慢向右移动d而使绳不断,求d的最大值。答案154l解析如图所示,以与滑轮接触的那一小段绳子为研究对象,在任何一个平衡位置都在滑轮对它的压力N(大小为G)和绳的拉力F1、F2共同作用下平衡,而同一根绳子上的拉力F1、F2总是相等的,它们的合力与N平衡,方向竖直向上,因此以F1、F2为分力作出的力的平行四边形一定是菱形。利用菱形对角线互相垂直平分的性质,结合相似三角形知识可得d2l2=(F1)2-G22F1,因为绳能承受的
20、最大拉力是2G,所以d最大时F1=F2=2G,此时dmax2l2=154,所以dmax=154l。B组综合提能 1.体育课上某同学做引体向上。他两手握紧单杠,双臂竖直,身体悬垂;接着用力上拉使下颌超过单杠(身体无摆动);然后使身体下降,最终悬垂在单杠上。下列说法正确的是()A.在上升过程中单杠对人的作用力始终大于人的重力B.在下降过程中单杠对人的作用力始终小于人的重力C.若增大两手间的距离,最终悬垂时单臂的拉力变大D.若增大两手间的距离,最终悬垂时单臂的拉力不变答案C上升、下降过程中如果该同学匀速运动,则人的重力等于单杠对人的作用力,A、B错误。悬垂时两臂拉力的合力等于人的重力,增大两手间距离
21、,则两臂的夹角变大,单臂的拉力变大,C正确,D错误。2.(2018民大附中月考)如图,用两根等长轻绳将木板悬挂在竖直木上等高的两点,制成一简易秋千。某次维修时将两轻绳各剪去一小段,但仍保持等长且悬挂点不变。木板静止时,F1表示单根轻绳对木板拉力的大小,F2表示两根轻绳对木板拉力的合力大小,则维修后()A.F1变大,F2变大 B.F1不变,F2变小C.F1变大,F2不变 D.F1变小,F2变小答案C绳变短仍等长,悬点不变,单根轻绳对木板的拉力与竖直方向间夹角变大,由图可知,F2不变,F1变大。3.两根杆M、N竖直固定在水平面上,轻绳的两端P、Q分别固定在两根杆上,重物吊挂在光滑动滑轮下,动滑轮跨
22、在轻绳上,静止时如图所示。此时绳对M、N两杆的拉力大小分别为F1、F2。下列说法正确的是()A.一定有F1F2B.一定有F1F2C.若仅将M杆向右平移一小段距离,F1将减小一些D.若仅将Q点沿N杆向上移动一小段距离,F2将增大一些答案C因为同一根绳子,张紧的弹力在两侧是大小相等的,因此两侧绳子与竖直方向的夹角必须相等,否则动滑轮在水平方向就不能够保持受力平衡。设两侧绳子与竖直方向的夹角都是、重物重力为G,对滑轮做受力分析可得F1 sin =F2 sin F1 cos +F2 cos =G则有F1=F2=G2cos若仅将M杆向右平移一小段距离,则减小,F1、F2均会减小。若仅将Q点沿N杆向上移动
23、一小段距离,由几何关系可知保持不变,因此F1、F2均保持不变。4.(2019师大附中期中)小明坐在窗前做完了物理作业后,盯着邻居家外墙上支放的空调室外机研究起来。他发现邻居家支放空调室外机的支架是边长大约为3(BC)4(AB)5(AC)的直角三角形,室外机恰好对称地放在两个支架的正中央(这样每个支架大概就承受一半的重量),如图所示。他估测该室外机的质量在60 kg左右,支架材料的质量跟室外机相比应该可忽略不计。进一步他还发现,邻居家的室外机安放得比较靠外,其重心大致位于两个三角形的小锐角顶点连线AA的正上方。试根据以上信息,并结合你对题中图片的观察,建立合理模型,帮小明大致计算出支架AB和支架AC中的力的大小和方向。(g取10 m/s2)答案见解析解析框架A点受力如图,因空调重心在AA正上方,可知A点承受的压力为F=12mg=300 N由平衡条件可知:FAB=F tan =30043 N=400 N,方向沿AB方向;FAC=Fcos=3000.6 N=500 N,方向沿CA方向。
